第06讲 数列的通项公式的11种题型总结-【同步题型讲义】2023-2024学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

这是一份第06讲 数列的通项公式的11种题型总结-【同步题型讲义】2023-2024学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第二册），文件包含第6讲数列的通项公式的11种题型总结解析版docx、第6讲数列的通项公式的11种题型总结原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共129页， 欢迎下载使用。

第6讲 数列的通项公式的11种题型总结
题型目录
题型一：观察法求数列通项
题型二：已知，求
题型三：叠加法（累加法）求通项
题型四：叠乘法（累乘法）求通项
题型五：用“待定系数法”构造等比数列
题型六：用“同除法”构造等差数列
题型七：取对数法构造等比数列求通项
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
题型九：周期数列
题型十：已知数列前n项积型求通项
题型十一：双数列问题
典型例题
题型一：观察法求数列通项
【例1】 （2022·全国·高二单元测试）将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示，例如，若，则______．

【答案】67
【分析】找到每行最后一个数的规律，写出通项公式，确定位于第行，再确定其所在的列数，从而求出答案.
【详解】每行最后一个数的排列为1,5,11,19,29，
第行最后一个数的通项公式为，
其中，，
所以位于第行，且，
所以位于第行，第22列，所以.
故答案为：67
【例2】（2022·全国·高二课时练习）（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______；
（2）数列，，，，…的一个通项公式为=______；
（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______．
【答案】              
【分析】（1）所给数列的前4项中，分母是项数的平方，分子是分母减1，由此可归纳；
（2）各项负正相间，分子都是1，分母是3的正整数倍，由此归纳结论；
（3）每一项都是由数字1组成的，数字个数正好是项数，把1与9联系，易归纳通项公式．
【详解】（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，，，（分式中应分别考虑分子、分母的特征），所以数列的一个通项公式为．
（2）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．
（3）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．
故答案为：；；．
【例3】（2022·河南商丘·高三阶段练习（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
【答案】
【解析】数列中的项为：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，…
经检验，数列中的偶数项都是数列中的项.
即，，，256，… 可以写成的形式，观察，归纳可得.
故答案为：.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．
【答案】(1)；
(2)；
(3) ；
(4).

