河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期四调考试 数学理试题

这是一份河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期四调考试 数学理试题，共10页。试卷主要包含了 函数处的切线方程是，计算下列定积分等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．已知，则（ ）
A．4 B．－8 C．0 D．8
【答案】D
【解析】8
2．若,则等于（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【解析】，故选A
3．函数在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】函数 在区间上的最小值为=3
4.已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在上是单调函数，无零点，，选B.
5．函数单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数,故选C
6. 函数处的切线方程是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【解析】，切线方程是，故选D
7．下列积分中①dx；②；③eq \i\in(0,2,)eq \f(\r(4－x2),π)dx；④，积分值等于1的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①③积分值等于1，故选B
8.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，
B1E＝eq \f(1,4)A1B1，则eq \(BE,\s\up6(→))等于( )．
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)，－1))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，1))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0，－1))
【答案】C
【解析】,故选C
9．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF
是矩形，且AF＝eq \f(1,2)AD＝a， G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角
的正弦值为( )．
A.eq \f(\r(6),6) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(2),3)
【答案】C
【解析】过B作AG的垂线，垂足为M,连CM,过B作CM的垂线，垂足为N,则就是GB与平面AGC所成的角，计算可得其正弦值为eq \f(\r(6),3)
10. 以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )．
A.eq \f(160,3) m B.eq \f(80,3) m C.eq \f(40,3) m D.eq \f(20,3) m
【答案】A
【解析】物体达到最高时eq \f(160,3)
11.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的准线为，双曲线的两条渐近线方程为，所以所围成的三角形的面积等于，故选A
12：已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的点，I是△F1P F2内切圆的圆心，直线PI交x轴于点M,则∣PI∣:∣IM∣的值为 （ ）
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】 因为I是△F1P F2内切圆的圆心，根据三角形角平分线定理，可得，选B
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13．已知函数在R上可导，函数，则 .
【答案】0
【解析】
0
14. 由曲线与，，所围成的平面图形的面积为___________.
【答案】
【解析】
15. 若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线,离心率为,且过点,则曲线的方程为________.
【答案】
【解析】离心率为，可知圆锥曲线是等轴双曲线。设双曲线方程为，过点，，
16. 如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为__________．
【答案】eq \f(\r(15),15)
【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，，
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17.（10分）计算下列定积分。
（1） （2）
【答案】（1）； （2）1
【解析】 (1) =
= +
=
(2) 原式==1
18. （12分）如图，在四棱锥中，
平面ABCD，底面ABCD是菱形，，
.（1）求证：平面PAC；
（2）若，求PB与AC所成角的余弦值；
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
【答案】（2）（3）
【解析】证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以又因为平面。所以，
所以平面。
（Ⅱ）设，因为
所以，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则所设与所成角为，则
（Ⅲ）由（Ⅱ）知设。则设平面的法
向量则，所以令则，
所以同理，平面的法向量，
因为平面，所以，即解得，所以
19. （12分）在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,
平面SAC⊥平面ABC,,、分别为、的中点.
(1)求二面角的余弦值;
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1) 二面角的余弦值为；
(2)求点到平面的距离为
【解析】⑴取中点,连结､.∵,,
∴,.∵平面平面,
平面平面,∴平面,∴.
如图所示建立空间直角坐标系,则,,
,,∴,,
y
z
x
∴,.
设为平面的一个法向量,
则,
取,,,∴.
又为平面的一个法向量,
∴,即二面角的余弦值为.
(2)由⑴得,又为平面的一个法向量,,
∴点到平面的距离.
20．（12分）已知函数在与时，都取得极值。
（1）求的值；
（2）若，求的单调区间和极值；
（3）若对都有恒成立，求的取值范围。
【答案】（1）a＝－，b＝－2
（2）f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．
当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；
当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－
（3）或
【解析】（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0．
由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．
－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2……………………………………3分
经检验得：这时与都是极值点．…………………………………4分
（2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．
∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1．
∴ f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．
当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；
当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－……………………………………………8分
（3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－x2－2 x＋c，
f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．
而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．
∴ f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴ ，∴
∴ 或∴ 或…………………12分
21.（12分）设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切
线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若|AB|＝1.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．
【答案】(1)点P的轨迹方程为y＝x2－1; (2) 定值为2.
【解析】(1)解：设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，则A(eq \f(m,2)，0)，B(eq \f(n,2)，0)．
设P(x，y)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2mx－m2，,y＝2nx－n2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(m＋n,2)，,y＝mn.))①
因为|AB|＝1，所以|n－m|＝2，
即(m＋n)2－4mn＝4，将①代入上式，得
y＝x2－1.
∴点P的轨迹方程为y＝x2－1.
(2)证明：设直线MN的方程为y＝kx＋b(b>0)．
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y＝x2，))
消去y，得x2－kx－b＝0.
所以m＋n＝k，mn＝－b.②
点P到直线MN的距离
d＝eq \f(|k\f(m＋n,2)－mn＋b|,\r(1＋k2))，|MN|＝eq \r(1＋k2)|m－n|，
∴S△MNP＝eq \f(1,2)d·|MN|
＝eq \f(1,2)|k(eq \f(m＋n,2))－mn＋b|·|m－n|
＝eq \f(1,4)· (m－n)2·|m－n|＝2.
即△MNP的面积为定值2.
22.（12分）已知函数，.
（1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）时，在上是单调增函数，不合题意。时，
的对称轴方程为，在上是单调增函数，不合题意。
时， 的对称轴方程为，在上是单调减函数，
综上所述，
（2）方程整理为，
设，（舍去）
在内只有两个零点，必有-----------------12分