上海中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷【解析版】

这是一份上海中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷【解析版】，共18页。试卷主要包含了设=，=+k等内容，欢迎下载使用。


2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷

一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1．在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角α=__________．

2．设=（1，2），=（1，1），=+k．若⊥，则实数k的值等于__________．

3．直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直，则实数m=__________．

4．三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=__________．

5．直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为__________．（结果用反三角函数值表示）

6．增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=__________．

7．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=__________．

8．规定矩阵A3=A•A•A，若矩阵，则x的值是__________．

9．手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=__________．

10．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是__________．

11．平面向量，，满足||=1， •=1， •=2，|﹣|=2，则•的最小值为__________．

12．在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为__________．



二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件

14．如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )
A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线
B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上
C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上
D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程

15．若对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，则( )
A．≥1 B．≤1 C．a2+b2≥1 D．a2+b2≤1

16．△ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是( )
A．12 B．10 C．8 D．不是定值


三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）
17．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．

18．已知||=，||=1，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角的实数λ的取值范围．

19．已知x，y满足条件：，求：
（1）4x﹣3y的最小值；
（2）的取值范围．

20．在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表示a、b中的较大数）为P1、P2两点的“切比雪夫距离”；
（1）若P（3，1）、Q为直线y=2x﹣1上的动点，求P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值；
（2）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．

21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；
（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；
（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；
（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．



2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷


一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1．在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角α=．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；方程思想；分析法；直线与圆．
【分析】设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，即可得出．
【解答】解：设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，
∵α∈[0，π），
∴α=，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系及其计算公式，属于基础题．

2．设=（1，2），=（1，1），=+k．若⊥，则实数k的值等于﹣．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意可得的坐标，由⊥可得•=0，解关于k的方程可得．
【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），
∴=+k=（1，2）+（k，k）=（1+k，2+k），
∵⊥，∴•=1+k+2+k=0，
解得k=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查平面向量的数量积和垂直关系，属基础题．

3．直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直，则实数m=0或3．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆．
【分析】由直线垂直可得m（m+3）﹣6m=0，解方程可得m值．
【解答】解：∵直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直，
∴m（m+3）﹣6m=0，解得m=0或m=3，
故答案为：0或3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．

4．三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=6．
【考点】三阶矩阵．
【专题】矩阵和变换．
【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论．
【解答】解：∵三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，
∴﹣=10，
∴﹣[2×（﹣2）﹣k]=10，
∴k=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了行列式的代数余子式，本题难度不大，属于基础题．

5．直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为arccos．（结果用反三角函数值表示）
【考点】直线的方向向量．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】先求出直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，从而能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值，由此能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角大小．
【解答】解：∵直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，
∴直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值是=，
∴直线l与x﹣y+2=0的夹角大小为arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查两直线夹角大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的方向向量的概念的合理运用．

6．增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=﹣4．
【考点】不定方程和方程组．
【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．
【分析】由已知得到，由此能求出m+n的值．
【解答】解：∵增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，
∴，
解得m=﹣2，n=﹣2，
∴m+n=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵解方程组的性质的合理运用．

7．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=4．
【考点】圆的一般方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，
令x=0，可得y2+4y﹣20=0，
∴y=﹣2±2，
∴|MN|=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．

8．规定矩阵A3=A•A•A，若矩阵，则x的值是．
【考点】二阶行列式的定义．
【专题】计算题．
【分析】按照规定的矩阵运算，进行化简，利用矩阵相等的概念，列出关于x的方程，并解出x即可．
【解答】解：==，∴3x=1，x=
故答案为：
【点评】本题考查矩阵的运算，方程思想，属于基础题．

9．手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．
【解答】解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，
连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为 ，每对向量的夹角为30°，
∴每对向量的数量积为 cos30°=，
∴最后结果为12×=6﹣9，
故答案为：6﹣9．
【点评】本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起．

10．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（﹣∞，﹣）．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．
【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，从而解得．
【解答】解：由题意作出其平面区域，

则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，
故﹣m﹣2m＞2，
解得，m＜﹣；
故答案为：（﹣∞，﹣）．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．

11．平面向量，，满足||=1， •=1， •=2，|﹣|=2，则•的最小值为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1， •=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
∵||=1，∴不妨设=（1，0）．
∵•=1， •=2，
∴可设=（1，m），=（2，n）．
∴=（﹣1，m﹣n）．
∵|﹣|=2，
∴，化为（m﹣n）2=3，
∴（m+n）2=3+4mn≥0，
∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．
∴=2+mn．
故答案为：．

【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．

12．在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为4．

【考点】圆的切线方程．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．
【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，
∵AB=BC=2，∴C（3，0），
设P（x，y），
∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，
∴=•，
整理，得x2+y2+6x﹣11=0，
∴点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，
∴当点P在直线x=﹣3上时，△PAC的面积的最大，
∴（S△PAC）max==4．
故答案为：4．

【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．

二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件
【考点】二元一次方程组的矩阵形式．
【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．
【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解；
系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．
∴系数行列式D=0，方程可能有无数个解，也有可能无解，
反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．
总之，两者之间互相推出的问题．
故选D．
【点评】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．