【分析】（1）（2）（3）（4）观察给定的4项，结合数据特征写出一个通项作答.
（1）
4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（2）
4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（3）
4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（4）
4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，
依次可写为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）猜想数列，，，，，，…的通项公式___________.
【答案】
【分析】通过观察数列的形式，可知分数的分子是相应项序号的平方，偶数项为负，奇数项为正，分母是以3为首项的奇数列，即可求出答案.
【详解】数列，，，，，，…的分子是相应项序号的平方，偶数项为负，奇数项为正，分母是以3为首项的奇数列，所以数列，，，，，，…的通项公式.
故答案为：.
2．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）数列，，，，…的一个通项公式是______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据数列的前几项归纳：一是项的符号规律，二是分子、分母变形后与项的关系．
【详解】数列的项可化为，
因此一个通项公式为．
故答案为：（答案不唯一，也可写为或其他）．
3．（2022·全国·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，
(2)，2，，8；
(3)9，99，999，9 999.
【答案】(1)an＝，n∈N*, (2), (3)an＝10n－1，n∈N*
【分析】（1）先分析符号规律，再根据分子分母规律求解；（2）根据分子分母规律求解；（3）各项加1，即可发现规律求解.
(1)
这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(2)
数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：
…，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(3)
各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
题型二：已知，求
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和是，且，求的通项公式．
【答案】.
【分析】利用，求解通项公式，通过验证得到
【详解】当时，；
当时，，显然满足上式，
∴；
【例2】（2022·北京通州·高二期末）设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，把代入中，即可求出答案.
【详解】
当时，.
当时，.
故选：C.
【例3】（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，由求出；当时，由求出；即可求解.
【详解】当时，，；
当时，，不符合，则.
故选：B.
【例4】（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数列的前项和与第项的关系进行求解即可.
【详解】当时，，当时，，
∴当时，，当时，，∴A，B均错误；又当时，，当时，，∴D正确，
故选：D．
【例5】（2023·全国·高三专题练习）数列满足，则（    ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【答案】A
【分析】即数列的前n项和为，根据代入计算．
【详解】当时，由，①
得，②
①－②，得，
所以，则．
故选：A．
【例6】（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列满足，则的前n项和（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当时，求，当时，由题意得，可求得，即可求解.
【详解】
解：当时，，
当时，由得
，两式相减得，，即，
综上，
所以的前n项和为，
故选：C.
【例7】（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测多选题）定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前n项和为，下列关于数列的描述正确的有（       ）
A．数列为等差数列
B．数列为递增数列
C．
D．，，成等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由新定义可得，利用该递推关系求出数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】
由已知可得，
所以，
所以时，，
得时，，
即时，，
当时，由知，满足．
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B正确，
所以，所以
故，故C正确．
，，，，，不是等差数列，故D错误，
故选：ABC．
【题型专练】
1.（2022·湖南·株洲二中高二阶段练习）定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，则等于（    ）
A．85 B．90 C．95 D．100
【答案】C
【分析】根据题中定义，结合数列前项的和与第项的关系进行求解即可.
【详解】因为数列的前项的“均倒数”为，
所以，
于是有，，
两式相减，得，
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的通项公式．
【答案】.
【分析】利用项与前项和的关系即得.
【详解】对任意的，，
当时，则，
当时，由，可得，
上述两个等式作差可得，
，
满足，
因此，对任意的，.
3．（2022·浙江·高二期末）已知数列的前项和，则______.
【答案】7
【分析】将代入根据可得出答案；当时由，求出，从而可得出答案.
【详解】当时，；
当时，.
所以，所以.
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，那么它的通项公式为__．
【答案】##
【分析】结合已知条件，利用与之间的关系即可求解.
【详解】∵数列的前项和，
∴，
当时，，
故，
当时，也成立
故对，.
故答案为：．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义，探讨数列相邻两项的关系，构造常数列求解作答.
【详解】因为，当时，，
则，即有，当时，，得，满足上式，
，，因此数列是常数列，即，所以.
故答案为：
6．（2022·广东珠海·高二期末）已知数列，满足，则_______.
【答案】
【分析】类比于求解．
【详解】由题意，，
两式相减得，．
故答案为：．
7.（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）无穷数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的有（       ）
A．为等比数列 B．为递增数列
C．中存在三项成等差数列 D．中偶数项成等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】
利用与的关系，求通项公式，从而判断各选项正误.
【详解】
解：无穷数列的前项和为，满足
，
当时，，不符合上式，
所以不是等比数列，故A错误；
又，所以不是递增数列，故B错误；
假设数列中存在三项成等差数列，由于，则，所以得：
，则，又
且恒成立，故式子无解，中找不到三项成等差数列，故C错误；
，
是等比数列，即中偶数项成等比数列，故D正确.
故选：D．
8．（2022·江苏徐州·高二期末）（多选题）已知数列的前项和，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．的前20项和为320
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用给定的前n项和求出数列的通项，再逐项分析计算作答.
【详解】
数列的前项和，
则当时，，而满足上式，即，
对于A，因，则是等差数列，A正确；
对于B，因，则是等比数列，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，
数列的前20项和为328，D不正确.
故选：ABC
题型三：叠加法（累加法）求通项
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：





将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
【例1】（2022·山东·邹城市兖矿第一中学高三阶段练习）在数列中，，，则数列______．
【答案】
【分析】由题意，数列中，可得，再利用等差数列的求和公式，即可求解．
【详解】由题意，数列中，满足，，则
，
故答案为：
【例2】（2022·江苏常州·高三阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（    ）
A．4956 B．4959 C．4962 D．4965
【答案】C
【分析】累加法求的通项公式，进而可得，根据新定义求出不同n范围中值，即可求.
【详解】，累加得：，又，
，也符合，则，故，
则时；时；时；时，
.
故选：C
【例3】 （2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知数列满足，则（    ）
A． B．2525 C． D．2526
【答案】C
【分析】由已知得出数列为等差数列，求出通项公式后，累加法求得.
【详解】解析：由已知，∴数列为等差数列，

