高中人教A版 (2019)3.2 双曲线测试题

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 双曲线测试题，共5页。试卷主要包含了已知双曲线C，多空题若F1,F2是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程
A级　基础巩固
1.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|-|PF2|=4,则动点P的轨迹是 (　　)
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.双曲线或线段或不存在
解析:因为定点F1(0,-3),F2(0,3),所以2c=6,点P满足|PF1|-|PF2|=4<|F1F2|,所以点P的轨迹是双曲线的上支.
答案:B
2.已知双曲线-=1上的点P到点(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.7 B.23
C.5或25 D.7或23
解析:设F1(-5,0),F2(5,0),F1,F2正好为双曲线的焦点,则由双曲线的定义,知||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,所以|PF1|=7或23.
答案:D
3.双曲线-=1的焦距是 (　　)
A.16 B.4
C.8 D.2
解析:由题意可得双曲线中a2=m2+12,b2=4-m2,则c2=a2+b2=16,焦距为2c=2×=8.
答案:C
4.设F1,F2是双曲线x2-4y2=4的两个焦点,P在双曲线上,且·=0,则||·||=2.
解析:将双曲线方程x2-4y2=4化为-y2=1,
不妨设||>||,则||-||=4,
故+-2||·||=16.
又因为·=0,所以⊥,故+=(2c)2==20,
所以||·||=2.
5.若关于x,y的方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是(-∞,-3).
解析:因为关于x,y的方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,所以解得m<-3.
6.在下列条件下分别求双曲线的标准方程.
(1)经过两点(3,0),(-6,-3);
(2)a=2,经过点(2,-5),焦点在y轴上.
解:(1)因为双曲线经过点(3,0),所以双曲线的焦点在x轴上.
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)因为a=2,且焦点在y轴上,
所以可设双曲线的标准方程为-=1(b>0).
又因为双曲线经过点(2,-5),所以-=1,
解得b2=16,
所以双曲线的标准方程为-=1.
B级　能力提升
7.已知双曲线C:-y2=1(a>0)与圆x2+y2=4恰好有2个不同的公共点,F是双曲线C的右焦点,过点F的直线与圆x2+y2=4切于点A,则点A到双曲线C的左焦点的距离为 (　　)
A. B. C. D.
解析:如图,设双曲线的左焦点为H,连接AO,过点A作AB⊥x轴于点B.

因为双曲线C:-y2=1(a>0)与圆x2+y2=4恰好有2个不同的公共点,
所以a2=4,所以-y2=1,
所以F(,0),H(-,0).
因为过点F的直线与圆x2+y2=4切于点A,
所以|AF|==1,
所以S△AOF=|AO|·|AF|=×2×1=1.
又因为S△AOF=|AB|·|OF|,
所以|AB|=,|OB|=,即A,
所以点A到左焦点的距离为=.
答案:D
8.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16外切,则动圆圆心的轨迹方程为-=1(x≤-2). 

解析:设动圆圆心为P,由题意,知|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|,则动圆圆心P的轨迹是以点A,B为焦点的双曲线的左支.又因为a=2,c=4,所以b2=12,故动圆圆心的轨迹方程为-=1(x≤-2).
9.已知F是双曲线-=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为9.
解析:如图,设右焦点为F',连接PF'.

依题意,得|PF|=|PF'|+4,
所以|PF|+|PA|=|PF'|+4+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4.因为|AF'|==5,所以|PF|+|PA|≥5+4=9,即|PF|+|PA|的最小值为9.
10.多空题若F1,F2是双曲线C:x2-=1(y≠0)的左、右焦点,点P是双曲线C上一点,若|PF1|=6,则|PF2|=8,△PF1F2的面积=24.
解析:根据双曲线的定义,若|PF1|=6,则||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF2|=4或8.因为y≠0,而只有当P点落在x轴上时才会有|PF2|=4,故舍去此种情况,所以|PF2|=8.因为|PF1|2+|PF2|2=62+82=102=|F1F2|2,所以△PF1F2是直角三角形,故=×6×8=24.
11.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2的面积.
解:(1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c=,
故可设双曲线方程为-=1,因为点(3,-2)在双曲线上,所以
解得或
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)因为点M在双曲线上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,|MF1|=2|MF2|,
所以点M在双曲线的右支上,
则有|MF1|-|MF2|=2,
解得|MF1|=4,|MF2|=2.
又因为|F1F2|=2,
所以在△MF1F2中,
cos ∠F1MF2==,
所以sin ∠F1MF2=,
所以=|MF1|·|MF2|·sin ∠F1MF2=×4×2×=2.
12.A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东方向6 km处,C在B北偏西30°方向上,相距4 km,P为敌炮阵地,某时刻在A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A地距P地远,因此4 s后,B,C两地才同时发现这一信号,此信号的传播速度为 1 km/s,A若炮击P地,求炮击的方向角.
解:如图,以直线BA为x轴,线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,每个单位长度代表1 km.

则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2).
由题意,知|PB|=|PC|,
所以点P在线段BC的垂直平分线上.
设敌炮阵地P的坐标为(x,y),BC的中点为D,连接PD,PA,如图,则D点的坐标为(-4,).
因为kBC=-,
所以直线lPD的方程为y-=(x+4). ①
又因为|PB|-|PA|=4<6,
故P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.
所以双曲线方程为-=1(x≥2). ②
联立①②两式,得x=8,y=5,
所以P点的坐标为(8,5).
所以kPA==.故炮击的方向角为北偏东30°.
C级　挑战创新
13.多选题若关于x,y的方程+=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是(　　)
A.若1 B.若t<1,则C为双曲线
C.若C为双曲线,则焦距为4
D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则3 解析:若关于x,y的方程+=1表示椭圆,则满足解得1 当t=3时,方程x2+y2=2表示圆,所以A项不正确.
若关于x,y的方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则满足解得3 当t<1时,5-t>0,t-1<0,此时C表示焦点在x轴上的双曲线,所以B项正确.
当t=0时,C为双曲线,则双曲线的焦距为2=2,所以C项不正确.
答案:BD
14.多选题设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上,且|OP|=2,则 (　　)
A.PF1⊥PF2
B.|PF1|2+|PF2|2=4
C.|PF1|·|PF2|=4
D.△PF1F2的面积为3
解析:由题意可得a=1,b=,c=2,所以|F1F2|=2c=4.因为|OP|=2,所以|OP|=|F1F2|,所以△PF1F2为直角三角形,所以PF1⊥PF2,所以|PF1|2+=4c2=16,因为||PF1|-|PF2||=2a=2,所以+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|=6.
所以△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=3.故选AD.
答案:AD