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2023年河南省南阳第二十一学校中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省南阳第二十一学校中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳第二十一学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −32的相反数是( )
A. −23 B. 23 C. 32 D. −32
2. 纳米技术，是研究结构尺寸在1至100纳米范围内材料的性质和应用．有一种纳米材料其理论厚度是0.00000000069m，这个数用科学记数法表示正确的是( )
A. 0.69×10−10 B. 0.69×10−9 C. 6.9×10−9 D. 6.9×10−10
3. 由7个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，直线AB、CD相交于点O.OE⊥AB，∠DOB=65°，则∠EOC的大小为( )
A. 145° B. 105° C. 165° D. 155°
5. 一元一次不等式组3x+4≥15−2x>−1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若OA=3，EF=2，则菱形ABCD的边长为( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5
7. 下列方程中，没有实数根的是( )
A. x2−3x=0 B. x2−6x+10=0
C. x2−6x+9=0 D. x2=1
8. 在4张完全相同的卡片上分别标上2，3，4，5这四个数字，任意抽取两张卡片并将所标数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是( )
A. 13 B. 14 C. 512 D. 712
9. 如图1，△ABC中，点P从A点出发，匀速向点B运动，连接CP，设AP的长为x，CP的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，其中函数图象最低点M( 3, 3).则△ABC的周长为( )
A. 2 3+3 B. 2 6+3 C. 6+ 3+3 D. 6+ 3+2
10. 如图，正方形OABC中，点C(0,4)，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB上时，点D的坐标为( )
A. (4,2)
B. (4,3)
C. (4,83)
D. (4,103)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算： 25−(3−π)0= ______ ．
12. 在△ABC中，MN//BC分别交AB，AC于点M，N，若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为______．
13. 某学校本学期第一次抽考(含数学、英语、物理、化学四科)，四科的满分都为100分.甲、乙、丙三人四科的测试成绩如下表：综合成绩按照数学、英语、物理、化学四科测试成绩的1.2：1：1：0.8的比例计分，则综合成绩的第一名是______ ．
学科
数学
英语
物理
化学
甲
95
85
80
60
乙
80
80
85
80
丙
70
90
70
95
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，点E为弧AB的中点，连接CE、DE.若OA=4，则阴影部分的面积为______．
15. 如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，点P为AB上一个动点，将△APC沿直线CP折叠得到△QPC，点A的对应点为点Q，连接BQ，若△PBQ为直角三角形时，BQ的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
计算：
(1)(m+2n)(m−2n)−m(m−3n)；
(2)x+2x2−6x+9÷(5x−3+1)．
17. (本小题9.0分)
某校准备修建标准化操场，工程招标时有A，B两家公司应标，为选择合适的公司，该校成立了25人的评审团，对这两家公司进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.测评分数(百分制)如下：
A 77 79 80 80 85 86 86 87 88 89 89 90 91 91 91 91 91 92 93 95 95 96 97 98 98
B 69 87 79 79 86 79 87 89 90 89 90 90 90 91 90 92 92 94 92 95 96 96 97 98 98
b.按如下分组整理、描述这两组样本数据：
测评分数x
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
A公司
0
a
9
14
B公司
1
3
b
16
注：分数90分及以上为优秀，80～89分为合格，80分以下为不合格．
c.A，B两家公司测评分数的平均数、众数、中位数如表所示：
品种
平均数
众数
中位数
A公司
89.4
91
d
B公司
89.4
c
90
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中a，b，c，d的值；
(2)记A公司测评分数的方差为S12，B公司测评分数的方差为S22，则S12，S22的大小关系为______ ；
(3)根据抽样调查情况，可以推断______ 公司的综合测评较好，理由为______ .(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
18. (本小题9.0分)
教师节前夕，某校举行了教师节表彰大会，表彰结束后，教师们自编自演了若干节目喜迎佳节，数学王老师坐在台下距离舞台大屏BC水平距离为9m的A处观看节目，如图，王老师用手机软件测得大屏上端B的仰角为30°，测得大屏下端C的仰角为13.7°(BC垂直于地面)，你能帮王老师算出大屏BC的高度吗？(结果精确到0.1m.参考数据：sin13.7°≈0.237；cos13.7°≈0.972；tan13.7°≈0.244； 2≈1.414； 3≈1.732)．
19. (本小题9.0分)
如图，以△ABC为内接三角形的半⊙O中，AB为直径，BD切半⊙O于点B．
(1)作∠BAC的角平分线，交BC于点M，交⊙O于点N，交BD于点E，连接BN.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下．
①求证：BM=BE；
②若ME=4，BE=5，求AM的长．
20. (本小题9.0分)
某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离10m的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．