，∴
∴．
故选：C．
【例4】（2022·陕西·无高一阶段练习）数列满足，且对任意的都有，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令得，由累加法求得，则，再由裂项相消求和即可.
【详解】已知，令可得，则时，，
，，将以上式子累加可得，则，时也符合，
则，，则
.
故选：A.
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列方程组求出，从而可求出，然后利用累加法可求出数列的通项公式
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，
所以，，，……，，
所以，
因为，
所以，
故选：B
【例6】设数列满足，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】由已知，当n≥1时，
．而
所以数列{}的通项公式为．
【例7】（2022·河北深州市中学高三阶段练习多选题）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（    ）
A． B．
C． D．数列的前项和为
【答案】BCD
【分析】直接由递推公式求出即可判断A选项；分为奇数或偶数即可判断B选项；分为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得；
当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确；
对于C，当为奇数且时，
累加可得
，时也符合；
当为偶数且时，
累加可得
；则，C正确；
对于D，设数列的前项和为，则，
又，，D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前项和，使问题得以解决.
【例8】（2022·全国·高一专题练习）已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是___________.
【答案】3
【分析】根据数列的递推公式，运用累加法求出数列的通项公式，经分析得到，若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，进而求出的最小值.
【详解】数列满足，且，即，
当时，，
当时，，
当时，，

当时，，
以上各式相加，得

又，，
，，
若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，
的最小值是3.
故答案为：.
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知，，求通项________.
【答案】
【解析】解： ，即，
， ，，， ，
以上各式相加得，
又，所以，
而也适合上式，.
故答案为：
2．（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（    ）
A．290 B．325 C．362 D．399
【答案】B
【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得.
【详解】设该数列为，则由，，，，…
可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，故，
故，
则，，，…，，
上式相加，得，
即，故.
故选：B.
3．（2022·江苏南通·高三阶段练习多选题）已知数列是公差为1的等差数列，且，则下列说法正确的有（    ）
A．
B．存在等差数列，使得其前项和
C．存在等差数列，使得其前项和
D．对任意的
【答案】ACD
【分析】根据等差数列定义，通项公式，前n项和结构特点可得结果.
【详解】是以1为首项1为公差的等差数列，
，即，
当时，
，
，
当时，显然适合上式，，故A对；
等差数列的前项和，故B错；
，数列是等差数列且前项和为，故C对；
，故D对.
故选：ACD，
4．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末多选题）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】首项根据数列特征得到，，判断出AB选项，
再根据数列的递推公式利用累加法求出，从而求出，得到C正确；
D选项可举出反例.
【详解】根据题意，可知，且，故A错误，B正确，
因为，所以
，
所以，C正确；
因为，故D错误.
故选：BC
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，且，．求数列的通项公式________；
【答案】.
【分析】由得，利用累加法求即可.
【详解】因为，所以，
当时，，，……，，相加得，所以，
当时，也符合上式，所以数列的通项公式.
故答案为：.
6．（2022·广东佛山·高二期末）已知数列满足，，则______．
【答案】63
【分析】由题设可得，应用累加法，结合已知即可求.
【详解】由题设，，
所以，又，所以.
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，求通项________.
【答案】
【分析】依题意可得，利用累加法计算可得；
【详解】解： ，即，
， ，，， ，
以上各式相加得，
又，所以，
而也适合上式，.
故答案为：
8．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，;
(2) .

【分析】（1）根据递推式，变形为，由等差数列定义可证明结论；利用累加法求得；
（2）根据，讨论n的奇偶性，分类求解，利用并项求和法，可得答案.
（1）
由已知得， 即，
是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.
，
当时，,
当时，也满足上式，所以;
（2）
,
当为偶数时，

当为奇数时，

,
所以 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，中，（n∈N*）中，则________， ________.
【答案】     7    
【分析】根据给定条件，利用累加法求出通项公式即可计算作答.
【详解】依题意，，，，而，
则，
而满足上式，所以，.
故答案为：7；
10．（2022·全国·高二单元测试）已知数列，，，则数列的通项公式______，其前n项和______．
【答案】         
【分析】第一空，由累加法即可求得数列通项；第二空，利用裂项求和法即可求得答案.
【详解】由题意可得，，，…，，
所以，又，
所以，所以，
所以
．
故答案为： ；
题型四：叠乘法（累乘法）求通项
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：





