第12讲 导数中极值的5种常考题型总结-【同步题型讲义】2023-2024学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

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第12讲 导数中极值的5种常考题型总结
【考点分析】
考点一：函数的驻点
若，我们把叫做函数的驻点．
考点二：函数的极值点与极值
①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点
②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点
考点三：求可导函数极值的步骤
①先确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.
【题型目录】
题型一：求函数的极值与极值点
题型二：利用导函数图像判断极值
题型三：根据极值、极值点求参数的值
题型四：根据极值、极值点求参数的范围
题型五：证明函数存在极值点极值问题
【典型例题】
题型一：求函数的极值与极值点
【方法总结】
利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数的定义域；
（2）求导；
（3）解方程，当；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
【例1】（2022·全国·高二课时练习）“”是“函数在处有极值”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


【例2】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为( )
A．0 B． C． D．


【例3】（2022·北京大兴·高二期中）已知函数，则（    ）
A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值
C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值


【例4】（2022·全国·高三专题练习）函数在处（    ）
A．有极大值 B．无极值 C．有极小值 D．无法确定极值情况


【例5】（2023·全国·高三专题练习多选题）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（    ）
A．是的最小值点
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．是的极大值点

【例6】（2022全国·高二期末）已知函数，下列结论中错误的是（    ）
A．存在，使得
B．若，则函数的图像是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．若是的极值点，则

【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数，则下列结论正确的是
A．在处有极大值 B．在处有极小值
C．在上单调递减 D．至少有3个零点


【例8】（2022·浙江·高二期中）下列关于极值点的说法正确的是（    ）
A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值
B．在任意给定区间上必存在最小值
C．的最大值就是该函数的极大值
D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点


【题型专练】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A．在上为增函数 B．在上为减函数
C．在上有极大值 D．在上有极小值

2．（2022·全国·高三专题练习）函数（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（    ）
A． 在R上只有一个极值点 B．在R上没有极值点
C．在处取得极值点 D．在处取得极值点

3．（2022·全国·高二课时练习）若函数，则（    ）
A．既有极大值，也有极小值 B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值 D．既无极大值，也无极小值

4．（2022·全国·高三专题练习）设，则函数（    ）
A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值
C．有无数个极值 D．没有极值

5．（2018·云南·红河县第一中学高二期末（文））已知函数，则下列结论中错误的是（    ）
A．， B．函数的图像是中心对称图形
C．是函数的极大值点 D．函数在区间单调递减

6．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数，那么（    ）
A．有极小值，也有大极值 B．有极小值，没有极大值
C．有极大值，没有极小值 D．没有极值

7．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．在点处的切线方程为
B．的单调递减区间为
C．有且只有一个零点
D．的极小值点为


8．（2022·重庆·高二阶段练习多选题）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（    ）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调


9．（2022全国高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论错误的是（    ）
A．， B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点


10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则_____，有极__________（填大或小）值．



题型二：利用导函数图像判断极值
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）

A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【例2】（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．函数有极大值和
B．函数有极小值和
C．函数有极小值和极大值
D．函数有极小值和极大值
【例3】（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ）

A．是函数的极值点
B．在区间上单调递减
C．函数在处取得极小值
D．的图象在处的切线斜率小于零



【题型专练】
1．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）

A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减
C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值




2．（2022·全国·高二单元测试）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．在，上为减函数
B．在，上为增函数
C．的极小值为，极大值为
D．的极大值为，极小值为

4．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值

题型三：根据极值、极值点求参数的值
【方法总结】
解含参数的极值问题要注意：
①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．
【例1】（2022·天津市第四中学高二期中）函数在处取极小值，则（    ）
A．6或2 B．或 C．6 D．

【例2】(2022全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为( )
A． B． C． D．

【例3】（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））函数在处有极大值，则a的值为（    ）
A．2 B．6 C．2或6 D．无答案

【例4】（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数在时有极值0，则= ______ .

【题型专练】
1．（2023全国高三专题练习）已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.

2.（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4

3.设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________

4．（2023河南省实验中学高二月考）函数在处有极值，则的值为（ ）
A． B． C． D．

5.(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( )
A． B． C． D．1


题型四：根据极值、极值点求参数的范围
【例1】（2022·全国·高二专题练习）若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______．

【例2】（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间上的极大值为最大值，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．


【例4】（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设，若为函数的极小值点，则（    ）
A． B． C． D．


【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值集合是（    ）
A． B． C． D．


【例6】（2022·全国·高二课时练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________．


【例7】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数有两个不同的极值点，且，则实数的取值范围是___________.

【例8】（2022·全国·高二专题练习）已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为___________.



【例9】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）
A． B． C． D．


【题型专练】
1.（2022吉林通榆县第一中学校高二期末（理））已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ）
A． B． C． D．

2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

3．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

4.（2022·江西·丰城九中高二期末（理）多选题）函数在区间内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（    ）
A． B． C． D．

5．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末多选题）设函数.若在处取得极大值，a的值可能为（    ）
A．-2 B． C．1 D．2

6．（2022·广东·东莞市东华高级中学高三阶段练习多选题）对于函数，下列选项正确的是（    ）
A．函数的极小值点为，极大值点为
B．函数的单调递减区间为，单调递增区为
C．函数的最小值为，最大值为
D．函数存在两个零点1和

7．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是____________.

8．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是___________.


9.（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

10．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

11.（2022辽宁高三月考）已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.



题型五：证明函数存在极值点极值问题
【例4】（2022·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求处的切线方程；
(2)求证：有且仅有一个极值点；



【例2】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．
(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；




【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求证：函数存在唯一的极大值点；



【题型专练】
1．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知函数，为的导数．
(1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数；





2.（2022·北京房山·高三开学考试）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：在上存在唯一的极大值点．




3.（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．
(1)求函数在上的极值；