选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示习题

这是一份选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示习题，共4页。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系
A级　基础巩固
1.在空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,3,-5)关于Oxy平面对称的点的坐标是 (　　)
A.(-1,3,-5)　　　　B.(1,3,5)
C.(1,-3,5) D.(-1,-3,5)
解析:点P(1,3,-5)关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,3,5).
答案:B
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若向量a在单位正交基底{,,}下的坐标为(2,1,-3),则向量a在单位正交基底{,,}下的坐标为 (　　)
A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)
C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)
解析:因为a=2+-3=2--3=-+2-3,所以向量a在基底{,,}下的坐标为(-1,2,-3),故选B.
答案:B
3.如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点D在Oyz平面内,若∠BDC=90°,∠DCB=30°,则点D的坐标为（0,-,）.

解析:如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E.

在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=,所以DE=CD·sin 30°=,OE=OB-BE=OB-BD·cos 60°=1-=,
所以点D的坐标为.
4.如图,PA⊥正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且AB=AP=1,以{,,}为单位正交基底建立空间直角坐标系,求,的坐标.

解:设=e1,=e2,=e3,则==e2,所以的坐标为(0,1,0).
因为=++
=++
=++(++)
=-e2+e3+(-e3-e1+e2)
=-e1+e3,
所以的坐标为.
B级　能力提升
5.已知向量和在单位正交基底{a,b,c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1).若=,则向量在单位正交基底{a,b,c}下的坐标是 (　　)
A.（-,-,-） B.（,-,-）
C.（-,-,） D.（,,）
解析:　因为=-=(2b+c)-(3a+4b+5c)=-3a-2b-4c,所以==-a-b-c,所以向量在单位正交基底{a,b,c}下的坐标是,故选A.
答案:A
6.一个向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.
解析:设p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc.
由题意,得解得故向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.
7.在正四棱锥V-ABCD中,O为底面中心,若AB=2,VO=3,建立适当的空间直角坐标系,确定各顶点的坐标.
解:答案不唯一,如:以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

因为顶点V在z轴正半轴上,且VO=3,所以它的横坐标与纵坐标都是0,
所以点V的坐标是(0,0,3).
因为A,B,C,D四点都在Oxy平面上,所以它们的竖坐标都是0.
又因为AB=2,O为底面中心,
所以点A的坐标是(1,-1,0),点B的坐标是(1,1,0),点C的坐标是(-1,1,0),点D的坐标是(-1,-1,0).
8.多空题如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标:=(-2,0,1),
=(1,1,2).

解析:设i,j,k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,
则=+=-+=-2i+0j+×2k=-2i+0j+k=(-2,0,1),
=+=+=++=×2i+×2j+2k=i+j+2k=(1,1,2).
C级　挑战创新
9.多选题在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立空间直角坐标系如图所示,则下列向量对应坐标正确的是 (　　)

A.=(0,0,2)
B.=（-,,0）
C.=(0,1,2)
D.=（-,-,2）
解析:设与,,方向相同的单位向量为i,j,k,则=i,=j,=2k,故==2k,从而=(0,0,2),故A正确.==-=i-j,即=,故B错误.=+=j+2k,即=,故C错误.=-=+-=--+=-i-j+2k,即=,故D正确.
答案:AD
10.多空题在棱长为2的正四面体AOBC中,D是AB的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点A的坐标是,的坐标是.

解析:设x轴、y轴、z轴上的单位向量分别为i,j,k,过点A作AG⊥平面OBC于点G,连接BG,并延长交OC于点M,如图所示,则G为△OBC的重心,=j,==××2i=i.

在Rt△ABG中,BG=,
所以AG==.
所以=k,
所以=++=i+j+k,
即点A的坐标是.
因为=+=j+i,
所以=(+)
=
=i+j+k,
即的坐标是.
11.已知在棱长为2的正四面体ABCD中,以△BCD的中心O为坐标原点,OA所在直线为z轴,OC所在直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,x轴与BC交于点E,M为AB的中点,求的坐标.

解:由题意,易知OE=BD=,△BCD的中线长为×2=,则OC=.
所以OA===.
设i,j,k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,所以=(+)=(++)=(++)=[++(-)]=-+=i-j+k,
所以的坐标是.