将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：

整理得：
【例1】（2022·安徽黄山·一模（理））已知数列满足，，则的通项公式为___________.
【答案】
【解析】因为数列满足，，则，
所以，当时，，
也满足，所以，对任意的，.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）数列的前n项和（，n为正整数），且，则______．
【答案】
【分析】由的关系可得，由迭代累乘法即可求解.
【详解】由得：
当时,进而得，因为，所以，
故，
故答案为：
【例3】（2023上海市行知中学高三开学考试）数列满足：，，则通项________．
【答案】
【分析】当时，与两式相减，可得出，再由累乘法计算即可得出答案.
【详解】由题意得：①，
当时，，
当时，②，
①②得：，
所以，，，，…，，
累乘得，当时，不满足，
则．
故答案为：.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先变形递推公式为，判断数列是等比数列，再利用累乘法求数列的通项公式，再利用二次函数的性质求数列的最小值.
【详解】∵，，，
∴，，
∴数列是首项为，公比为4的等比数列，
∴．
当时，，
∵n＝1时，，∴．
，
∴当n＝3或n＝4时，取得最小值，最小值为.
故选:D
【例5】（2023·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________
【答案】
【分析】由条件可得，化简得，再由递推即可得到所求通项.
【详解】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又满足上式，∴.
故答案为：.
【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.
【答案】
【分析】由，得，再利用累乘法即可得出答案.
【详解】解：由，得，
则，
，
，

，
累乘得，
所以.
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________
【答案】
【分析】由已知条件化简可得，再由递推累乘法可得，最后检验是否符合即可.
【详解】依题意，，
所以，
又因为，
所以，所以，
，
所以，
经检验，也符合上式. 所以.
综上所述， .
故答案为： .
3．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】先由条件得，再结合累乘法求得的通项公式即可.
【详解】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
4．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列满足：，，则数列的通项________________.
【答案】
【分析】根据，，得到，然后利用累加法求解.
【详解】解：因为，，
所以，
当 时，，
所以，
，
，
当时，，适合上式，
所以数列的通项，
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）若数列的首项，且，则数列的通项公式为_______.
【答案】
【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得；
【详解】解： 数列中，，，
，



．
故答案为：．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}满足：，，，且其前项和为，求.
【答案】.
【分析】由已知可得，然后利用累乘法可求出，再利用错位相减法可求出.
【详解】由得，
当n2时，
，
又也满足上式，故(n).
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．求数列的通项公式；
【答案】；
【分析】由已知条件化简可得当时，，再由递推累乘可得，最后检验n＝1是否符合即可.
【详解】当时，，则，即，
，
经检验，n＝1也满足上式，
故数列的通项公式为.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用累乘法即可求解；
（2）由（1）代入可得，利用并项法求和即可求解.
（1）因为，，所以当时，，则，即，当时，也成立，所以.
（2）由（1），，，则，则.
9．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，且，则______．若恒成立，则的最大值是______．
【答案】          2
【分析】(1)由已知得，再用累乘法的；
(2)恒成立问题转化为最值解决.
【详解】由，可得，
所以，则当时，
，
，
当时，也符合上式，所以；
由题意得，即，易知函数的图象开口向上，
对称轴为直线，所以当时，取得最小值，最小值为2，
即，的最大值是2．
故答案为：4n−2；2.

10.（2022·浙江浙江·二模）已知等差数列的前项和为，满足，．数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
【解析】(1)设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得：，
所以，所以数列的通项公式为；
因为数列满足，，，
所以
当时，
，
又满足，所以数列的通项公式为.
题型五：用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。
【例1】已知数列满足，且，求的通项公式。
【答案】
分析：符合类型1的标准形式，先构造
【解析】由可得：，所以是以1为首项3为公比的等比数列，所以，故.
【例2】（2022·广东惠州·高三阶段练习多选题）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】AB
【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案.
【详解】解：∵，可得，
又
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；
则，∴，故C错误；
则，故A正确；
∴，故D错误.
故选：AB.
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，首项且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由题设知是首项、公比都为2的等比数列，求出的通项公式，进而求得，结合其单调性求最小值，即可得的范围.
【详解】由题设，，则是首项、公比都为2的等比数列，
所以，则，
，则在上递增，
所以，要使恒成立，则.
故答案为：
【例4】（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及前项的和.
【答案】(1)证明见解析；(2)，.
【解析】
【分析】
（1）证明出，即可证得结论成立；
（2）由（1）的结论并确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，再利用分组求和法可求得.
(1)证明：因为数列满足，，则，
且，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，故数列为等比数列.
(2)解：由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，
所以，，
因此，
.
【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）在数列中，，，则通项公式______．
【答案】
【分析】由递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得，由此可得.
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
故答案为：.
2．（2022·上海市晋元高级中学高一期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】##
【分析】化简已知得，再构造数列求通项得解.
【详解】解：因为，
，，
，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
，
所以，
故答案为：
3．（2023全国）已知等差数列中，，，数列满足，.
（1）求数列与数列的通项公式；
【答案】（1），；
【分析】
（1）根据等差数列的下标和性质先求解出的值，结合的值可求解出公差，由此可求解出的通项公式；采用构造等比数列的方法可证是等比数列，根据首项和公比可求解出的通项公式；
【详解】
（1）设数列的公差为，
∵为等差数列，∴，∴.
∵，∴，解得.
∴.
∴，∴，
∴.
∵，
∴是首项､公比均为的等比数列.
∴，∴.
∴，.
4．（2022全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
【答案】（1），；
【分析】
（1）利用求通项公式，构造是等比数列，求通项公式即可；
【详解】
（1）数列的前项和为，且，
当时，.
当时，，显然也适合上式.；
数列满足，.
整理得，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.
故， ；
5．（2023河北冀州中学高三月考）已知数列中，.
（1）证明数列是等比数列并求数列的通项公式；
【答案】（1）证明见解析；；
【分析】
（1）推导出，由此能证明数列 是以3为公比，以为首项的等比数列，从而的通项，由此能求出 的通项公式．
【详解】
解：（1）因为，所以 .
所以，且 .
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.
因此，从而 .
6．（2023全国高三专题练习）已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；
（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】
（1），，
因此，数列是等比数列；
（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.
【点睛】
本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
题型五：用“同除指数法”构造等差数列
形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
【解析】解：由，得：，∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，
得．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】.
【分析】由待定系数法构造等比数列后求解
【详解】由两边同除以得，令，
则，设，解得，
，而，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，得
【例3】（2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），
所以；
(2)证明：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
(3)证明：由（2）得，
故