九(2)班选择小明和小亮摇动大绳；在训练中发现，他们持绳点距地面均为1m，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O的水平距离为5m时，大绳的最大高度为2m．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九(2)班准备选择若干名身高均为1.75m的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为0.5m，请问，九(2)班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
21. (本小题9.0分)
某校在“二十大”胜利闭幕后，组织全校学生参加了“党史在心中”知识竞赛，校团委选择了甲、乙两种马克杯作为奖品，乙马克杯比甲马克杯的单价贵5元，花200元买甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．
(1)求甲、乙马克杯的单价；
(2)若需购进甲、乙马克杯共100个，且乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的13，则如何购买才能使得费用最少？
(3)为奖励部分竞赛成绩特别突出的同学，校团委又选择了一种可以定制图案和文字的马克杯，这种马克杯的单价为20元/个，校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元.若甲马克杯数量是乙马克杯的3倍，则最多可购买3种马克杯共多少个？
22. (本小题10.0分)
如图，平面直角坐标系中，某图形W由线段AB，BC，DE，EF，AF和反比例函数图象的一段CD构成，其中，A(−4,0)，B(4,0)，∠FAB=∠CBA=90°，DE=3，AF=BC=1，DE//x轴且点E的纵坐标为4，设直线EF的解析式为y=ax+b，双曲线CD的解析式为y=kx.点P为双曲线CD上一个动点，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，交EF于点Q，以PQ为边在图形W内部作矩形PQNM，MN在x轴上．
(1)求直线EF和双曲线CD的解析式；
(2)若GO分矩形PQNM的面积比为2：1，求出点P的坐标．
23. (本小题10.0分)
综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆.在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析
(1)如图1，正方形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，将射线PD绕点P顺时针旋转∠ADC的度数，交直线BC于点Q．
小明的思考如下：
连接DQ，
∵AD//CQ，∠ADC=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DAC，(依据1)
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPQ+∠DCQ=180°，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，(依据2)
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP.(依据3)
填空：①依据1应为______ ，
②依据2应为______ ，
③依据3应为______ ；
一般结论探究
(2)将图1中的正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，(1)中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
(3)若∠ADC=120°，AD=3，当△PQC为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据概念，−32的相反数是−(−32)，即32．
故选：C．
根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】D
【解析】解：0.00000000069=6.9×10−10．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知，该几何体的左视图为，
故选：B．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠DOB=65°，
∴∠AOC=65°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠EOC=∠AOE+∠AOC=65°+90°=155°．
故选：D．
根据对顶角的定义得∠AOC的度数，然后由垂直的概念及角的和差可得答案．
此题考查的是垂线的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由3x+4≥1得：x≥−1，
由5−2x>−1得：x<3，
解集在数轴上表示为：
则不等式组的解集为−1≤x<3．
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，
∴BO=2FE=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AB= AO2+BO2= 9+16=5，
故选：D．
由三角形中位线定理可求BO=2EF=4，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A.此方程根的判别式△=(−3)2−4×1×0=9>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B.此方程根的判别式△=(−6)2−4×1×10=−4<0，没有实数根，符合题意；
C.此方程根的判别式△=(−6)2−4×1×9=0，有两个相等的实数根，不符合题意；
D.此方程根的判别式△=02−4×1×(−1)=4>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：B．
分别计算每个方程根的判别式的值，从而得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中组成的两位数能被3整除的结果有4种，即24、42、45、54，
∴组成的两位数能被3整除的概率为412=13，
故选：A．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中组成的两位数能被3整除的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】C
【解析】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据垂线段最短可知，当点P运动到点D时，CP取得最小值为CD，
∵图2函数图象最低点M( 3, 3)，
∴此时AD= 3，CD= 3，
由图2可知，当点P运动到点B时，所对的函数值为2，
∴BC=2，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= ( 3)2+( 3)2= 6，
在Rt△BCD中，BD= BC2−CD2= 22−( 3)2=1，
∴AB=AD+BD= 3+1，
∴C△ABC=AB+BC+AC= 3+1+2+ 6= 6+ 3+3．
故选：C．
过点C作CD⊥AB于点D，根据垂线段最短可知，当点P运动到点D时，CP取得最小值为CD，结合图2可得AD= 3，CD= 3，BC=2，根据勾股定理分别求出AC、BD的长，再根据三角形的周长公式计算即可．
