2022-2023学年浙江省宁波市镇海区立人中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市镇海区立人中学七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省宁波市镇海区立人中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使分式子2x−5有意义，x的取值应满足(    )
A. x>5 B. x≠5 C. x≠0 D. x≠−5
2. 某市有9个区，为了解该市初中生的视力情况，小圆设计了四种调查方案．你认为比较合理的是(    )
A. 测试该市某一所中学初中生的视力
B. 测试该市某个区所有初中生的视力
C. 测试全市所有初中生的视力
D. 每区各抽5所初中，测试所抽学校学生的视力
3. 要说明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题，能举的一个反例是(    )
A. a=1，b=−2 B. a=2，b=1
C. a=4，b=−1 D. a=−3，b=−2
4. 下列运算正确的是(    )
A. a5−a2=a3 B. a10÷a2=a5
C. (a+3)2=a2+9 D. (a−3)2=a−6
5. 下列各因式分解正确的是(    )
A. x2−4x+4=(x−2)2 B. x2+2x−1=(x−1)2
C. −x2+4x=−x(x+4) D. x2−4x=2(x+2)(x−2)
6. 如图，直线a//b，∠1=70°，那么∠2的度数是(    )
A. 130°
B. 110°
C. 70°
D. 80°
7. 下列各式中，成立的是(    )
A. xy=x2y2 B. xy=xyx+y
C. xy=x+ay+a D. xy=x+axy+ay(a≠−1)
8. 如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，若△ABC的面积为32cm2，则△CDE的面积为(    )
A. 8cm2
B. 6cm2
C. 4cm2
D. 3cm2
9. 多项式ax−b与2x2−3x−4的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为12，则ab的值为(    )
A. −4 B. −6 C. −8 D. −10
10. 如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为8，下列说法中正确的是(    )
①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．



A. ①②③
B. ①②
C. ①③
D. ②③
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 人体中成熟的红细胞的平均直径为0.000 0077米，用科学记数法表示为______ 米．
12. 分解因式：x2−2x=________．
13. 如图，AB//CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠2=72*，则∠1的度数为______ ．


14. 如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长23cm，则平移的距离为          cm．






15. 已知2019x+2020y=20182020x+2019y=2021，则x+y= ______ ，x−y= ______ ．
16. 若分式方程2kx−1−31−x=1有增根，则k=______．
17. 某项工程甲队单独完成这项工程比规定时间多用15天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用36天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前17天完成任务，若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是______ ．
18. 对x、y定义一种新运算T，规定：T(x,y)=axy+bx−4(其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算.例如：T(0,1)=a×0×1+b×0−4=−4，若T(2,1)=2，T(−1,2)=−8，则下列结论正确的有______ ．
①a=1，b=2；
②若T(m,n)=0(n≠−2)，则m=4n+2；
③若T(m,n)=0，则m、n有且仅有3组整数解；
④若无论k取何值时，T(kx,y)的值均不变，则y=−2；
⑤若T(kx,y)=T(ky,x)对任意有理数x、y都成立，则k=0．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：
(1) 9+(−2020)0−(14)−1；
(2)(2a−b)2−(a+b)(b−a)．
20. (本小题6.0分)
解方程(组)：
(1)x+2y=32x−y=1；
(2)1x−1+2=51−x．
21. (本小题7.0分)
已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC(已知)
∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定义)
∴DG//AC(______)
∴∠2=______(______)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠______(等量代换)
∴EF//CD(______)
∴∠AEF=∠______(______)
∵EF⊥AB(已知)
∴∠AEF=90°(______)
∴∠ADC=90°(______)
∴CD⊥AB(______)

22. (本小题7.0分)
学习二十大，争做新少年，某初中学校团委加强对“二十大”知识的宣传与学习，决定从七、八、九三个年级随机抽取若干名学生进行关于“二十大”相关知识的考查，并将成绩(百分制)汇总，制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