，
所以.
【题型专练】
1.（2022重庆一中高三其他模拟）已知数列满足.
求数列的通项公式；
【答案】（1）；
【分析】符合类型2的标准形式。
（1）将已知递推式两边同除以，由等差数列的定义和通项公式，可得所求；
【详解】
解：（1）由，（左右两边同除以）
可得=1，
则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，
则=，
即；
2.（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
【答案】．
【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．
故答案为：．
3.（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【解析】(1)因为，所以，
由于，
因此，
所以，即.
于是，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)由（1）知，故，
所以，
，
两式相减，得，
所以.

题型六：用“同除法”构造等差数列
形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式
形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到数列是以1为首项，4为公差的等差数列，即可求出的通项公式，再解不等式即可．
【详解】解：因为，所以，所以，又，
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．
所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；
故选：C
【例2】（2022·辽宁·高二期中）已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）先利用题给条件求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式；
（2）利用得到，再利用裂项相消法求得数列的前n项和，进而得到.
(1)
数列中，，由，可得
又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，
则数列的通项公式为
(2)
由（1）知，则
则数列的前n项和
由，可得，即．
【例3】（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列{}的前n项和为，且满足，.
(1)求；
(2)求数列{}的通项公式．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用与的关系，结合已知可得的递推公式，然后构造等差数列可解；
（2）利用与的关系求通项即可.
（1）
当n≥2时，由得，所以－＝2，
又＝＝2，所以是首项为2，公差为2的等差数列．可得＝2n，
所以.
（2）
由(1)可得,当n≥2时，＝＝－；
当n＝1时，，不符合.  
故
【例4】（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末多选题）已知数列{}满足，，则下列结论正确的是（       ）
A．为等比数列 B．{}的通项公式为
C．{}为递增数列 D．的前n项和
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据递推关系可得，进而可判断A，由是等比数列即可求解的通项，进而可判断单调性，根据分组求和即可判断D.
【详解】
因为，所以，又，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，即，所以{}为递减数列，的前n项和．
故选:AB．
【题型专练】
1．（2022·四川省内江市第六中学高三开学考试（理））已知数列满足，且，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】利用取倒数及等差数列通项公式即可求解.
【详解】由两边取倒数可得，即．
所以数列是首项为2，公差为3等差数列.
所以，所以．
故答案为：.
2．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，
(1)求数列的通项公式.
(2)若，求满足条件的最大整数值.
【答案】(1)
(2)99

【分析】（1）根据已知证明数列是等比数列，根据等比数列的通项求出数列的通项，从而可求出数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求出数列的前项和，再根据前n项和的单调性，即可得解.
(1)
解：因为，
所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以；
(2)
解：由（1）可得，
则，
由，则，
因为函数是增函数，
且当时，，
当时，，
所以满足的最大正整数的值为99.
3．（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）若数列满足：，则第三项_______，它的通项公式_______．
【答案】         
【分析】对两边取倒数可得，即可得到为首项是公差为的等差数列，求得通项，即可得解.
【详解】由可得，
所以为首项是公差为的等差数列，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
4.（2021·四川遂宁·高三三模（理））已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
【答案】（1）；
【分析】
（1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
【详解】
（1）因为，令，则，又，
所以，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，故；
5.（2022·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
【答案】
【解析】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以

