人教A版 (2019)3.2 双曲线第1课时精练

这是一份人教A版 (2019)3.2 双曲线第1课时精练，共4页。试卷主要包含了设双曲线C，若双曲线C，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质
A级　基础巩固
1.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是 (　　)
A.m>　　B.m≥1　　C.m>1　　D.m>2
解析:由题意,知a=1,b=,则c=.
因为e==>,所以m>1.
答案:C
2.若双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于 (　　)
A. B. C.2 D.4
解析:双曲线x2-my2=1的实轴长为2,虚轴长为2.由题意,可得2=4,解得m=4.
答案:D
3.若双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为 (　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:由题意,知所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,所以双曲线方程为x2-y2=16,即-=1.
答案:D
4.若0 A.相同的虚轴 B.相同的实轴
C.相同的渐近线 D.相同的焦点
解析:对于双曲线-=1有c2=a2-k+b2+k=a2+b2,对于双曲线-=1也有c2=a2+b2,所以两双曲线的半焦距相同,且焦点都在x轴上,所以两双曲线有相同的焦点.
答案:D
5.(2020全国卷Ⅲ)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则双曲线C的离心率为.
解析:由双曲线C的方程可得其渐近线的方程为y=±x,由题意可得=,所以离心率e===.
6.焦点为(0,6),且与双曲线-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是-=1.
解析:由待求双曲线与双曲线-y2=1有相同的渐近线,且焦点在y轴上,可设所求双曲线方程为-y2=λ(λ<0),即-=1(λ<0).所以-λ-2λ=36,所以λ=-12.故所求双曲线方程为-=1.
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求此双曲线的离心率e的最大值.
解:因为点P在双曲线的右支上,所以由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a.因为|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a.根据点P在双曲线的右支上,可得|PF2|=a≥c-a,所以a≥c,即e≤,所以双曲线的离心率e的最大值为.
B级　能力提升
8.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4, 0)到双曲线C的渐近线的距离为 (　　)
A. B.2 C. D.2
解析:由题意,得e==.又因为c2=a2+b2,所以a2=b2.因为a>0,b>0,所以a=b,所以双曲线C的渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2.
答案:D
9.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则双曲线C的方程为 (　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.由题意,知椭圆的焦点为(3,0),(-3,0),即双曲线C的焦点为(3,0),(-3,0),据此可得解得所以双曲线C的方程为-=1.
答案:B
10.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为双曲线C的右焦点,过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= (　　)
A. B.3 C.2 D.4
解析:由已知,得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,所以点F的坐标为(2,0),双曲线C的渐近线方程为y=±x.如图,设两条渐近线的夹角为2α,则有tan α=,所以α=30°,所以∠MON=2α=60°.又因为△OMN为直角三角形,双曲线具有对称性,不妨设MN⊥ON.

在Rt△ONF中,|OF|=2,则|ON|=.
在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan 2α=×tan 60°=3.
答案:B
11.已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C的右顶点,B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则双曲线C的离心率为2.
解析:因为F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点(c,0),A为C的右顶点(a,0),
B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴,所以B.
由AB的斜率为3,可得=3.
把b2=c2-a2代入上式化简可得c2=3ac-2a2,
结合e=,可得e2-3e+2=0,且e>1,
解得e=2.
12.多空题若双曲线C的两个焦点为(-,0),(,0),一个顶点是(1,0),则双曲线C 的方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=±x.
解析:根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,所以a=1,c=,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=±x.
13.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且PF1⊥PF2,求双曲线的方程.
解:(1)设经过第一、三象限的双曲线的渐近线的方程为y=kx,则=4,且k>0,解得k=.
若双曲线的焦点在x轴上,则=,e=;
若双曲线的焦点在y轴上,则=,e=.
故所求双曲线的离心率为e=或e=.
(2)由题意,设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).
由PF1⊥PF2,得·=0.
所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5.
由(1),知=,又因为a2+b2=c2=25,
所以a=3,b=4,所以双曲线的方程为-=1.
14.双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线的离心率e的取值范围.
解:由题意,知直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.
因为a>1,所以点(1,0)到直线l的距离d1=,
点(-1,0)到直线l的距离d2=,
所以s=d1+d2==.
由s≥c,得≥c,
即5a≥2c2,于是有5≥2e2,
即4e4-25e2+25≤0,解得≤e2≤5.
因为e>1,所以离心率e的取值范围是≤e≤.
C级　挑战创新
15.多选题若F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且向量·=0,则下列结论正确的是 (　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
解析:A项,由题意,得双曲线C的渐近线方程为y=±x,正确.
B项,由题意,得F1(-,0),F2(,0),则以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=2,错误.
C项,F1(-,0)到渐近线y=±x的距离为1,正确.
D项,由题意,得F1(-,0),F2(,0),设P(x0,y0),根据点P在双曲线上,及·=0,得解得所以△PF1F2的面积为×2×=1,正确.
答案:ACD
16.多选题若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线上的点M(-1,)关于另一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F,P是双曲线上的动点,则|PM|+|PF|的值可能为 (　　)
A.4　　　B.4　　　C.2　　　D.2
解析:由双曲线方程得渐近线方程为y=±x.
因为点M(-1,)在渐近线上,
所以渐近线方程为y=±x.
设坐标原点为O,则|OM|=|OF|,
所以c==2.
当P,M,F三点共线且P在双曲线的右支上时,|PM|+|PF|最小,
所以(|PM|+|PF|)min=|MF|==2.
又因为P为双曲线上的动点,
所以|PM|+|PF|无最大值.
因为A,B,D选项中的值均不小于2,C选项中的值小于2,所以A,B,D选项中的值均有可能取得.
答案:ABD