数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第2课时达标测试

这是一份数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第2课时达标测试，共8页。

1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时 用空间向量研究夹角问题
A级　基础巩固
1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略).设AB=1,则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),所以=(0,1,-2),=(-1,0,2),
cos<,>===-,
所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
答案:D
2.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为 (　　)
A.- B.
C.- D.
解析:设α与l所成的角为θ,则sin θ=|cos|===,故直线l与α所成角的余弦值为=.
答案:D
3.如图,正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°
解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以=(0,1,0).

取PD中点为E,则E.
所以=.
易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以cos <,>==,
所以平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
答案:B
4.如图所示,在四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD=.
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.

(1)证明:如图,连接OC.
由题意,知BO=DO,AB=AD,
所以AO⊥BD.
因为BO=DO,BC=CD,所以CO⊥BD.
在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=,
因为CA=2,所以AO2+CO2=CA2,
所以∠AOC=90°,即AO⊥CO.
因为BD∩CO=O,所以AO⊥平面BCD.

(2)解:如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0, ,0),A(0,0,1),
所以=(-1,0,1),=(-1,-,0),
所以cos<,>==.
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
5.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(2)当PD=AB,且E为PB的中点时,求直线AE与平面PDB所成角的大小.

(1)证明:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,
设AB=a,PD=h,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h).
所以=(-a,a,0),=(0,0,h),=(a,a,0),
所以·=0,·=0,
所以AC⊥DP,AC⊥DB.
因为DP∩DB=D,所以AC⊥平面PDB.
又因为AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDB.

(2)解:当PD=AB,且E为PB的中点时,P(0,0,a),E,O.
如图,连接OE,由(1)知AC⊥平面PDB于点O,
所以∠AEO为直线AE与平面PDB所成的角.
因为=,=,
所以cos∠AEO==,
所以∠AEO=45°,即直线AE与平面PDB所成角的大小为45°.
B级　能力提升
6.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为　　 (　　)

A.60° B.90°
C.45° D.以上都不对
解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).
设平面A1ED1的法向量为n=(x,y,z),
则得
令z=1,得y=1,x=0,
所以n=(0,1,1)是平面A1ED1的一个法向量.
因为cos===-1.
所以=180°.
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
答案:B
7.如图,在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,E为C1D1的中点,则平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为 (　　)

A.- B.- C. D.
解析:设AD=1,则A1(1,0,2),B(1,2,0).
因为E为C1D1的中点,所以E(0,1,2),所以=(-1,1,0),=(0,2,-2).设m=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,则所以所以取y=1,则x=1,z=1,所以平面A1BE的一个法向量为m=(1,1,1).由题意可知,DA⊥平面A1B1B,所以=(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量,所以cos===.所以平面A1B1B与平面A1BE的夹角的余弦值为,故选C.
答案:C
8.在空间直角坐标系中,若A(1,-2,0),B(2,1,),则向量与平面Oxz的法向量的夹角的正弦值为.
解析:设平面Oxz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0).由题意知=(1,3, ),所以cos==.因为∈[0,π],所以sin==.
9.如图,已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,若B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC的夹角的正切值等于.

解析:如图,建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E,F,
所以=,=.
由题意,知平面ABC的一个法向量为n1=(0,0,1).
设平面AEF的法向量为n2=(x,y,z),
则即
取z=3,则x=1,y=-1.
故n2=(1,-1,3)是平面AEF的一个法向量.
所以cos==.
所以平面AEF与平面ABC的夹角α满足cos α=,sin α=,所以tan α=.
10.如图,已知矩形ABCD与ABEF全等,D-AB-E为直二面角,M为AB的中点,直线FM与BD所成的角为θ,若cos θ=,则线段AB与BC的长度之比为∶2.

解析:设AB=a,BC=b,以A为坐标原点,AF,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

则F(b,0,0),M,B(0,a,0),D(0,0,b).
所以=,=(0,-a,b),
所以||=,||=,
·=-.
因为|cos<,>|==,
整理,得4+5-26=0,
解得=2或=-(舍去),所以==.
11.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,点M,N分别是CC1,BC的中点,点P在A1B1上,且满足=λ(λ∈R).
(1)证明:PN⊥AM;
(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该最大角的正切值;
(3)若平面PMN与平面ABC的夹角为45°,试确定点P的位置.

(1)证明:如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz.

则点P(λ,0,1),N(,,0),M(0,1,),从而=(-λ,,-1),=(0,1,).因为·=(-λ)×0+×1-1×=0,所以PN⊥AM.
(2)解:由题意可知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),则
sin θ=|sin(-<,n>)|=|cos<,n>|==(*).因为θ∈[0,],所以当θ最大时,sin θ最大,tan θ最大（θ=除外）,由(*)式,可知当λ=时,(sin θ)max=,此时
(tan θ)max=2.
(3)解:由(2)可知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z),由(1)得=（λ,-1,）,=（λ-,-,1）.由得
解得令x=3,得y=2λ+1,z=2(1-λ).故m=(3,2λ+1,2(1-λ)).因为平面PMN与平面ABC的夹角为45°,所以|cos|===,解得λ=-.故点P在B1A1的延长线上,且A1P=.
C级　挑战创新
12.多空题如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.异面直线AB与A1C所成角的大小为;若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,则直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为.

解析:如图,取AB中点O,连接CO,A1B,A1O.
因为AB=AA1,∠BAA1=60°,
所以△BAA1是正三角形,所以A1O⊥AB.
因为CA=CB,所以CO⊥AB.
因为CO∩A1O=O,
所以AB⊥平面COA1,所以AB⊥A1C.
所以异面直线AB与A1C所成角的度数为.

由上可知,OC⊥AB,OA1⊥AB,
因为平面ABC⊥平面AA1B1B,平面ABC∩平面AA1B1B=AB,所以OC⊥平面AA1B1B,所以OC⊥OA1,所以OA,OC,OA1两两相互垂直.
如图,以O为坐标原点,OA,OA1,OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.由题设知A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,).
设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,
则即令x=,得y=1,z=-1.
所以平面BB1C1C的一个法向量是n=(,1,-1),
所以cos==-,
所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
13.开放性问题如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2,E为PB的中点,　　　　.试证明四边形ABCD是直角梯形,并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.从下列两个条件中选一个,补充在上面问题中,并完成解答. 
①CD⊥BC;②BC∥平面PAD.

解:选择条件①.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.
因为PA=AD=CD=2,所以PD=2.
又因为PC=2,
所以CD2+PD2=PC2,得CD⊥PD.
因为PA∩PD=P,
所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AD.
又因为CD⊥BC,所以AD∥BC.
所以四边形ABCD是直角梯形.
如图,过点A作AD的垂线,交BC于点M.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.
如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0).

所以=(2,2,-2),=(0,2,-2).
因为E为PB的中点,所以E.
所以=.
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则
令y=1,得n=(0,1,1).
设直线AE与平面PCD所成的角为α,
所以sin α=|cos|==.
所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为.
选择条件②.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.
因为PA=AD=CD=2,所以PD=2.
因为PC=2,所以CD2+PD2=PC2,得CD⊥PD.
因为PA∩PD=P,所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AD.
因为BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以BC∥AD,则四边形ABCD是直角梯形.
求直线AE与平面PCD所成角的正弦值同①.