所以
故答案为：
6.（2022河南安阳市·（理））已知数列，满足，，.
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
【答案】（1）证明见解析，；
【分析】
（1）由可得，然后得到即可；
【详解】
（1）由可得，
于是，即，
而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.
所以.
7．（2022开鲁县第一中学高二月考（理））设数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
【答案】（1）；
【分析】
（1）利用倒数法和构造法可得到数列为等比数列，结合等比数列通项公式可整理得到结果；
【详解】
（1）由可得：，即，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，整理可得：.
题型七：取对数法构造等比数列求通项
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
【例1】已知数列满足，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变换得到，得到是首项为，公比为的等比数列，，计算得到答案.
【详解】，，易知，故，
故是首项为，公比为的等比数列，，，
故.
故选：C.
【例2】已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和　　．
【解析】解：数列的首项为9，且，
所以：，
所以两边取对数得：，
整理得：（常数），
所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以：，
所以：，
由于，所以：，
故：两边取倒数得到：，
所以数列的前项和．
故答案为：
【题型专练】
1．数列中， ，，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】对两边同时取以2为底的对数，构造，求出，进而得到的通项公式.
【详解】取以为底的对数，得到，，设，则有，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，.
2.（2022蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为　　．
【解析】解：数列满足，
．
，
，变形为：，
．
数列是等比数列，首项为，公比为．
．
则．
，只考虑为偶数时，
时，．
时，．
因此（4）取得最大值．最大值为．
故答案为：．
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
【例1】（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列的前项和为，则数列的通项公式是___________.
【答案】
【分析】根据，作差得到是首项为，公比为的等比数列，从而求出数列的通项公式；
【详解】解：因为，
当时，，所以，
当时，，
两式相减，整理得，
所以是首项为，公比为的等比数列，故.
故答案为：
【例2】（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））数列的前项和记为，己知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，证明：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）根据，作差得到，结合等差数列定义及通项公式，即可求解；
（2）由（1）得到 ，结合裂项相消法求和、分组求和法求和，即可得证.
（1）
解：因为，，
令可得，，解得或（舍去）．
当时可得，
两式相减得，即，
因为，可得，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）
解：由（1）知，所以，
所以数列的前项和

【例3】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_____________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.
【答案】(1)若选①或②，,；选③，
(2)若选①或②，；选③，

【分析】（1）①②都是利用的方法进行简化，然后得到与的关系，进而得到通项公式；③利用的方法进行化简，得到与的关系，进而得到通项公式；
（2）利用①②③的结果代入的具体值，通过求和得到答案.
（1）
若选①：
因为，所以，
两式相减得，整理得，
即，所以为常数列，，所以；
若选②：
因为，所以，
两式相减，
得，因为，所以，
故为等差数列，则；
若选③：
由，变形得：，则，
易知，所以，则为等差数列，由，则，，所以，
由当时，，也满足上式，所以.
（2）
若选①或②：
由题意，，当时，，；
当时，，；当时，；
.
若选③：
由题意，，当时，，；
当时，，；当时，，；
.
【例4】（2023·上海·高三专题练习）设数列的前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的表达式．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据通项与前n项和的关系可得，再根据求解即可；
（2）先化简，再根据求解即可.
（1）
当时，，所以．
当时，，．
两式相减得：，即．
故.
故.
（2）
因为，令，则，
∴{bn}为等差数列．
∴．
【例5】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列中，，是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式：
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用与关系可推导得到，利用累乘法即可求得；
（2）由，结合可得，并由此得到；采用裂项相消法可整理得到，由可证得结论.
（1）
由得：且；
当且时，，
整理可得：，，
则，，，，，
各式相乘得：，又，
.
当时成立，故.
（2）
由得：，
，
，
又，.
【例6】（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列​前​项和为，.
(1)证明：为等差数列；
(2)若，记为数列的前项积，证明：​.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）根据与的关系，用替换，然后作差即可证明.
（2）先由（1）中结论得到通项，从而得到，然后裂项放缩，即可得证.
（1）
由题意，得​.
则​.
两式相减，得​，
即​，
​是等差数列.
（2）
因为，由（1）知（也符合此式）
故数列的通项公式为
则
所以



