高中人教A版 (2019)3.1 椭圆第1课时习题

这是一份高中人教A版 (2019)3.1 椭圆第1课时习题，共4页。试卷主要包含了已知椭圆+=1的离心率为,则，已知F1,F2是椭圆C， 故选C，已知F1,F2分别是椭圆C，设P,则=,=，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
A级　基础巩固
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则 (　　)
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
解析:因为椭圆的离心率e==,所以a2=4c2.又因为a2=b2+c2,所以3a2=4b2.
答案:B
2.椭圆+=1的左顶点到右焦点的距离为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
解析:由椭圆方程+=1,可得a=4,b=2,c=2,椭圆+=1的左顶点(-4,0)到右焦点(2,0)的距离为2-(-4)=6.
答案:D
3.(2021全国卷Ⅰ)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 (　　)
A.13 B.12 C.9 D.6
解析:F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,|MF1|+|MF2|=6,所以|MF1|·|MF2|≤（）2=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,取等号,所以|MF1|·|MF2|的最大值为9. 故选C.
答案:C
4.若椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,P是椭圆上一点,P到F的距离的最大值为5,最小值为3,则该椭圆的方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:由题意,得解得所以b=,所以椭圆方程为+=1.
答案:A
5.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点B是椭圆C的上顶点,若△BF1F2为等边三角形,则椭圆的离心率为. 
解析:因为△BF1F2为等边三角形,所以a=2c,所以e==.
6.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,在椭圆C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为2.
解析:由题意,得F1(-2,0),F2(2,0).设P(x,y),则=(x+2,y),=(x-2,y).因为PF1⊥PF2,所以·=0,所以(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2=0,即x2-4+4=0,解得x=0.这时点P为短轴的两顶点,坐标分别为(0,2),(0,-2),故答案为2.
7.求经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同离心率的椭圆的标准方程.
解:设所求椭圆方程为+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),将点M的坐标代入可得+=k1或+=k2,解得k1=,k2=,故+=或+=,即所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点M,,求椭圆C的离心率.
解:由题意,得2a=|MF1|+|MF2|=
+=2.
所以a=.
由已知得c=1,所以椭圆C的离心率e===.
B级　能力提升
9.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q(其中c为椭圆的半焦距),且=2,则椭圆C的离心率等于 (　　)
A. B. C. D.
解析:设椭圆的左焦点为F',圆+y2=的圆心为E,连接PF',QE,如图.

因为|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,
所以===,
所以△FQE∽△FPF',PF'∥QE,
所以=,且PF'⊥PF.
又因为|QE|=,所以|PF'|=b.
根据椭圆的定义,知|PF'|+|PF|=2a,
所以|PF|=2a-b.
因为PF'⊥PF,
所以|PF'|2+|PF|2=|F'F|2,
所以b2+(2a-b)2=(2c)2,
所以2(a2-c2)+b2=2ab,所以3b2=2ab,
所以b=,c==a,=,
所以椭圆的离心率为.
答案:A
10.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是. 
解析:由=2,BF⊥x轴,得|AO|=2|FO|(O为坐标原点),即a=2c,则离心率e=.
11.已知P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,则m2+n2的取值范围是[1,2].
解析:因为P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,所以m2+=1,即n2=2-2m2,所以m2+n2=2-m2.又因为-1≤m≤1,所以1≤2-m2≤2,所以1≤m2+n2≤2.
12.多空题已知F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则该椭圆的离心率是;△ABF2的周长是8.
解析:由题意,得a=2,c==1,所以e==,△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=4a=8.
13.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.
(1)求椭圆E的离心率e.
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.
(1)解:由题意,知M,kOM=,
所以=.
所以a=b,c==2b,故e==.
(2)证明:由N是AC的中点,知N,
可得=.
又因为=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2),
由(1),知a2=5b2,所以·=0,
故MN⊥AB.
14.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
(1)解:不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos 60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).
所以≥,即e≥.
又因为0