高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀精练

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第3讲 等差数列的前项和及性质10大题型
【考点分析】
考点一：等差数列的前项和公式

考点二：等差数列前项和的性质
等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即
因为
当时，开口向上，有最小值；
当时，开口向下，有最大值；
【题型目录】
题型一：等差数列求和公式基本运用
题型二：利用等差数列的性质求和
题型三：等差数列片段和的性质及应用
题型四：等差数列前项和与的比构成新的等差数列
题型五：两个等差数列前项之比问题
题型六：等差数列前n项和的最值
题型七：关于奇偶项问题的讨论
题型八：对于含绝对值的数列求和问题
题型九：等差数列与三角函数结合
题型十：斐波那契数列
【典型例题】
题型一：等差数列求和公式基本运用
【例1】（2022·河北·高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（    ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为．若，，则（       ）
A．72 B．74 C．75 D．76

【例4】（2022·上海·复旦附中高三阶段练习）已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，是正整数，设则数列的前项和=__________.

【例5】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（       ）
A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值
C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值

【例6】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【例7】（2022·全国·高三专题练习）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前2022项和.

【例8】（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．


【题型专练】
1.（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ）
A．18 B．16 C．14 D．12
3.（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（       ）
A． B． C． D．
4.（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前项和，则（       ）
A．115 B．110 C． D．
5.（2021·云南·模拟预测（文））已知为等差数列，为其前n项和．若，则______．
6．（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（       ）
A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸

题型二：利用等差数列的性质求和
【例1】（2022·辽宁·高三开学考试）设等差数列的前项和为，若则（    ）
A．150 B．120 C．75 D．60

【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，则（       ）
A．74 B．81 C．162 D．148

【例3】（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.

【例4】（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（       ）
A．9 B．8 C．7 D．6

【例5】（2022·浙江宁波·高一期末）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．

【题型专练】
1．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））已知数列为等差数列，其前项和为，则___________.

2.（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为，若，则（       ）
A．60 B．75 C．90 D．105

3．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，，，求项数的值．

4.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等差数列中，，是方程的两根，则的前21项的和为（       ）
A．6 B．30 C．63 D．126

5.（2022·河南焦作·一模（文））设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（ ）
A． B． C． D．

6．（2022·全国·高二单元测试）已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数为______．

7．（2022·全国·高二单元测试）在等差数列中，已知，，，则______．

8．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））等差数列的前项和为，若，满足，其中为边上任意一点，则（       ）
A．2020 B．1020 C．1010 D．2

题型三：等差数列片段和的性质及应用
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则等于（    ）
A．110 B．150
C．210 D．280
【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列中，其前项和为，若，则（    ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列是等差数列，，则（    ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）等差数列的前n项和为，若，，则（    ）．
A．27 B．45 C．18 D．36

2．（2022·四川省南充市第一中学高一期中）设等差数列的前项和为且则（    ）
A．2330 B．2130 C．2530 D．2730

3．（2022·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则______．

4．（2022·辽宁·高二期中）在前n项和为的等差数列中，，，则______．

5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列的前n项和为．若，，则_____．

6.（2021·重庆市育才中学高二期中）等差数列中，为其前n项和，若，，则为____.
题型四：等差数列前项和与的比构成新的等差数列
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（    ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
【例2】（2022·河北·河间一中高三开学考试）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（    ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高二课时练习多选题）已知等差数列，其前n项的和为，则下列结论正确的是（    ）．
A．数列为等差数列
B．若，且，则
C．若，，则
D．若，，则

【题型专练】
1．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018

2．（2022·全国·高二多选题）下列结论中正确的有（    ）
A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列
B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列
C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
3.（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(       )
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则___________.
题型五：两个等差数列前项之比问题
【例1】（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）设等差数列的前项和分别是，且，则__________.

【例2】（2022·天津·高二期末）若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.

【例3】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ）
A． B． C． D．

【例4】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（    ）
A． B． C． D．

【例5】（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（   ）
A． B． C． D．

【例6】（2022·吉林·长春外国语学校高二）两个等差数列则=（    ）
A． B． C． D．

【例7】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（    ）
A． B． C． D．

【例8】（2021·江苏·高二单元测试）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7

【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（    ）
A． B． C． D．

2．（2022·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前n项和，若，则（    ）
A． B． C． D．

3．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ）
A． B． C． D．

4．（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ）
A． B． C． D．

5．（2022·全国·高二）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果 (n∈N*)，则的值是（    ）
A． B． C． D．

6．（2021·全国·高二单元测试）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ）
A． B． C．-2 D．2

7．（2022·广东·铁一中学高二阶段练习多选题）等差数列的前n项和分别为，则下列说法正确的有（       ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．

8．（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（    ）
A． B． C． D．

9．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．

10．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，，求______．

11．（2023海南中学高三阶段练习）设分别为等差数列，的前项和，且.设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为_________.

12．（2022·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则___________.（2）若，则___________.

题型六：等差数列前n项和的最值
【例1】（2023·北京·高三开学考试）等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，其前项和为，且．若存在最大值，则满足的的最大值为_______．

【例3】（2022·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（文））记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10

【例4】（2022·浙江·高三阶段练习）设公差为的等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，的值为_______.

【例5】（2022·江苏南通·高三开学考试）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ）
A． B． C． D．


【例6】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（    ）
A．1 B．4 C．7 D．8

【例7】（2022·四川乐山·高一期末）已知数列为等差数列，公差为d，为其前n项和，若满足，给出下列说法：
①；②；③；④当且仅当时，取得最大值．
其中正确说法的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【例8】（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（    ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项

【例9】（2022·江西赣州·高二阶段练习（文））设等差数列的前项和为，且，，则当最大时，（    ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013

【例10】（2022·河北·石家庄二中高二期末多选题）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（    ）
A．公差 B．
C．是各项中最大的项 D．是中最大的值
【例11】（2022·江苏常州·高二期末多选题）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则（    ）
A．S5＜S9 B．该数列的公差d＜0
C．a7＝0 D．S11＜0

【例12】（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（    ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ）
A． B．52 C．54 D．55

2．（2022·四川眉山·高一期末（理））设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（    ）
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13

3．（2022·北京·高二期末）已知等差数列的前n项和为.若，且，则的n的最大值是（    ）
A．5 B．6 C．10 D．11

4．（2022·四川绵阳·高一期中）已知等差数列的前项和为，且满足，则的前项和取最大值时，的值为（    ）
A． B． C． D．或

5．（2022·湖北·高二阶段练习）已知为等差数列，的前项和为，则使得达到最大值时是（    ）
A．19 B．20 C．21 D．22

6．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（    ）
A．25 B．22 C．24 D．23

7．（2022·广东·盐田高中高三阶段练习多选题）记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．取得最大值时，

8．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习多选题）已知等差数列中，，公差，则使其前n项和取得最大值的自然数n是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7

9．（2022·辽宁丹东·高二期末多选题）记等差数列的公差为d，前n项和为，已知，，则（    ）
A． B． C． D．是的最小值

10.（2022·广东广州·高二期末多选题）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．当时取得最小值

11．（2022·广东·翠园中学高二期中多选题）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列判断正确的是（    ）
A．， B．，
C．数列中绝对值最小的项是 D．的最大值是

12．（2022·全国·模拟预测）已知为R上单调递增的奇函数，在数列中，，对任意正整数n，，则数列的前n项和的最大值为___________.

13．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．

14．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．

15．（2022·北京平谷·高二期末）已知是等差数列，，其前5项和.
(1)求的通项；
(2)求前项和的最大值.

16．（2022·福建省福州华侨中学高二期末）设等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值.
17．（2022·四川成都·高一期中（理））已知为等差数列的前项和，其中，.
(1)求的通项公式及﹔
(2)若为等差数列的前项积，求的最小值．
题型七：关于奇偶项问题的讨论
【例1】（2022·辽宁·高二阶段练习）在数列中，，且，（       ）
A．0 B．1300 C．2600 D．2650

【例2】（2022·四川·树德中学高一阶段练习）数列满足，则前项的和______．

【例3】（2022·海南中学高三）已知数列满足，则（       ）
A．50 B．75 C．100 D．150

【例4】（2022·山东聊城·高三期末）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.

【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ）
A． B． C． D．

【例6】（2022·全国·高二单元测试）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（    ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列中，，，，则（       ）
A． B． C． D．

2.（2022·重庆市实验中学高二期末）已知数列中，，，，则（       ）
A． B． C． D．

3.（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，，则（    ）
A． B． C． D．

5．（2016·全国·高一课时练习）等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值是（    ）
A． B． C． D．

6．（2021·全国·高二课时练习）在数列中，，，且，则________.

7．（2022·上海·高三专题练习）等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则_______.

8．（2020·全国·高二课时练习）已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为________.

9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
题型八：对于含绝对值的数列求和问题
【例1】（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)求数列的前项和.

【例2】（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）数列中，，，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．

【例3】（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

【题型专练】
1．（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．

2．（2022·四川省遂宁市第二中学校高一期中（理））已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：；      条件②：；    条件③：.）
选择条件　　　　和　　　　　．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和

4.（2022·全国·高三专题练习（文））记为等差数列的前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．

题型九：等差数列与三角函数结合
【例1】（2022·四川·成都七中高一期末）已知数列的通项公式为，Sn为数列的前n项和，则的值为（       ）
A．672 B．1011 C．2022 D．6066

【例2】（2022·四川成都·高二期末（理））数列满足，则数列的前20项和为（       ）
A．280 B．220 C．560 D．440

【题型专练】
1.（2022·重庆·三模）已知数列的前项和为，，则（       ）
A． B．0 C． D．


2.（2022·河北·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，则（       ）
A．119 B． C． D．

3.（2022·上海市川沙中学高一期末）已知数列的前项和为，若，则______．

题型十：斐波那契数列
【例1】（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·上海市延安中学高一阶段练习）著名的斐波那契数列满足：，．记数列的前项和为，则（       ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和.下列关于“斐波那契数列”的结论：
①，
②，
③，
④.
其中，所有正确结论的序号是（       ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①③④
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习（理））斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足： . ，记，则下列结论不正确的是（       ）
A． B．
C． D．

2.（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.已知数列为“斐波那契数列”，则下列结论正确的为（     ）
A．对恒成立
B．
C．
D．