故，得证.
【例7】（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）已知数列的前n项和为，当时，．
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)利用与的关系可求得通项公式；
(2)由第（1）小问可知，可用错位相减法即可求得数列的前n项和.
（1）
当时，由得，
即．
又，所以，符合上式，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
．
（2）
，
所以，
，
作差得，
化简得．
【例8】（2022·陕西省神木中学高一）已知数列的前项和为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件，结合变形，构造数列，再求数列通项即可求解作答.
【详解】
因为，则，于是得，
因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.
故选：D
【题型专练】
1．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））设数列的前n项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据，消元得到，故为等比数列，进而求出通项公式；
（1）因为，所以，
两式相减，可得，整理得，即，
因为在中当时，，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
2．（2022·湖南·高三阶段练习）记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）项和转化可得，利用等差数列的通项公式即得解；
（2）由，裂项相消求和即可
（1）
当时，相减得，
即，各项均为正数，所以，
故是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以；
（2）
，故，
，
．
3．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）当时，可得；时，由，可得，两式作差可得数列是等比数列，进而可得通项公式；
（2）利用分类讨论求解即可．
（1）
由题意知，当时，，即，
时，由得即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
（2）
由题意知，，
所以，所以，
当时，



.
所以.
4．（2022·云南大理·模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据与的关系可得，进而得，由累加法即可求解；
（2）根据分组求和，由等差等比数列的求和公式即可求解.
（1）
因为，所以，①
当时，，②
①-②得：，即，
所以，
所以，由，可得，
当时，，符合上式，
所以．
（2）
由题意得，
则
，
所以．
5．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，且（）．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）由题知，进而结合得数列是等差数列，进而得答案；
（1）
解：（），
当时，，∴，
当时，由，得①
∴，②
①﹣②得：，
∴，
∵，
∴，，
∴数列是等差数列，
∴；
6．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知，，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】先赋值求得，再仿写式子相减得，利用等差数列的定义和通项公式进行求解.
【详解】当n＝1时，，
所以或（舍）；
当n≥2时，因为，
所以，
两式相减得，
因为，所以，
所以数列是以为首项、为公差的等差数列，
所以，
即数列的通项公式为．
7．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知正项数列的前项和满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用可求出其通项公式，
（2）由（1）得，然后利用等差数列的求和公式可求得结果.
（1）
因为，，，
两式相减得到
当时，可得，
因为，
所以是首项为2，公比为2的等比数列
所以的通项公式为.
（2）
令，则，
因为，，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以
8.（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【解析】(1)解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)解：结合（1）得
，
所以
.
9.（2022·广东佛山·高二期末）若数列各项均为正数，且对，都有，则称数列具有“P性质”，则（       ）
A．数列具有“P性质”
B．数列具有“P性质”
C．具有“P性质”的数列的前n项和为
D．具有“P性质”的数列的前n项和为
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，令，求得数列的首项，令，可得，将换为，两式相减，结合数列的递推式，再将换为，两式相减，结合等差数列的定义，即可求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得；
【详解】
解：由题意可得，对，都有，
令，即，
当时，，解得，
当时，，
两式相减可得，
即为，可得，，
两式相减可得，
由于，
所以，
令可得，解得或（舍去），
所以，当时也成立，
所以，则.
故选：C
10.（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据通项与的关系可得递推公式，再构造等比数列求的通项公式，进而代入求得得到即可
【详解】
当时，，解得.
当时，，
所，即，
所以，即，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，
从而，故.
故选：C
11.（2022·江苏·模拟预测）已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得，进而可得，然后可得，利用等差数列的定义及求和公式即得.
【详解】
由得，
即，
所以，所以，
两式作差，得，即，
所以，
所以或，又，
故，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以数列的前n项和.
故选：A.
12.（2022·湖北·应城市第一高级中学高二期末多选题）已知数列的前项和为，且，下列说法正确的有（       ）
A．数列是等比数列 B．
C．数列是递减数列 D．数列是递增数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由题意可得，从而得出，求出，从而可求出，进而可判断各个选项.
【详解】
由，则
两式相减可得，即
由题意，满足
所以,所以数列是等比数列，故选项A正确.
则，故选项B正确.
又，所以数列是递增数列
故故选项C不正确，故选项D正确.
故选：ABD
13.（2022·全国·高二单元测试多选题）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的为（       ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由题知，进而得数列是首项为2，公比为2的等比数列，再结合通项公式和裂项求和求解即可.
【详解】
由得，即
所以，由，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A错误，B正确；
所以，即，故C正确；
又，
所以，故D正确.
故选：BCD
14.（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（       ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列 D．的最小值为0，最大值为20
【答案】BCD
【解析】
【分析】
当时，解出，当时，由退位相减法求得，讨论和，求出数列的通项，再依次判断即可.
【详解】
当时，，解得或，当时，，，
整理得，当时，若，可得，若，，
可得数列为等比数列，；当时，可得，数列为等差数列，
若，可得，若，可得；故A错误；B正确；C正确；当时，；
当时，；当时，；当时，；故D正确.
故选：BCD.
15.（2022·福建·福州三中高三阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
【解析】(1)由于，所以①，
当时，②，
①-②得，

整理得，所以为常数数列，又，
所以.
16.（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
【解析】(1)证明：因为时，，
则，
即，，·
因为，·
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，
即，·
所以为等差数列.
题型九：周期数列
【例1】（2023全国·高三专题练习（文））已知正整数数列满足,则当时，___________.
【答案】4
【解析】由题意，，，，，，…，
数列从第二项起是周期数列，周期为3，
所以．
故答案为：4．
【例2】（2022·广东深圳·高三）已知数列中，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，
所以，，
当为偶数时，，则，两式相减得，
所以，，
故，
故选：D.
【例3】（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，，则______.
【答案】1011
【解析】解：由，
得，
，
，
所以数列是以3为周期的周期数列，
又，，
所以．
故答案为：1011

【例4】（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（       ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】D
【解析】因为，，，所以，
则，，，…，
所以数列是以3为周期的数列，
则.
故选：D.
【题型专练】
1.（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
【答案】          2024
【解析】由，得，又，
所以，，，，，
可知数列为周期数列，周期为4，
故.
故答案为：；2024.
2.（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
【答案】
【解析】由，，可得，．
∴可得．所以数列的周期为3.
．
故答案为：.
3.（2022·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
【答案】【解析】由题意知：，
故是周期为3的周期数列，则.
故答案为：.
4.（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列满足：，，则______．
【答案】
【解析】由题意得：，，，，
数列是周期为的周期数列，.
故答案为：.
题型十：已知数列前n项积型求通项
【例1】（2022重庆模拟）若数列满足其前项的积为，则　　．
【解析】解：数列满足其前项的积为，故前项的积为，，
，当时，，显然，它对于第一项也是成立的，
故，．
故答案为：，．
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：对于任意的正整数是与的等比中项．
【解析】(1)当时，，则，由可得，则，
则，即，即，故数列是首项为，公差为的等差数列；
(2)由（1）知，，则，当时，，则；
当时，，，则；
综上可得：对于任意的正整数是与的等比中项．
【题型专练】
1.（2022徐州模拟）已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为　　．
【解析】解：数列的前项积为，若对，，都有成立，
且，，
则：，，
进一步求出：，，
，
所以：，，，，
故：．
故答案为：1023
2.（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【解析】(1)因为，所以，
所以，
两式相除，得，整理为，
再整理得，．
所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
(2)因为，所以，
由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因为，
所以．
3．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前项积，已知，则= （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】则，代入，
化简得：，则．
故选：C．
题型十一：双数列问题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）若数列和满足，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，再根据，得到，即可得到的通项公式，最后代入即可；
【详解】解：因为， ，
所以，即，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故选：C
【例2】（2022·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【解析】(1)证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______.
【答案】
【解析】
求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出，进一步推导出数列为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，可求得的通项公式，进一步求出和，由此可求得结果.
【详解】
，，且，，则，
由可得，代入可得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
在等式两边同时除以可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
所以，，，
则，
因此，.
故答案为：.
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习）两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或，
所以可设数列的通项公式为，因为，，
所以，所以，解得，
所以，所以；
故答案为：
2.（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知数列和满足，，，，则______，______．
【答案】         
【解析】由题设，，则，而，
所以是首项、公比均为2的等比数列，故，
，则，
令，则，
故，而，
所以是常数列，且，则.
故答案为：，.
3.（2022·全国·高三专题练习）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
【解析】（1）证明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化为：，
，
为等比数列，首项为-14，公比为3.
（2）由（1）可得：，
化为：，
数列是等比数列，首项为16，公比为2.
，
可得：，
.