14．如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )
A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线
B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上
C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上
D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题．
【分析】利用曲线的方程、方程的曲线的定义的两个方面，进行判断．
【解答】解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，
故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f（x，y）=0的曲线不正确；
方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；
不能推出曲线C是方程f（x，y）=0的轨迹，
从而得到A，B，D均不正确，
不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是正确的．
故选 C．
【点评】本题考查曲线与方程的关系，只有曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，而且以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，才能得出方程f（x，y）=0的曲线是C，曲线C的方程是f（x，y）=0．

15．若对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，则( )
A．≥1 B．≤1 C．a2+b2≥1 D．a2+b2≤1
【考点】基本不等式．
【专题】转化思想；三角函数的求值；不等式的解法及应用．
【分析】由题意和三角函数辅助角公式可得．
【解答】解：∵对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，
∴1=acosx﹣bsinx=sin（φ﹣x），其中tanφ=，
∴1≤，平方可得a2+b2≥1
故选：C
【点评】本题考查不等式，涉及三角函数的最值，属基础题．

16．△ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是( )
A．12 B．10 C．8 D．不是定值
【考点】向量在几何中的应用．
【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】O为△ABC外接圆圆心，可取AB边中点E，AC边中点F，连接OD，OE，AO，从而有OD⊥AB，OE⊥AC，而，从而进行数量积的计算，便可得出该数量积的值．
【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：
OD⊥AB，OE⊥AC；
∴
=
=
=．
故选A．

【点评】考查三角形外接圆及外接圆圆心的概念，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及其计算公式，直角三角形边角的关系．

三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）
17．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】分类讨论；综合法；直线与圆．
【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可．
【解答】解：∵|AB|==5， |AB|＞2，
∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，
①当直线l平行直线AB时：kAB==﹣，可设直线l的方程为y=﹣x+b
依题意得：=2，解得：b=或b=，
故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0
②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k（x﹣3）
依题意得：=2，解得：k=，
故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力．

18．已知||=，||=1，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角的实数λ的取值范围．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】根据题意便知，从而根据条件进行数量积的运算便可得出λ2﹣7λ+6＜0，这样解该不等式便可得出λ的取值范围．
【解答】解：与夹角为锐角时，==4λ﹣（6+λ2）+3λ＞0；
解得1＜λ＜6；
∴实数λ的取值范围为（1，6）．
【点评】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式．

19．已知x，y满足条件：，求：
（1）4x﹣3y的最小值；
（2）的取值范围．
【考点】简单线性规划．
【专题】运动思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：（1）不等式组表示的公共区域如图所示：
其中A（4，1）、B（﹣1，﹣6）、C（﹣3，2），
设z=4x﹣3y，则y=x﹣，平移直线y=x﹣，
由图象可知当直线y=x﹣过C点时，直线的截距最大，此时z取得最小值，
将C（﹣3，2），代入z=4x﹣3y得最小值，
即z的最小值z=4×（﹣3）﹣3×2=﹣18．
（2）==1﹣，
设k=，则k的几何意义是动点（x，y）到定点D（﹣4，﹣5）的斜率，
而KCD==7，KBD==﹣，
∴﹣≤k≤7，
∴﹣6≤1﹣k≤，
即的取值范围是[﹣6，]．

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

20．在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表示a、b中的较大数）为P1、P2两点的“切比雪夫距离”；
（1）若P（3，1）、Q为直线y=2x﹣1上的动点，求P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值；
（2）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】新定义；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．
【分析】（1）设Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，讨论|x﹣3|，|2﹣2x|的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；
（2）运用分段函数的形式求得d（C，P），分析各段与不等式表示的区域的图形，即可得到面积．
【解答】解：（1）设Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，
由|x﹣3|≥|2﹣2x|，解得﹣1≤x≤，即有d（P，Q）=|x﹣3|，
当x=时，取得最小值；
由|x﹣3|＜|2﹣2x|，解得x＞或x＜﹣1，即有d（P，Q）=|2x﹣2|，
d（P，Q）的范围是（3，+∞）∪（，+∞）=（，+∞）．
综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为；
（2）由题意可得，d（C，P）=r=，
当|x0﹣x|≥|y0﹣y|，|x0﹣x|=r，即有x=x0±r，
围成的图形为关于点（x0，y0）对称的三角形区域；
当|x0﹣x|＜|y0﹣y|，|y0﹣y|=r，即有y=y0±r，
围成的图形为关于点（x0，y0）对称的三角形区域．
综上可得P点所在的曲线所围成图形为边长为2r的正方形区域，
其面积为4r2．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式的解法和平面区域的面积求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．

21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；
（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；
（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；
（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】圆方程的综合应用．
【专题】新定义；转化思想；待定系数法；直线与圆．
【分析】（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得k，即可得到所求直线方程；
（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③，解方程可得a，b，r，进而得到所求圆的方程；
（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，再由恒成立思想可得m，n的方程，解方程可得P的坐标．
【解答】解：（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），
圆C0：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1，
由题意可得=，
解得k=±，
即有所求直线为y=±（x﹣2）；
（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①
|a|=r②，=r③
解方程可得a=﹣3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1．
则有圆C的方程为（x+3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y﹣3）2=1；
（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和
y﹣n=﹣（x﹣m），又C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），半径为1，
C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的圆心为（3，3），半径为2，
由题意可得=，
化简可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，
即有或，
解得或．
则存在这样的点P（1，﹣1）和（﹣，），使得使过P的任意两条互相垂直的直线
分别关于相应两圆的距离比始终相等．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题．