本题主要考查动点问题的函数图象、勾股定理，理解函数图象中最低点坐标的实际意义是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，点Q在射线OB上，
∵C(0,4)，
∴正方形的边长为4，
∵P是CD的中点，
∴CP=PD，
由旋转得：PD=DQ，∠CDQ=90°，
∴CP=PD=DQ，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠CBD=90°，
∵tan∠BCD=BDBC=DQCD=12，
∴BD=12BC=2，
∴D(4,2)．
故选：A．
先根据C(0,4)，得正方形的边长为4，由旋转可得CP=PD=DQ，可知tan∠BCD=BDBC=DQCD=12，则BD=2，得AD的长，从而得点D的坐标．
此题主要考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意正确画图，利用三角函数的定义解决问题．
11.【答案】4
【解析】解： 25−(3−π)0
=5−1
=4，
故答案为：4．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】
解：∵MN//BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴AMAB=MNBC，
即11+2=MN3，
∴MN=1，
故答案为1．
13.【答案】甲
【解析】解：由题意知，甲综合成绩为：(95×1.2+85+80+60×0.8)÷4=81.75(分)，
乙综合成绩为：(80×1.2+80+85+80×0.8)÷4=81.25(分)，
丙综合成绩为：(70×1.2+90+70+95×0.8)÷4=80(分)，
∴甲综合成绩最高．
故答案为：甲．
根据题意这四项课程的权分别为1.2：1：1：0.8.只需按加权平均数的计算公式分别计算并加以比较即可．
本题考查了加权平均数的计算方法．加权平均数等于各数据与其权的积得和除以数据的个数．在计算时要清楚数据对应的权．
14.【答案】4π−4 2
【解析】解：如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J．
∵OC=AC，OD=DB，
∴CD//AB，
∵AE=BE，
∴OE⊥AB，
∴CD⊥OE，
∵OC=OD=2，
∴CJ=OJ，
∵∠COD=90°，
∴CD= OC2+OD2= 22+22=2 2，
∴S四边形OCED=12⋅CD⋅OE=4 2，
∴S阴=S扇形AOB−S四边形OCED=14⋅π⋅42−4 2=4π−4 2，
故答案为：4π−4 2．
如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J.证明CD⊥OE，求出四边形OCED的面积即可解决问题．
本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】2或 10
【解析】解：∵∠A=90°，AC=3，AB=4，
∴BC= AC2+AB2= 32+42=5，
由折叠得QC=AC=3，PQ=PA，∠PQC=∠A=90°，
如图1，△PBQ为直角三角形，且∠PQB=90°，
∴∠PQC+∠PQB=180°，
∴B、Q、C三点在同一条直线上，
∴点Q在BC上，
∴BQ=BC−QC=5−3=2；
如图2，△PBQ为直角三角形，且∠BPQ=90°，
∴∠APQ=90°，
∵∠PQC=∠A=∠APQ=90°，
∴四边形PACQ是矩形，
∵PQ=PA，
∴四边形PACQ是正方形，
∴PQ=PA=AC=3，
∴PB=AB−PA=4−3=1，
∴BQ= PB2+PQ2= 12+32= 10；
当点Q在△ABC内部或点Q在BC边上时，∠PBQ≤∠ABC，
∴∠PBQ是锐角；
当点Q在△ABC外部时，观察图形可知∠PBQ是锐角，
∴△PBQ不能是以∠PBQ为直角的直角三角形，
综上所述，BQ的长为2或 10，
故答案为：2或 10．
由∠A=90°，AC=3，AB=4，根据勾股定理求得BC= AC2+AB2=5，由折叠得QC=AC=3，PQ=PA，∠PQC=∠A=90°，再分三种情况讨论，一是∠PQB=90°，可证明点Q在BC上，则BQ=BC−QC=2；二是∠BPQ=90°，可证明四边形PACQ是正方形，则PQ=PA=AC=3，所以PB=AB−PA=1，即可根据勾股定理求得BQ= PB2+PQ2= 10；三是说明△PBQ不能是以∠PBQ为直角的直角三角形，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、正方形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地求出BP的长是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=m2−4n2−m2+3mn
=−4n2+3mn．
(2)原式=x+2(x−3)2÷5+x−3x−3
=x+2(x−3)2⋅x−3x+2
=1x−3．
【解析】(1)根据整式的运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．
(2)根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算法则、乘法运算法则、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
17.【答案】s12
B公司的测评分数在80≤x<90中有5个，故b=5；
B公司的测评分数出现次数最多的是90，所以众数是90，即c=90；
将A公司的测评分数从小到大排列处在中间位置的一个数是91，因此中位数是91，即d=91；
(2)由A、B公司的测评分数大小波动情况，直观可得s12
②A公司的测评分数方差比B公司小．
故答案为：A；①A公司的测评分数的中位数、众数均比乙公司的高，②A公司的测评分数方差比乙公司小．
(1)根据题意以及中位数、众数的意义求解即可；
(2)根据数据大小波动情况，直观可得答案；
(3)从中位数、众数的比较得出答案．
本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．
18.【答案】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=9m，
∴BD=AD⋅tan30°=9× 33=3 3(m)，
在Rt△ACD中，∠CAD=13.7°，
∴CD=AD⋅tan13.7°≈9×0.244=2.196(m)，
∴BC=BD−CD=3 3−2.196≈3(m)，
∴大屏BC的高度约为3m．
【解析】过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】(1)解：如图：AE即为所求；
(2)①证明：∵BD切半⊙O于点B，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∴∠CAM+∠AMC=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAM=∠BAM，
∴∠AEM=∠AMC，
∵∠AMC=∠BME，
∴∠AEB=∠BME，
∴BM=BE；
②解：∵AB是直径，
∴∠ANB=90，
∵BM=BE，
∴NE=12ME=2，
∴BN= BE2−NE2= 52−22= 21，
∴∠ANB=∠ABD，
∵∠AEB=∠BEN，
∴△ABE∽△BNE，
∴BENE=AEBE，即：52=AE5，
∴AE=12.5，
∴AM−AE−ME=12.5−4=8.5．
【解析】(1)根据做角平分线的基本作法作图；
(2)①根据等角对等边进行证明；
②根据相似三角形的性质求解．
本题考查了复杂作图，掌握等腰三角形的判定定理及相似三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)根据题意，抛物线顶点为(5,2)，过点A(0,1)，
设抛物线的函数解析式为y=a(x−5)2+2，
把A(0,1)代入得：1=25a+2，
解得a=−125，
∴抛物线的函数解析式为y=−125(x−5)2+2=−125x2+25x+1；
(2)在y=−125(x−5)2+2中，令y=1.75得：1.75=−125(x−5)2+2，
解得x=7.5或x=2.5，
∵(7.5−2.5)÷0.5=10，
∴在绳下可以站10+1=11(人)，
∴九(2)班这样的设计能够达到比赛的要求．
【解析】(1)根据题意，抛物线顶点为(5,2)，过点A(0,1)，用待定系数法可得函数解析式；
(2)结合(1)令y=1.75得1.75=−125(x−5)2+2，x=7.5或x=2.5，根据(7.5−2.5)÷0.5=10，知在绳下可以站10+1=11(人)，故九(2)班这样的设计能够达到比赛的要求．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
21.【答案】解：(1)设甲马克杯的单价为x元，则乙马克杯的单价为(x+5)元，
由题意得：200x=400x+5，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴x+5=5+5=10，
答：甲马克杯的单价为5元，乙马克杯的单价为10元；
(2)设购买甲马克杯a个，则购买乙马克杯(100−a)个，
由题意得：100−a≥13a，
解得：a≤75，
设费用为w元，
由题意得：w=5a+10(100−a)=−5a+1000，
∵−5<0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=75时，w有最小值，
此时，100−75=25，
答：购买甲马克杯75个，乙马克杯25个才能使得费用最少；
(3)设购买乙马克杯m个，定制图案和文字的马克杯n个，则购买甲马克杯3m个，
由题意得：5×3m+10m+20n=2000，
整理得：n=100−54m，
∵100−54m>0，
∴m<80，且m是4的倍数，
∴m的最大值为76，
此时，n=5，
∴3m+m+n=3×76+76+5=309(个)，
答：最多可购买3种马克杯共309个．
【解析】(1)设甲马克杯的单价为x元，则乙马克杯的单价为(x+5)元，根据花200元买甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买甲马克杯a个，则购买乙马克杯(100−a)个，根据乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的13，列出一元一次不等式，解得a≤75，再设费用为w元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论；
(3)设购买乙马克杯m个，定制图案和文字的马克杯n个，则购买甲马克杯3m个，根据校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元．列出二元一次方程，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
22.【答案】解：(1)∵A(−4,0)，AF=BC=1，B(4,0)，∠FAB=∠CBA=90°，
∴F(−4,1)，C(4,1)，
设双曲线CD的解析式为：y=kx(k≠0)，
将C(4,1)代入得：k=4，
∴y=4x，
∵DE//x轴，E点纵坐标为4，
∴D点纵坐标为4，
∴D点横坐标为1，即D(1,4)，
∴DE=3，
∴E点横坐标为−2，
∴E(−2,4)，
将E(−2,4)，F(−4,1)代入y=ax+b得
−2a+b=4−4a+b=1，解得：a=32b=7，
∴y=32x+7，
(2).当S矩OGQN：S矩OMPG=2：1时，可得 ON=2OM，
设P(x,4x)，把y=4x代入y=32x+7得x=83x−143，
∴ON=−(83x−143)，
∴−(83x−143)=2x，
解得：x=43或1，
∴P(43,3)或(1,4)，
当S矩OGQN：S矩OMPG=1：2时，可得 2ON=OM，
∴−(83x−143)=x2，
解得：x=14−2 373或14+2 373(舍去)，
∴P(14−2 373,7+ 372)，
∴点P的坐标为：(43,3)或(1,4)或(14−2 373,7+ 372).
【解析】(1)由已和条件先求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式；再求出点E和点F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式；
(2)设P(x,4x)，利用矩形PQNM的面积比为2：1这一条件，分两种情况得到ON与OM的数量关系，通过列方程分别求出点P的坐标即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23.【答案】两直线平行，内错角相等 同弧所对的圆周角相等 等角对等边
【解析】解：(1)连接DQ，
∵AD//CQ，∠ADC=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DAC(两直线平行，内错角相等)，
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPQ+∠DCQ=180°，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP(等角对等边)；
故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边；
(2)结论成立，理由如下：
连接DQ，
∵AD//CQ，∠ADC=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DAC(两直线平行，内错角相等)，
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPQ+∠DCQ=180°，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP；
(3)①∠CPQ=90°时，此时P点和A点重合，
∵∠ADC=120°，
∴∠ABQ=180°−∠ABC=60°，∠CAB=30°，
∴∠BAQ=60°，
即△PBQ是等边三角形，
∵AD=3，
∴AQ=AD=AB=3，
即PQ=3；
②当∠CQP=90°时，此时，B点和Q点重合，
∵BC=AD=3，∠PCQ=30°，
∴PC=2PQ，
∴PQ2+BC2=(2PQ)2，
解得PQ= 3(舍去负值)，
综上所述，PQ的长为3或 3．
(1)平行线的性质，圆的性质，等腰三角形的性质得出结论即可；
(2)同理(1)得出结论即可；
(3)分情况利用特殊直角三角形得出PQ的长度即可．
本题主要考查四点共圆的知识，熟练掌握四点共圆的判定，勾股定理，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
2023年河南省南阳第二十一学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −32的相反数是( )
A. −23 B. 23 C. 32 D. −32
2. 纳米技术，是研究结构尺寸在1至100纳米范围内材料的性质和应用．有一种纳米材料其理论厚度是0.00000000069m，这个数用科学记数法表示正确的是( )
A. 0.69×10−10 B. 0.69×10−9 C. 6.9×10−9 D. 6.9×10−10
3. 由7个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，直线AB、CD相交于点O.OE⊥AB，∠DOB=65°，则∠EOC的大小为( )
A. 145° B. 105° C. 165° D. 155°
5. 一元一次不等式组3x+4≥15−2x>−1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若OA=3，EF=2，则菱形ABCD的边长为( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5
7. 下列方程中，没有实数根的是( )
A. x2−3x=0 B. x2−6x+10=0
C. x2−6x+9=0 D. x2=1
8. 在4张完全相同的卡片上分别标上2，3，4，5这四个数字，任意抽取两张卡片并将所标数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是( )
A. 13 B. 14 C. 512 D. 712
9. 如图1，△ABC中，点P从A点出发，匀速向点B运动，连接CP，设AP的长为x，CP的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，其中函数图象最低点M( 3, 3).则△ABC的周长为( )
A. 2 3+3 B. 2 6+3 C. 6+ 3+3 D. 6+ 3+2
10. 如图，正方形OABC中，点C(0,4)，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB上时，点D的坐标为( )
A. (4,2)
B. (4,3)
C. (4,83)
D. (4,103)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算： 25−(3−π)0= ______ ．
12. 在△ABC中，MN//BC分别交AB，AC于点M，N，若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为______．
13. 某学校本学期第一次抽考(含数学、英语、物理、化学四科)，四科的满分都为100分.甲、乙、丙三人四科的测试成绩如下表：综合成绩按照数学、英语、物理、化学四科测试成绩的1.2：1：1：0.8的比例计分，则综合成绩的第一名是______ ．
学科
数学
英语
物理
化学
甲
95
85
80
60
乙
80
80
85
80
丙
70
90
70
95
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，点E为弧AB的中点，连接CE、DE.若OA=4，则阴影部分的面积为______．
15. 如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，点P为AB上一个动点，将△APC沿直线CP折叠得到△QPC，点A的对应点为点Q，连接BQ，若△PBQ为直角三角形时，BQ的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
计算：
(1)(m+2n)(m−2n)−m(m−3n)；
(2)x+2x2−6x+9÷(5x−3+1)．
17. (本小题9.0分)
某校准备修建标准化操场，工程招标时有A，B两家公司应标，为选择合适的公司，该校成立了25人的评审团，对这两家公司进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.测评分数(百分制)如下：
A 77 79 80 80 85 86 86 87 88 89 89 90 91 91 91 91 91 92 93 95 95 96 97 98 98
B 69 87 79 79 86 79 87 89 90 89 90 90 90 91 90 92 92 94 92 95 96 96 97 98 98
b.按如下分组整理、描述这两组样本数据：
测评分数x
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
A公司
0
a
9
14
B公司
1
3
b
16
注：分数90分及以上为优秀，80～89分为合格，80分以下为不合格．
c.A，B两家公司测评分数的平均数、众数、中位数如表所示：
品种
平均数
众数
中位数
A公司
89.4
91
d
B公司
89.4
c
90
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中a，b，c，d的值；
(2)记A公司测评分数的方差为S12，B公司测评分数的方差为S22，则S12，S22的大小关系为______ ；
(3)根据抽样调查情况，可以推断______ 公司的综合测评较好，理由为______ .(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
18. (本小题9.0分)
教师节前夕，某校举行了教师节表彰大会，表彰结束后，教师们自编自演了若干节目喜迎佳节，数学王老师坐在台下距离舞台大屏BC水平距离为9m的A处观看节目，如图，王老师用手机软件测得大屏上端B的仰角为30°，测得大屏下端C的仰角为13.7°(BC垂直于地面)，你能帮王老师算出大屏BC的高度吗？(结果精确到0.1m.参考数据：sin13.7°≈0.237；cos13.7°≈0.972；tan13.7°≈0.244； 2≈1.414； 3≈1.732)．
19. (本小题9.0分)
如图，以△ABC为内接三角形的半⊙O中，AB为直径，BD切半⊙O于点B．
(1)作∠BAC的角平分线，交BC于点M，交⊙O于点N，交BD于点E，连接BN.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下．
①求证：BM=BE；
②若ME=4，BE=5，求AM的长．
20. (本小题9.0分)
某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离10m的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．
九(2)班选择小明和小亮摇动大绳；在训练中发现，他们持绳点距地面均为1m，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O的水平距离为5m时，大绳的最大高度为2m．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九(2)班准备选择若干名身高均为1.75m的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为0.5m，请问，九(2)班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
21. (本小题9.0分)
某校在“二十大”胜利闭幕后，组织全校学生参加了“党史在心中”知识竞赛，校团委选择了甲、乙两种马克杯作为奖品，乙马克杯比甲马克杯的单价贵5元，花200元买甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．
(1)求甲、乙马克杯的单价；
(2)若需购进甲、乙马克杯共100个，且乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的13，则如何购买才能使得费用最少？
(3)为奖励部分竞赛成绩特别突出的同学，校团委又选择了一种可以定制图案和文字的马克杯，这种马克杯的单价为20元/个，校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元.若甲马克杯数量是乙马克杯的3倍，则最多可购买3种马克杯共多少个？
22. (本小题10.0分)
如图，平面直角坐标系中，某图形W由线段AB，BC，DE，EF，AF和反比例函数图象的一段CD构成，其中，A(−4,0)，B(4,0)，∠FAB=∠CBA=90°，DE=3，AF=BC=1，DE//x轴且点E的纵坐标为4，设直线EF的解析式为y=ax+b，双曲线CD的解析式为y=kx.点P为双曲线CD上一个动点，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，交EF于点Q，以PQ为边在图形W内部作矩形PQNM，MN在x轴上．
(1)求直线EF和双曲线CD的解析式；
(2)若GO分矩形PQNM的面积比为2：1，求出点P的坐标．
23. (本小题10.0分)
综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆.在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析
(1)如图1，正方形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，将射线PD绕点P顺时针旋转∠ADC的度数，交直线BC于点Q．
小明的思考如下：
连接DQ，
∵AD//CQ，∠ADC=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DAC，(依据1)
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPQ+∠DCQ=180°，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，(依据2)
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP.(依据3)
填空：①依据1应为______ ，
②依据2应为______ ，
③依据3应为______ ；
一般结论探究
(2)将图1中的正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，(1)中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
(3)若∠ADC=120°，AD=3，当△PQC为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据概念，−32的相反数是−(−32)，即32．
故选：C．
根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】D
【解析】解：0.00000000069=6.9×10−10．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知，该几何体的左视图为，
故选：B．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠DOB=65°，
∴∠AOC=65°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠EOC=∠AOE+∠AOC=65°+90°=155°．
故选：D．
根据对顶角的定义得∠AOC的度数，然后由垂直的概念及角的和差可得答案．
此题考查的是垂线的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由3x+4≥1得：x≥−1，
由5−2x>−1得：x<3，
解集在数轴上表示为：
则不等式组的解集为−1≤x<3．
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，
∴BO=2FE=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AB= AO2+BO2= 9+16=5，
故选：D．
由三角形中位线定理可求BO=2EF=4，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A.此方程根的判别式△=(−3)2−4×1×0=9>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B.此方程根的判别式△=(−6)2−4×1×10=−4<0，没有实数根，符合题意；
C.此方程根的判别式△=(−6)2−4×1×9=0，有两个相等的实数根，不符合题意；
D.此方程根的判别式△=02−4×1×(−1)=4>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：B．
分别计算每个方程根的判别式的值，从而得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中组成的两位数能被3整除的结果有4种，即24、42、45、54，
∴组成的两位数能被3整除的概率为412=13，
故选：A．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中组成的两位数能被3整除的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】C
【解析】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据垂线段最短可知，当点P运动到点D时，CP取得最小值为CD，
∵图2函数图象最低点M( 3, 3)，
∴此时AD= 3，CD= 3，
由图2可知，当点P运动到点B时，所对的函数值为2，
∴BC=2，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= ( 3)2+( 3)2= 6，
在Rt△BCD中，BD= BC2−CD2= 22−( 3)2=1，
∴AB=AD+BD= 3+1，
∴C△ABC=AB+BC+AC= 3+1+2+ 6= 6+ 3+3．
故选：C．
过点C作CD⊥AB于点D，根据垂线段最短可知，当点P运动到点D时，CP取得最小值为CD，结合图2可得AD= 3，CD= 3，BC=2，根据勾股定理分别求出AC、BD的长，再根据三角形的周长公式计算即可．
本题主要考查动点问题的函数图象、勾股定理，理解函数图象中最低点坐标的实际意义是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，点Q在射线OB上，
∵C(0,4)，
∴正方形的边长为4，
∵P是CD的中点，
∴CP=PD，
由旋转得：PD=DQ，∠CDQ=90°，
∴CP=PD=DQ，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠CBD=90°，
∵tan∠BCD=BDBC=DQCD=12，
∴BD=12BC=2，
∴D(4,2)．
故选：A．
先根据C(0,4)，得正方形的边长为4，由旋转可得CP=PD=DQ，可知tan∠BCD=BDBC=DQCD=12，则BD=2，得AD的长，从而得点D的坐标．
此题主要考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意正确画图，利用三角函数的定义解决问题．
11.【答案】4
【解析】解： 25−(3−π)0
=5−1
=4，
故答案为：4．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】
解：∵MN//BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴AMAB=MNBC，
即11+2=MN3，
∴MN=1，
故答案为1．
13.【答案】甲
【解析】解：由题意知，甲综合成绩为：(95×1.2+85+80+60×0.8)÷4=81.75(分)，
乙综合成绩为：(80×1.2+80+85+80×0.8)÷4=81.25(分)，
丙综合成绩为：(70×1.2+90+70+95×0.8)÷4=80(分)，
∴甲综合成绩最高．
故答案为：甲．
根据题意这四项课程的权分别为1.2：1：1：0.8.只需按加权平均数的计算公式分别计算并加以比较即可．
本题考查了加权平均数的计算方法．加权平均数等于各数据与其权的积得和除以数据的个数．在计算时要清楚数据对应的权．
14.【答案】4π−4 2
【解析】解：如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J．
∵OC=AC，OD=DB，
∴CD//AB，
∵AE=BE，
∴OE⊥AB，
∴CD⊥OE，
∵OC=OD=2，
∴CJ=OJ，
∵∠COD=90°，
∴CD= OC2+OD2= 22+22=2 2，
∴S四边形OCED=12⋅CD⋅OE=4 2，
∴S阴=S扇形AOB−S四边形OCED=14⋅π⋅42−4 2=4π−4 2，
故答案为：4π−4 2．
如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J.证明CD⊥OE，求出四边形OCED的面积即可解决问题．
本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】2或 10
【解析】解：∵∠A=90°，AC=3，AB=4，
∴BC= AC2+AB2= 32+42=5，
由折叠得QC=AC=3，PQ=PA，∠PQC=∠A=90°，
如图1，△PBQ为直角三角形，且∠PQB=90°，
∴∠PQC+∠PQB=180°，
∴B、Q、C三点在同一条直线上，
∴点Q在BC上，
∴BQ=BC−QC=5−3=2；
如图2，△PBQ为直角三角形，且∠BPQ=90°，
∴∠APQ=90°，
∵∠PQC=∠A=∠APQ=90°，
∴四边形PACQ是矩形，
∵PQ=PA，
∴四边形PACQ是正方形，
∴PQ=PA=AC=3，
∴PB=AB−PA=4−3=1，
∴BQ= PB2+PQ2= 12+32= 10；
当点Q在△ABC内部或点Q在BC边上时，∠PBQ≤∠ABC，
∴∠PBQ是锐角；
当点Q在△ABC外部时，观察图形可知∠PBQ是锐角，
∴△PBQ不能是以∠PBQ为直角的直角三角形，
综上所述，BQ的长为2或 10，
故答案为：2或 10．
由∠A=90°，AC=3，AB=4，根据勾股定理求得BC= AC2+AB2=5，由折叠得QC=AC=3，PQ=PA，∠PQC=∠A=90°，再分三种情况讨论，一是∠PQB=90°，可证明点Q在BC上，则BQ=BC−QC=2；二是∠BPQ=90°，可证明四边形PACQ是正方形，则PQ=PA=AC=3，所以PB=AB−PA=1，即可根据勾股定理求得BQ= PB2+PQ2= 10；三是说明△PBQ不能是以∠PBQ为直角的直角三角形，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、正方形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地求出BP的长是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=m2−4n2−m2+3mn
=−4n2+3mn．
(2)原式=x+2(x−3)2÷5+x−3x−3
=x+2(x−3)2⋅x−3x+2
=1x−3．
【解析】(1)根据整式的运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．
(2)根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算法则、乘法运算法则、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
17.【答案】s12
B公司的测评分数在80≤x<90中有5个，故b=5；
B公司的测评分数出现次数最多的是90，所以众数是90，即c=90；
将A公司的测评分数从小到大排列处在中间位置的一个数是91，因此中位数是91，即d=91；
(2)由A、B公司的测评分数大小波动情况，直观可得s12
②A公司的测评分数方差比B公司小．
故答案为：A；①A公司的测评分数的中位数、众数均比乙公司的高，②A公司的测评分数方差比乙公司小．
(1)根据题意以及中位数、众数的意义求解即可；
(2)根据数据大小波动情况，直观可得答案；
(3)从中位数、众数的比较得出答案．
本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．
18.【答案】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=9m，
∴BD=AD⋅tan30°=9× 33=3 3(m)，
在Rt△ACD中，∠CAD=13.7°，
∴CD=AD⋅tan13.7°≈9×0.244=2.196(m)，
∴BC=BD−CD=3 3−2.196≈3(m)，
∴大屏BC的高度约为3m．
【解析】过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】(1)解：如图：AE即为所求；
(2)①证明：∵BD切半⊙O于点B，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∴∠CAM+∠AMC=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAM=∠BAM，
∴∠AEM=∠AMC，
∵∠AMC=∠BME，
∴∠AEB=∠BME，
∴BM=BE；
②解：∵AB是直径，
∴∠ANB=90，
∵BM=BE，
∴NE=12ME=2，
∴BN= BE2−NE2= 52−22= 21，
∴∠ANB=∠ABD，
∵∠AEB=∠BEN，
∴△ABE∽△BNE，
∴BENE=AEBE，即：52=AE5，
∴AE=12.5，
∴AM−AE−ME=12.5−4=8.5．
【解析】(1)根据做角平分线的基本作法作图；
(2)①根据等角对等边进行证明；
②根据相似三角形的性质求解．
本题考查了复杂作图，掌握等腰三角形的判定定理及相似三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)根据题意，抛物线顶点为(5,2)，过点A(0,1)，
设抛物线的函数解析式为y=a(x−5)2+2，
把A(0,1)代入得：1=25a+2，
解得a=−125，
∴抛物线的函数解析式为y=−125(x−5)2+2=−125x2+25x+1；
(2)在y=−125(x−5)2+2中，令y=1.75得：1.75=−125(x−5)2+2，
解得x=7.5或x=2.5，
∵(7.5−2.5)÷0.5=10，
∴在绳下可以站10+1=11(人)，
∴九(2)班这样的设计能够达到比赛的要求．
【解析】(1)根据题意，抛物线顶点为(5,2)，过点A(0,1)，用待定系数法可得函数解析式；
(2)结合(1)令y=1.75得1.75=−125(x−5)2+2，x=7.5或x=2.5，根据(7.5−2.5)÷0.5=10，知在绳下可以站10+1=11(人)，故九(2)班这样的设计能够达到比赛的要求．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
21.【答案】解：(1)设甲马克杯的单价为x元，则乙马克杯的单价为(x+5)元，
由题意得：200x=400x+5，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴x+5=5+5=10，
答：甲马克杯的单价为5元，乙马克杯的单价为10元；
(2)设购买甲马克杯a个，则购买乙马克杯(100−a)个，
由题意得：100−a≥13a，
解得：a≤75，
设费用为w元，
由题意得：w=5a+10(100−a)=−5a+1000，
∵−5<0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=75时，w有最小值，
此时，100−75=25，
答：购买甲马克杯75个，乙马克杯25个才能使得费用最少；
(3)设购买乙马克杯m个，定制图案和文字的马克杯n个，则购买甲马克杯3m个，
由题意得：5×3m+10m+20n=2000，
整理得：n=100−54m，
∵100−54m>0，
∴m<80，且m是4的倍数，
∴m的最大值为76，
此时，n=5，
∴3m+m+n=3×76+76+5=309(个)，
答：最多可购买3种马克杯共309个．
【解析】(1)设甲马克杯的单价为x元，则乙马克杯的单价为(x+5)元，根据花200元买甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买甲马克杯a个，则购买乙马克杯(100−a)个，根据乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的13，列出一元一次不等式，解得a≤75，再设费用为w元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论；
(3)设购买乙马克杯m个，定制图案和文字的马克杯n个，则购买甲马克杯3m个，根据校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元．列出二元一次方程，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
22.【答案】解：(1)∵A(−4,0)，AF=BC=1，B(4,0)，∠FAB=∠CBA=90°，
∴F(−4,1)，C(4,1)，
设双曲线CD的解析式为：y=kx(k≠0)，
将C(4,1)代入得：k=4，
∴y=4x，
∵DE//x轴，E点纵坐标为4，
∴D点纵坐标为4，
∴D点横坐标为1，即D(1,4)，
∴DE=3，
∴E点横坐标为−2，
∴E(−2,4)，
将E(−2,4)，F(−4,1)代入y=ax+b得
−2a+b=4−4a+b=1，解得：a=32b=7，
∴y=32x+7，
(2).当S矩OGQN：S矩OMPG=2：1时，可得 ON=2OM，
设P(x,4x)，把y=4x代入y=32x+7得x=83x−143，
∴ON=−(83x−143)，
∴−(83x−143)=2x，
解得：x=43或1，
∴P(43,3)或(1,4)，
当S矩OGQN：S矩OMPG=1：2时，可得 2ON=OM，
∴−(83x−143)=x2，
解得：x=14−2 373或14+2 373(舍去)，
∴P(14−2 373,7+ 372)，
∴点P的坐标为：(43,3)或(1,4)或(14−2 373,7+ 372).
【解析】(1)由已和条件先求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式；再求出点E和点F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式；
(2)设P(x,4x)，利用矩形PQNM的面积比为2：1这一条件，分两种情况得到ON与OM的数量关系，通过列方程分别求出点P的坐标即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23.【答案】两直线平行，内错角相等 同弧所对的圆周角相等 等角对等边
【解析】解：(1)连接DQ，
∵AD//CQ，∠ADC=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DAC(两直线平行，内错角相等)，
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPQ+∠DCQ=180°，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP(等角对等边)；
故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边；
(2)结论成立，理由如下：
连接DQ，
∵AD//CQ，∠ADC=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DAC(两直线平行，内错角相等)，
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPQ+∠DCQ=180°，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP；
(3)①∠CPQ=90°时，此时P点和A点重合，
∵∠ADC=120°，
∴∠ABQ=180°−∠ABC=60°，∠CAB=30°，
∴∠BAQ=60°，
即△PBQ是等边三角形，
∵AD=3，
∴AQ=AD=AB=3，
即PQ=3；
②当∠CQP=90°时，此时，B点和Q点重合，
∵BC=AD=3，∠PCQ=30°，
∴PC=2PQ，
∴PQ2+BC2=(2PQ)2，
解得PQ= 3(舍去负值)，
综上所述，PQ的长为3或 3．
(1)平行线的性质，圆的性质，等腰三角形的性质得出结论即可；
(2)同理(1)得出结论即可；
(3)分情况利用特殊直角三角形得出PQ的长度即可．
本题主要考查四点共圆的知识，熟练掌握四点共圆的判定，勾股定理，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
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