人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时同步达标检测题

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1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题
A级　基础巩固
1.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外一点P(-2,1,4)到α的距离为 (　　)
A.10　　　　　　　　B.3
C. D.
解析:由题意,知=(1,2,-4).因为平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P到α的距离为==.
答案:D
2.如图,这个立体图形是由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的,其中AB=2,PA=,则点B1到平面PAD的距离为 (　　)

A.6　　　B.　　　C.　　　D.
解析:如图,建立空间直角坐标系,设平面PAD的法向量是n=(x,y,z).由题意,知B1(2,0,0),A(0,0,2),D(0,2,2),P(1,1,4),所以=(0,2,0),=(1,1,2),

所以
所以取z=1,得x=-2,y=0.
所以n=(-2,0,1)是平面PAD的一个法向量.
因为=(-2,0,2),
所以点B1到平面PAD的距离d==.
答案:C
3.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D的距离d是(　　)

A. B.
C. D.
解析:如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,连接BD1,BD,BD交AC于点E,
则B(1,1,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),E.

因为DD1⊥AC,AC⊥BD,
所以AC⊥平面D1DB,所以BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥AB1.
因为AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,即是平面AB1C的一个法向量.
因为平面AB1C∥平面A1C1D,
所以点D到平面AB1C的距离即为两平面之间的距离.
因为=,=(-1,-1,1),
所以d==
=.
故选B.
答案:B
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.

解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),所以=(1,-1,-1),=(0,-2,1),所以==,||=,所以点D1到直线GF的距离为 =.

5.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为.

解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1),

由题意,知M,A(1,0,0),
所以=,
所以点M到平面ACD1的距离为d==.
易知MN∥AD1,又因为MN⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,
所以MN∥平面ACD1,
所以MN到平面ACD1的距离为.
6.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求异面直线AB与MD夹角的大小;
(2)求点B到平面OCD的距离.

解:如图,作AP⊥CD于点P,以A为坐标原点,AB,AP,AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1).
(1)设异面直线AB与MD的夹角为θ,因为=(1,0,0),=,
所以cos θ==,所以θ=.
所以异面直线AB与MD夹角的大小为.
(2)因为=,=,
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),
则得
取z=,则x=0,y=4,
所以n=(0,4,)是平面OCD的一个法向量.
设点B到平面OCD的距离为d.
因为=(1,0,-2),
所以d==,
所以点B到平面OCD的距离为.
B级　能力提升
7.在空间直角坐标系中,定义平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离等于 (　　)
A. B.
C.2 D.5
解析:如图,作出正四棱锥P-A'B'C'D',以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系,

则O(0,0,0),A'(1,1,0),B'(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PA'B'的方程为Ax+By+Cz+D=0,将点A',B',P的坐标代入计算,可得A=0,B=-D,C=-D,所以平面PA'B'的方程为-Dy-Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以点O到侧面的距离d==.
答案:B
8.如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3,AD=2,若M是AB的中点,则点M到平面PAC的距离d为.

解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3),M(2,1,0).

设n=(x,y,z)为平面PAC的法向量.因为=(2,0,-3),=(0,2,-3),
由得所以
取z=2,则x=y=3.
所以n=(3,3,2)为平面PAC的一个法向量.
因为=(0,-1,0),
所以d===,
所以点M到平面PAC的距离d为.
9.如图,在四面体ABCD中,O为BD的中点,AB=AD=2,CA=CB=CD=BD=2,AO⊥平面BCD,则点D到平面ABC的距离为.

解析:如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,),B(,0,0),C(0,,0),D(-,0,0),所以=(,0,-),=(-,,0).

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则即令y=1,则x=,z=.所以n=(,1,)是平面ABC的一个法向量.又因为=(-,0,-),所以点D到平面ABC的距离d===.
10.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.

解:由题意,知PA,AD,AB两两垂直.如图,

以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1).
假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件,令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m.
所以点Q的坐标为(2-m,2,0),
所以=(2-m,2,-1).
因为=(0,1,0),
设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),
则所以
令x=1,则y=0,z=2-m.
所以n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一个法向量.
因为=(0,0,1),
所以点A到平面EFQ的距离d===,即(2-m)2=,所以m=或m=(舍去).故存在点Q,使得点A到平面EFQ的距离为,此时,CQ=.
C级　挑战创新
11.多选题已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P在正方体内部,且满足 =++,则下列说法正确的是 (　　)
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面ABC1D1的距离为
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
解析:如图,建立空间直角坐标系,则点A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,所以=(-1,0,0),=.

设∠ABE=θ,则cos θ==,
sin θ==.
故点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×=,故A错误.
易知==,平面ABC1D1的一个法向量=(0,-1,1),
则点O到平面ABC1D1的距离d2===,故B正确.
=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),
则所以
令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).
所以点D1到平面A1BD的距离d3===.
因为平面A1BD∥平面B1CD1,
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.
因为=++,所以=,
又=(1,0,0),则=,所以点P到直线AB的距离d===,故D错误.故选BC.
答案:BC
12.多空题如图所示,多面体是由底面为ABCD的长方体被平行四边形AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.则BF的长为2,点C到平面AEC1F的距离为.

解析:如图,建立空间直角坐标系,则B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).

设F(0,0,z).
由题意,知四边形AEC1F为平行四边形,
所以由=,得(-2,0,z)=(-2,0,2).
所以z=2,所以F(0,0,2).
所以=(-2,-4,2).
所以||=2,即BF的长为2.
设n1为平面AEC1F的一个法向量,显然n1不垂直于平面ADF.
因为=(0,4,1),=(-2,0,2),
所以可设n1=(x,y,1),
则由得所以
所以n1=.
因为=(0,0,3),设与n1的夹角为α,则
cos α===.
所以点C到平面AEC1F的距离为d=||cos α=3×=.
13.多空题如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.则点M到直线AC1的距离为,点N到平面MA1C1的距离为.

解析:如图,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),N(1,1,0),所以直线AC1的一个单位方向向量为s0=,=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离为==.
因为=(0,2,0),=(2,0,-1),
设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),则
即取x=1,得y=0,z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,与n同向的单位法向量为n0=.
因为=(-1,1,-1),
所以点N到平面MA1C1的距离d=|·n0|=.