人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二章质量评估
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.过点A(3,-4),B(-2,m)的直线l的斜率为-2,则m的值为 (　　)
A.6 B.1 C.2 D.4
解析:由题意知直线l的斜率为-2,则=-2,解得m=6.
答案:A
2.过点(-1,2),且斜率为2的直线的方程是 (　　)
A.2x-y+4=0 B.2x+y=0
C.2x-y+5=0 D.x+2y-3=0
解析:因为直线过点(-1,2),且斜率为2,所以该直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.
答案:A
3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 (　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x-1)2+(y-1)2=2
解析:由题意,知圆的半径 r==,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
答案:D
4.过点(2,0)且与直线2x-4y-1=0平行的直线的方程是 (　　)
A.x-2y-1=0 B.2x+y-4=0
C.x-2y-2=0 D.x+2y-2=0
解析:由题意,知直线2x-4y-1=0的斜率k=,故所求直线的方程为y-0=(x-2),化简得x-2y-2=0.
答案:C
5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为 (　　)
A. B.2 C. D.2
解析:由题意,知过原点且倾斜角为60°的直线方程为y=x.
因为圆的方程可化为x2+(y-2)2=4,所以半径r=2,圆心为(0,2),且(0,2)到直线y=x的距离d=1,所以弦长为2=2.
答案:D
6.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),线段PQ的中点M的轨迹方程是 (　　)
A.(x+3)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1
解析:设动点P的坐标为(x0,y0),PQ的中点M的坐标为(x,y),可得解得
因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
所以(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.
所以点M的轨迹方程是(2x-3)2+4y2=1.
答案:C
7.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为　 (　　)
A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0
C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0
解析:由题意设圆心坐标为C(a,0)(a>0).因为圆C与直线3x+4y+4=0相切,圆C的半径为2,所以=2,解得a=2,所以圆心为C(2,0),所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.
答案:D
8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 (　　)
A.-1 B.-
C. D.3-
解析:如图所示,设点A关于直线x+y=4的对称点为A'(a,b),军营所在区域的圆心为O,连接A'O.
根据题意,|A'O|-1为最短距离.
所以线段AA'的中点为,直线AA'的斜率为1,
所以直线AA'的方程为y=x-3.
根据题意,得解得
所以点A'的坐标为(4,1),所以|A'O|==,
所以|A'O|-1=-1,
即“将军饮马”的最短总路程为-1.

答案:A
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021全国卷Ⅰ)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 (　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
解析:因为A(4,0),B(0,2),所以过A,B的直线方程为+=1,即x+2y-4=0,圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心坐标为(5, 5),圆心到直线x+2y-4=0的距离d===>4,所以点P到直线AB的距离的范围为-4,+4,0)与x轴、y轴围成的三角形面积为,圆M的圆心在直线l上,与x轴相切,且在y轴上截得的弦长为4.
(1)求直线l的方程(结果用一般式表示);
(2)求圆M的标准方程.
解:(1)在直线方程y=kx+3(k>0)中,
令x=0,得y=3;
令y=0,得x=-.
所以×3×=.
因为k>0,所以k=2.
所以直线l的方程为2x-y+3=0.
(2)设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
由题意可知
解得或
故圆M的标准方程为(x+5)2+(y+7)2=49 或(x-1)2+(y-5)2=25.
20.(12分)一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米?

解:以圆拱顶点为原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

设圆拱所在圆的圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得A(6,-2).
设圆的半径为r,则C(0,-r),
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.
将点A的坐标代入可得r=10,
所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.
当水面下降1 m后,可设A'(x0,-3)(x0>0)在圆上,代入x2+(y+10)2=100,解得x0=,
即当水面下降1 m后,水面宽为2x0=2 m.
21.(12分)在平面直角坐标系Oxy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.
解:(1)由题意,得曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0), (3-2,0).
故可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=+t2,解得t=1,
所以圆C的半径为=3,
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则两点的坐标满足方程组
消去y整理,得2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0,且x1+x2=4-a,x1x2=. ①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.
因为y1=x1+a,y2=x2+a,
所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0. ②
由①②,得a=-1,经检验a=-1满足Δ>0,
所以a=-1.
22.(12分)已知圆M与直线x=2相切,圆心M在直线x+y=0上,且直线x-y-2=0被圆M截得的弦长为2.
(1)求圆M的方程,并判断圆M 与圆N:x2+y2-6x+8y+15=0的位置关系.
(2)若在x轴上的截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A,B两点,在x轴上是否存在定点Q, 使得kAQ+kBQ=0?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
解:(1)设圆M的圆心为M(a,-a),半径为r,则解得即圆心坐标为(0,0),r=2,
所以圆M的方程为x2+y2=4.
由题意知,圆N的圆心为(3,-4),半径R=,
r+R=2+,R-r=-2.
因为|MN|=5,-2