数学选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算一课一练

这是一份数学选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算一课一练，共4页。
1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算
A级　基础巩固
1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,若a⊥b,则实数k的值为 (　　)
A.-6　　B.6　　C.3　　D.-3
解析:由题意,得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,
所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,
所以2k-12=0,所以k=6.
答案:B
2.已知a,b是两异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,若AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为 (　　)
A.30° B.60° C.90° D.45°
解析:由题意,得⊥,⊥,即·=·=0.
因为=++,
所以·=(++)·==1.
因为cos==,
所以=60°,所以直线a,b所成的角为60°.
答案:B
3.如图,已知空间四边形每条边和对角线都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是 (　　)

A.2·
B.2·
C.2·
D.2·
解析:


答案:
4.已知线段AB的长度为64,与直线l的方向向量a的夹角为120°,则在l上的投影向量的长度d为.
解析:
5.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60°,若E为棱C1D1的中点,则·=.





解析:=++,
·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14.
6.如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,试求A,D两点间的距离.

解:因为=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+
2·+2·+2·=12+2(2×2×cos 90°+2×2×cos 120°+2×2×cos 90°)=8,
所以||=2,即A,D两点间的距离为2.
B级　能力提升
7.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,若(+-2)·(-)=0,则△ABC是 (　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析:因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0,
所以||=||,所以△ABC是等腰三角形.
答案:B
8.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,若M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°.
解析:设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则=-,=+,cos===0,故异面直线AB1和BM所成的角是90°.
9.如图所示,在一个直二面角α-AB-β的棱上有A,B两点,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,若AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为2.
解析:由题意,得·=·=·=0.
因为=++=-+,
所以=(-+)2=++-2·+2·-2·=16+36+64=116,所以||=2.
10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量 ;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.

解:(1)=++
=++
=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c.
(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+
2×1×1×=5,
所以|a+b+c|=,
所以||=|a+b+c|=,
即MN=.
11.如图,正四面体V-ABC的棱长为1,高VD的中点为O,M为VC的中点.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求.

(1)证明:设=a,=b,=c.因为正四面体V-ABC的棱长为1,
则=(a+b+c),可得=(b+c-5a),=(a+c-5b),=(a+b-5c),
所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=(18×1×1×cos 60°-9)=0,
所以⊥,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
(2)解:=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),
所以||==.
又因为||==,
·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,
所以cos==.
所以=45°.
C级　挑战创新
12.多选题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面给出的结论正确的是 (　　)
A.|++|2=3||2
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.此正方体体积为|··|
解析:A项,由题意知|++|=||=||,所以|++|2=3||2,正确;
B项,由题意知·(-)=(++)·(-)=
+·+·-·-·-=0,正确;
C项,由题意可求得AD1与A1B两异面直线的夹角为60°,但与的夹角为120°,错误;
D项,因为·=0,所以|··|=0,与实际不符,错误.
答案:AB
13.多选题在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的数量积可能为0的有 (　　)
A.· B.·
C.· D.·
解析:对于选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,所以AD1⊥B1C,此时有·=0;对于选项B,当四边形ABCD为正方形时,易得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时·=0;对于选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,所以AB⊥AD1,所以·=0.对于选项D,由于与不可能垂直,所以·不可能为0.故选ABC.
答案:ABC