(1)填空：m= ______ ，n= ______ ；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若得分超过70分为及格，该校有3000名学生，求该学校学生对“二十大”相关知识掌握及格的学生人数．
23. (本小题8.0分)
为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
a
0.80
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
(说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费)
已知小王家2020年4月份用水15吨，交水费45元，5月份用水25吨，交水费91元．
(1)求a，b的值；
(2)如果小王家6月份上交水费150元，则小王家这个月用水多少吨？
24. (本小题12.0分)
如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°.固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°)．
(1)当α为______度时，AD//BC，并在图3中画出相应的图形；
(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
(3)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时，直接写出时间t的所有值．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
根据分式有意义的条件是分母不为0列出不等式，解可得自变量x的取值范围，
【解答】
解：由题意得，x−5≠0，
解得，x≠5．
故选：B．  
2.【答案】D 
【解析】
【分析】
考查了数据的收集和处理，根据调查收集数据的过程和方法进行判断即可．
【解答】
解：某市有9个区，为了解该市初中生的视力情况，小圆设计了四种调查方案．比较合理的是：每区各抽5所初中，测试所抽学校学生的视力，
故选：D．  
3.【答案】D 
【解析】解：“若a2>b2，则a>b”是假命题，能举的一个反例是a=−3，b=−2．
故选：D．
直接利用已知命题，结合实际数据代入得出答案．
此题主要考查了命题与定理，正确把数据代入是解题关键．

4.【答案】D 
【解析】A.a5−a2不能再进行计算，
故不符合题意；
B.a10÷a2=a8，
故不符合题意；
C.(a+3)2=a2+6a+9，
故不符合题意；
D.(a−3)2=a−6，
故符合题意；
故选：D．
A.不能进行合并计算；
B.根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
C.根据完全平方公式计算即可；
D.根据幂的乘方法则计算即可．
本题考查完全平方公式，掌握同底数幂的除法法则，完全平方公式，幂的乘方法则是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：x2−4x+4=(x−2)2，则A符合题意；
x2+2x−1无法因式分解，则B不符合题意；
−x2+4x=−x(x−4)，则C不符合题意；
x2−4x=x(x−4)，则D不符合题意；
故选：A．
将各项因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵a//b，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°−∠3=110°．
故选：B．
先根据平行线的性质得到∠3=∠1=70°，然后根据邻补角的定义求解．
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

7.【答案】D 
【解析】解：∵a≠−1，
∴a−1≠0，
根据分式的基本性质得，xy=x(1+a)y(1+a)=x+axy+ay，
故选：D．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

8.【答案】A 
【解析】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为32cm2，
∴△ADC的面积为：12×32=16(cm2)，
∵点E是AD的中点，
∴△CDE的面积为：12×16=8(cm2)，
故选：A．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：(ax−b)(2x2−3x−4)
=2ax3−3ax2−4ax−2bx2+3bx+4b
=2ax3+(−3a−2b)x2+(−4a+3b)x+4b，
∵展开式中不含x的二次项，且常数项为12，
∴−3a−2b=0，4b=12，
解得：a=−2，b=3，
∴ab=−2×3=−6．
故选：B．
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件求解即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

10.【答案】B 
【解析】
解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，
∴x=a+b，y=b+c，
阴影E的长为c，宽为a+b−c，
阴影D的长为a，宽为b−a，
∵阴影E的周长为8，
∴2(c+a+b−c)=8，
∴a+b=4，
即x=4，故①正确；
∵阴影D周长为6，
∴2(a+b−a)=6，
解得b=3，
∵a+b=4，
∴a=1，
即正方形A的面积为1，故②正确；
∵大长方形的面积为24，
∴xy=24，
∵x=4，
∴y=6，
∴b+c=6，
假设三个正方形的周长为24，
∴4a+4b+4c=24，
∴a+b+c=6，
∴a=0(不成立)，故③错误，
故选：B．
【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，正方形的性质，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，用a，b，c表示x，y是解题的关键．
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x=a+b，y=b+c，阴影E的长为c，宽为a+b−c，阴影D的长为a，宽为b−a，由阴影E的周长为8可求解x值判定①；由阴影D周长为6可求解b值，即可求a，进而判定②；由大长方形的面积为24，可求b+c=6，假设三个正方形的周长为24，可求得a=0，不成立，故可判定③．  
11.【答案】7.7×10−6 
【解析】解：0.0000077=7.7×10−6；
故答案为：7.7×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

12.【答案】x(x−2) 
【解析】解：x2−2x=x(x−2)．
故答案为：x(x−2)．
提取公因式x，整理即可．
本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．

13.【答案】54° 
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠AEG=180°−∠2=180°−72°=108°，∠1=∠AEC，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠AEC=12∠AEG=12×108°=54°，
故∠1=∠AEC=54°．
故答案为：54°．
两直线平行，同旁内角互补，可求出∠FEB，再根据角平分线的性质，可得到∠BEG，然后用两直线平行，内错角相等求出∠1．
本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补．

14.【答案】3 
【解析】
【分析】
利用平移的性质得到AC=DF，AD=CF，平移的距离为CF的长度，由于△ABC的周长为17，四边形ABFD的周长23，则利用等线段代换得到17+2CF=23，然后求出CF即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
【解答】
解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AC=DF，AD=CF，
∵△ABC的周长为17，
∴AB+BC+AC=17，
∵四边形ABFD的周长23，
∴AB+BF+DF+AD=23，
即AB+BC+2CF+AC=23，
∴17+2CF=23，解得CF=3，
即平移的距离为3cm．
故答案为3．  
15.【答案】1  3 
【解析】解：2019x+2020y=2018①2020x+2019y=2021②，
①+②得：4039x+4039y=4039，
两边同除以4039得：x+y=1；
②−①得：x−y=3；
故答案为：1；3．
将方程组中的两个方程分别相加及相减后即可求得答案．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．

16.【答案】−32 
【解析】解：等式两边同乘(x−1)，得：2k+3=x−1，
解得：x=2k+4，
∵方程有增根，
∴x−1=0即2k+4=1，
∴k=−32．
故答案为：−32．
分式方程去分母转化为整式方程，求得x，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，据此得出关于k的方程求出k的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

17.【答案】1x+15+1x+36=1x−17 
【解析】解：由题意列出的方程为：1x+15+1x+36=1x−17，
故答案为：1x+15+1x+36=1x−17．
设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是(x+15)天，乙队单独完成这项工程所需时间是(x+36)天．甲乙合作队单独完成这项工程需要(x−17)天，分别表示出甲乙每天单独完成的工作量和合作的工作量，据此列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

18.【答案】①②④⑤ 
【解析】解：①∵T(x,y)=axy+bx−4，T(2,1)=2，T(−1,2)=−8，
∴2a+2b−4=2−2a−b−4=−8，
方程组化简为：a+b=3①2a+b=4②，
②−①得：a=1，
把a=1代入①得：b=2，
∴方程组的解为：a=1b=2，
∴①正确；
②∵T(x,y)=axy+bx−4，T(m,n)=0(n≠−2)，a=1，b=2，
∴mn+2m−4=0，
mn+2m=4，
m(n+2)=4，
m=4n+2，
∴②正确；
③由②得：m=4n+2，
当n=2时，m=1，
当n=0时，m=2，
当n=−1时，m=4，
当n=−4时，m=−2，
当n=−6时，m=−1，
∴若T(m,n)=0，则m、n有且仅有5组整数解，
∴③不正确；
④∵T(x,y)=axy+bx−4，a=1，b=2，
∴T(kx,y)=kxy+2kx−4，
若无论k取何值时，T(kx,y)的值均不变，则kxy+2kx=0，
∴y=−2，
∴④正确；
⑤若T(kx,y)=T(ky,x)，T(x,y)=axy+bx−4，a=1，b=2，
∴kxy+2kx−4=kxy+2ky−4，
2kx=2ky，
∴若T(kx,y)=T(ky,x)对任意有理数x、y都成立，则k=0，
∴⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
①根据已知条件中的新定义列出方程组，解方程组进行判断；
②根据新定义列出关于m，n的等式，进行变形，从而进行判断；
③根据②中关于m，n的等式，找出使T(m,n)=0的m，n的正整数解进行判断；
④先根据新定义把T(kx,y)写成等式的形式，由无论k取何值时，T(kx,y)的值均不变求出y值，再进行判断；
⑤先根据新定义把T(kx,y)=T(ky,x)写成等式的形式，由(kx,y)=T(ky,x)对任意有理数x、y都成立，从而求出k值进行判断．
本题主要考查了二元一次方程组中的新定义问题，解题关键是理解新定义所表达的含义，并能利用新定义进行计算．

19.【答案】解：(1) 9+(−2020)0−(14)−1
=3+1−4
=0；
(2)(2a−b)2−(a+b)(b−a)
=4a2−4ab+b2−(b2−a2)
=4a2−4ab+b2−b2+a2
=5a2−4ab． 
【解析】(1)先根据算术平方根，零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加减即可；
(2)先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算和整式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．

20.【答案】解：(1)x+2y=3①2x−y=1②，
②×2得：4x−2y=2③，
①+③得：5x=5，
解得：x=1，
把x=1代入①得：1+2y=3，
解得：y=1，
∴原方程组的解为：x=1y=1；
(2)1x−1+2=51−x，
1+2(x−1)=−5，
解得：x=−2，
检验：当x=−2时，x−1≠0，
∴x=−2是原方程的根． 
【解析】(1)利用加减消元法进行计算，即可解答；
(2)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．

21.【答案】同位角相等，两直线平行  ∠ACD  两直线平行，内错角相等  ACD  同位角相等，两直线平行  ADC  两直线平行，同位角相等  垂直定义  等量代换  垂直定义 
【解析】解：证明过程如下：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC(已知)
∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定义)
∴DG//AC(同位角相等，两直线平行)
∴∠2=∠ACD(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠ACD(等量代换)
∴EF//CD(同位角相等，两直线平行)
∴∠AEF=∠ADC(两直线平行，同位角相等)
∵EF⊥AB(已知)
∵∠AEF=90°(垂直定义)
∴∠ADC=90°(等量代换)
∴CD⊥AB(垂直定义)．
灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．
利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．

22.【答案】20  10 
【解析】解：(1)由频数分布直方图可得50−60分的学生有8人，由扇形统计图可得50−60分的学生占总人数的16%，
∴抽取学生的总人数为816%=50(名)，
由频数分布直方图可得60−70分的学生有10人，
∴m%=1050×100%=20%，则m=20，
则80−90分的人数为50×30%=15(名)，90−100分的人数为50−(8+10+12+15)=5(名)，
∴n%=550×100%=10%，则n=10．
故答案为：20；10；
(2)由(1)得：80−90分的人数为15名，90−100分的人数为5名，
补全频数分布直方图如下：

(3)由题意得：3000×(30%+10%+24%)=1920(名)
答：该学校学生对“二十大”相关知识掌握及格的学生人数约为1920名．
(1)根据由频数分布直方图可得50−6(0分)的学生有8人，扇形统计图可得50−6(0分)的学生占总人数的16%，由此可求出抽取学生的总人数，即可求出答案；
(2)根据第(1)问即可补全频数分布直方图；
(3)根据第(1)问得抽取50人中及格人数所占百分比，即可求出答案．
本题考查频数分布直方图和扇形统计图，灵活运用题中已知条件是解题关键．

23.【答案】解：(1)由题意得：15(a+0.8)=4517(a+0.8)+8(b+0.8)=91，
解得：a=2.2b=4.2，
答：a的值是2.2，b的值是4.2；
(2)设小王家这个月用水x吨，
由题意得：17(2.2+0.8)+13(4.2+0.8)+(x−30)×(6+0.8)=150，
解得：x=35，
答：小王家这个月用水35吨． 
【解析】(1)根据小王家2013年4月用水15吨，交水费45元，5月份用水25吨，交水费91元，列出二元一次方程组，解方程组即可
(2)设小王家这个月用水x吨，根据17吨及以下按2.2元收费，超过17吨但不超过30吨的部分按4.2元收费，超过30吨的部分按6元收费和污水处理的钱数，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．

24.【答案】(1)15；

(2)设：∠CAD=γ，∠BAE=β，
①当0°<α≤45°时，
α+β=90°，α+γ=45°，
故β−γ=45°；
②当45°<α≤90°时，
同理可得：γ+β=45°，
③当90°<α<180°时，
同理可得：γ−β=45°，
故：|∠CAD−∠BAE|=45°或∠CAD+∠BAE=45°；
(3)①当AD//BC时，α=15°，t=3；
②当DE//AB时，α=45°，t=9；
③当DE//BC时，α=105°，t=21；
④当DE//AC时，α=135°，t=27；
⑤当AE//BC时，α=150°，t=30；
综上，t=3或9或21或27或30． 
【解析】解：(1)当α=15°时，∠DAC=∠ACB=30°，即AD//BC，
故答案为15；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)通过画图，即可求解；
(2)分三种情况，画图计算即可；
(3)分AD//BC、DE//AB、DE//BC、DE//AC、AE//BC五种情况，分别求解即可．
本题考查旋转的基本性质及平行线的判定与性质，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏．