2022-2023学年福建省福州市鼓楼区屏东中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省福州市鼓楼区屏东中学七年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区屏东中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式正确的是(    )
A. (−3)2=6 B. 38=±2 C. −14=−1 D. 9=±3
2. 如图，已知∠1=∠2，添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，下列条件添加错误的是(    )



A. ∠B=∠D
B. BC=DC
C. AB=AD
D. ∠3=∠4
3. 若x=1y=−2是关于x和y的二元一次方程ax+y=3的解，则a的值等于(    )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
4. 已知点A(a−2,a+1)在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为(    )


A. 60° B. 65° C. 75° D. 85°
6. 能说明命题“对于任何实数a，|a|=a”，是假命题的一个反例可以是(    )
A. a=0 B. a= 2023 C. a=2023 D. a=−2023
7. 如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE，若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的度数为(    )
A. 70°
B. 75°
C. 80°
D. 85°
8. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是(    )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
9. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y个人，根据题意，列方程组是(    )
A. y=2x+9y=3x−2 B. y=2x+9y=3(x−2) C. y=2x−9y=3x−2 D. y=2x−9y=3(x−2)
10. 在平面直角坐标系中，将A(m2,2)沿着x的正方向向右平移m2+2个单位后得到B点.有四个点M(−m2,2)、N(m2,m2+2)、P(m2+1,2)、Q(3m2,2)一定在线段AB上的是(    )
A. 点M B. 点P C. 点N D. 点Q
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 比 5大且比 15小的整数是______ ．
12. 正五边形的一个外角的大小为______度．
13. 为了解学生每天自主学习时间，某校抽取了100名学生每天的自主学习时间作为样本进行调查，在这个问题中，样本容量是______ ．
14. 如图，已知B(2,0)，C(0,1)，AC⊥BC，且AC=BC，则点A的坐标是______ ．


15. 在△ABC中，∠ABC=∠C，BD为AC边上的高，∠ABD=30°，则∠C= ______ ．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE=12∠CAD，连接DE.下列结论中正确的是______ .(填序号)
①AC⊥DE；
②∠ADE=∠ACB；
③若CD//AB，则AE⊥AD；
④DE=CE+2BE．


三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：3−27+2 2−| 2−2|；
(2)解方程组：4x−y=32x−5y=−3．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：−2x+7<107x+15−1≤x，并写出它的整数解．
19. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D在AC上，CD=AB，∠CDE=∠B，CE//AB.求证：DE=BC．

20. (本小题10.0分)
已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=m+42x+y=2m−1.若方程组的解满足x+y<2x−y<4，求m的取值范围．
21. (本小题10.0分)
如图，PC//OB交OA于点C，
(1)尺规作图：过点P作PD//OA交OB于点D(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若∠O=55°，求∠CPD的度数．

22. (本小题10.0分)
某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

频数分布表
运动时间t/min
频数
频率
30≤t<60
4
0.1
60≤t<90
7
0.175
90≤t<120
a
0.35
120≤t<150
9
0.225
150≤t<180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的a=______，b=______，n=______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．
23. (本小题10.0分)
北京时间2022年11月29日晚，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”成功入选联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.福鼎白茶由于独特的制茶工艺和口感深受人们喜爱，也造福了一方茶农.茶农王二伯家有荒野茶园和修剪茶园共16亩，今年清明节前共采茶青(新鲜茶叶)660千克，已知荒野茶园平均每亩采茶青30千克，修剪茶园平均每亩采茶青50千克．
(1)王二伯家有荒野茶园和修剪茶园各多少亩？(用二元一次方程组求解)
(2)由于荒野茶园便于管理，且荒野茶口感与销路优于修剪茶，王二伯计划将部分修剪茶园改造为荒野茶园，使得明年清明节前荒野茶园所采茶青的总产量不低于修剪茶园.若根据今年清明节前茶青的亩产测算，王二伯至少需要将多少亩修剪茶园改造为荒野茶园？
24. (本小题10.0分)
在平面直角坐标示xOy中，给出如下定义：点P到图形W上每一个点的距离的最小值称为图形W关于点P的“密距”，记作d(P,W).特别地，若点P与图形W有公共点，则规定d(P,W)=0．
(1)已知，A(0,1)，B(0,−3)，C(2,0)．
①直接写出线段AB关于点C的密距，即d(C,AB)= ______ ；
②点D是y轴上的一个动点，当d(D,△ABC)=4时，求点D的坐标；
(2)已知点E(5,3)，M(m,0)，N(m+2,0).若d(E,MN)=3，求m的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF交于点D．

(1)如图1，若∠A=60°．
①求∠BDF的度数；
②试探究线段BC与BF、CE之间的关系，请写出你的结论，并证明．
(2)如图2，点N，M分别在BD，BC上，连接DM，其中∠A=2∠BDM，DN=DE.求证：CM=MN+CE．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查有理数的乘方运算，以及立方根和算术平方根，解题的关键是掌握立方根和算术平方根的定义及有理数乘方的运算法则．
根据有理数乘方的运算法则，以及立方根和算术平方根的定义逐一进行计算，即可得解．
【解答】
解：A.(−3)2=9，故此选项错误；
B.38=2，故此选项错误；
C.−14=−1，故此选项正确；
D. 9=3，故此选项错误，
故选C．  
2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】
解：A、∵在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2∠B=∠DAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)，故本选项不符合题意；
B、BC=DC，AC=AC，∠1=∠2不能推出△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
C、∵在△ABC和△ADC中，
AB=AD∠1=∠2AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，故本选项不符合题意；
D、∵在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2AC=AC∠3=∠4，
∴△ABC≌△ADC(ASA)，故本选项不符合题意；
故选B．  
3.【答案】D 
【解析】解：将x=1y=−2代入方程ax+y=3得：
a−2=3，
解得：a=5，故D正确．
故选：D．
将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值．
本题考查了二元一次方程的解，熟记方程的解：就是使方程的左右两边相等的未知数的值，是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵点A(a−2,a+1)在第二象限，
∴a−2<0a+1>0，
解得：−1 ∴在数轴上表示为，
故选：B．
根据点A(a−2,a+1)在第二象限，列出关于a的不等式组，解不等式组，根据不等式组的解集求解即可．
本题考查了平面直角坐标系中点坐标、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握第二象限点坐标的特征是解答本题的关键．

5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线性质和平角定义的有关知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
首先根据平角的定义求得∠2的度数，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数．
【解答】
解：如图：

∵∠BCA=60°，∠DCE=45°，
∴∠2=180°−60°−45°=75°，
∵HF//BC，
∴∠1=∠2=75°，
故选C．  
6.【答案】D 
【解析】解：∵|−2023|=2023，即此时不满足|−2023|=−2023，
∴能说明命题“对于任何实数a，|a|=a”是假命题的一个反例可以是a=−2023，
故选：D．
根据“对于任何实数a，|a|=a”成立的条件是a≥0即可得出答案．
本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．

7.【答案】A 
【解析】解：∵∠B=25°，∠C=50°，
∴在△BEC中，由三角形内角和可得：∠BEC=180°−25°−50°=105°，
∵∠A=35°，
∴∠1=∠BEC−∠A=70°，故A正确．
故选：A．
由题意易得∠BEC=105°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
 过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∴S△ABC=12AB·DE+12AC·DF=12×4×2+12AC×2=7，
解得AC=3．
故选：D．  
9.【答案】B 
【解析】解：根据题意得：
y=2x+9y=3(x−2)．
故选：B．
根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：由题意，得：B(2m2+2,2)，
∴AB//x轴，
∴线段AB上的点的横坐标m2≤x≤2m2+2，纵坐标为2，
∵m2 ∴点P(m2+1,2)一定在线段AB上；
故选：B．
根据平移的规律得到B点坐标，进而得到线段AB上的点的特点，进行判断即可．
本题考查坐标与平移．熟练掌握平移的性质，以及平行于x轴的直线上的点的特征，是解题的关键．

11.【答案】3 
【解析】解：∵2< 5<3，3< 15<4，
∴比 5大且比 15小的整数是3．
故答案为：3．
根据  5和 15取值范围判断即可．
本题考查了二次根式的估计．确定二次根式的取值范围是解题关键．

12.【答案】72 
【解析】解：正五边形的一个外角=360°5=72°．
故答案为：72．
根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．
本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．

13.【答案】100 
【解析】解：样本容量为100，
故答案为：100．
调查的数据个数即为样本容量，根据定义解答．
此题考查了样本容量，正确理解样本容量的定义是解题的关键．

14.【答案】(−1,−1) 
【解析】解：过点A作AD⊥y轴于点D，则∠ADC=90°，
则∠ACD+∠CAD=90°，

∵B(2,0)，C(0,1)，
∴OB=2，OC=1，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠OCB=90°，
∴∠OCB=∠CAD，
∵∠BOC=∠CDA=90°，AC=BC，
∴△BOC≌△∠CDA(AAS)，
∴AD=OC=1，CD=BO=2，
∴OD=CD−OC=1，
∴点A的坐标是(−1,−1)．
故答案为：(−1,−1)．
过点A作AD⊥y轴于点D，则∠ADC=90°，证明△BOC≌△∠CDA(AAS)，则AD=OC=1，CD=BO=2，得到OD=CD−OC=1，即可得到点A的坐标．
此题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质等知识，证明△BOC≌△∠CDA(AAS)是解题的关键．

15.【答案】60° 
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为180°，属于基础题．
首先画出图形，根据三角形高的定义可得∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，然后再根据三角形内角和定理可得∠C的度数．
【解答】
解：作图如下：

∵BD为AC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
∵∠ABC=∠C，
∴∠C=180°−60°2=60°，
故答案为：60°．  
16.【答案】②③④ 
【解析】解：如图，延长EB至G，使BE=BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG=AE，∠GAB=∠BAE=12∠DAC，
∵∠BAE=12∠GAE，
∴∠GAE=∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC=∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
AG=AE∠GAC=∠EADAC=AD，
∴△GAC≌△EAD(SAS)，
∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG=AE，
∴∠G=∠AEG=∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE=∠EAC时，∠AME=∠ABE=90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE=x，则∠CAD=2x，
∴∠ACD=∠ADC=180°−2x2=90°−x，
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD=90°−x，
∴∠CAE=∠BAC−∠EAB=90°−x−x=90°−2x，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°−2x+2x=90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG=DE，
∵CG=CE+GE=CE+2BE，
∴DE=CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
因为∠BAE=12∠DAC，且∠ABC=90°，所以需要构造2倍的∠BAC，故延长EB至G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EDA，且AE=AG，接着证明△GAC≌△EAD，则∠ADE=∠ACG，DE=CG，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE=x，则∠DAC=2x，因为CD//AB，所以∠BAC=∠ACD=90°−x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE=90°，故③是正确的，当∠CAE=∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故①是错误的．
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．

17.【答案】解：(1)3−27+2 2−| 2−2|
=(−3)+2 2+( 2−2)
=3 2−5，
(2)4x−y=3①2x−5y=−3②，
①+②得：6x−6y=0，
即x−y=0③，
①−③得：3x=3，
即x=1，
把x=1代入①得：4−y=3，
即y=1，
∴原方程组的解为x=1y=1． 
【解析】(1)先计算立方根、化简绝对值后，再进行实数混合运算即可；
(2)利用加减法解二元一次方程组即可．
此题考查了实数混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则和加减法是解题的关键．

18.【答案】解：−2x+7<10①7x+15−1≤x②，
由①得：x>−32，
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为−32 ∴x的整数解为−1，0，1，2． 
【解析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，进一步写出其整数解即可．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是掌握不等式的解法，注意求解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．

19.【答案】证明：∵CE//AB，
∴∠A=∠ECD，
在△ABC和△CDE中，
∠A=∠ECDAB=CD∠B=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE(ASA)，
∴DE=BC． 
【解析】利用平行线的性质可得∠A=∠ECD，然后根据“ASA”可得△ABC≌△CDE，再由全等三角形的性质可得结论．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．

20.【答案】解：x+2y=m+4①2x+y=2m−1②，
①+②得：3x+3y=3m+3 即x+y=m+1，
②−①得：x−y=m−5，
∴m+1<2m−5<4，
解得：m<1m<9，
∴m的取值范围为m<1． 
【解析】先根据方程组得出x+y=m+1，x−y=m−5，再根据x+y>2x−y<4列出关于m的不等式组，最后求解即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法和步骤，以及解一元一次不等式组的方法．

21.【答案】解：(1)如图所示，PD//OA交OB于点D，即为所求，

(2)解：∵PC//OB，∠O=55°，
∴∠ACP=∠O=55°，
∵PD//OA，
∴∠CPD=∠ACP=55°． 
【解析】(1)根据同位角相等，两直线平行，作角相等即可得解；
(2)根据平行线的性质求解即可．
本题主要考查了尺规作图之作一个角等于已知角、平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．

22.【答案】解：(1)14；0.15；40；
(2)补全频数分布直方图如下：

(3)480×9+640=180(人)，
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为180人． 
【解析】
【分析】
本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法以及用样本估计总体．
(1)根据“总数=频数÷频率”可得n的值，进而得出a、b的值；
(2)根据a的值即可补全频数分布直方图；
(3)利用样本估计总体解答即可．
【解答】
解：(1)由题意可知，n=4÷0.1=40，
∴a=40×0.35=14，b=6÷40=0.15，
故答案为：14；0.15；40；
(2)(3)见答案．  
23.【答案】解：(1)设王二伯家有荒野茶园x亩，修剪茶园y亩，
根据题意得：
x+y=1630x+50y=660，
解得：x=7y=9．
答：王二伯家有荒野茶园7亩，修剪茶园9亩；
(2)设王二伯家需要将a亩修剪茶园改造为荒野茶园，根据题意得：
30(a+7)≥50(9−a)．
解得：a≥3，
答：王二伯家至少需要将3亩修剪茶园改造为荒野茶园． 
【解析】(1)设王二伯家有x亩荒野茶园，y亩修剪茶园，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
(2)设王二伯家需要将a亩修剪茶园改造为荒野茶园，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键．

24.【答案】2 
【解析】解：(1)①如图，根据“密距”的定义，C(2,0)到BC上各点的距离最小值是2，即d(C,AB)=2，

故答案为：2；
②如图，

当D1在y轴正半轴上时，d(D,△ABC)=4，则D1A=4，
∵A(0,1)，
∴D1(0,5)，
当D2在y轴负半轴上时，d(D,△ABC)=4，则D2B=4，
∵B(0,−3)，
∴D2(0,−7)，
综上所述，d(D,△ABC)=4，点D的坐标为(0,5)或(0,−7)；
(2)如图，

当d(E,MN)=3，则需满足(5,0)在线段MN上，
∴m+2≥5m≤5，
解得：3≤m≤5，
∴m的取值范围是3≤m≤5．
(1)①根据“密距”的定义，即可求解；
②画出图形，则可求出点D坐标；
(2)画出图形可知，则需满足(5,0)在线段MN上．
此题考查了坐标与图形，解题的关键是读懂“密距”的定义，数形结合解决问题．

25.【答案】(1)解：①∵BE平分∠CBA．
∴∠EBC=∠FBE=12∠CBA，
同理∠FCB=∠FCA=12∠BCA，
∴∠EBC+∠FCB=12(∠ACB+∠CBA)，
∵∠A=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∵∠BDF是△BDC的一个外角，
∴∠BDF=∠EBC+∠FCB=60°；
②BC=BF+CE，理由如下：
如图1，在BC上截取BG=BF，

∵∠FBD=∠GBD，BD=BD，
∴△FBD≌△GBD(SAS)，
∴∠BDF=∠BDG，
∵∠BDF=60°，
∴∠BDC=120°，
∴∠BDG=∠FDB=60°，∠EDC=∠FDB=60°，
∴∠GDC=∠EDC=60°，
∵∠BCF=∠ACF，CD=CD，
∴△CGD≌△CED(ASA)，
∴GD=ED，
∴BC=BF+CE；
(2)证明：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB，
∵∠A=α，
∴∠DBC+∠BCD=12(∠ABC+∠ACB)=12(180−∠A)=90−12α，
∴∠BDC=180−(∠DBC+∠DCB)=90+12α，
∵∠A=2∠BDM，
∴∠BDM=12α，
∴∠CDM=∠BDC−∠BDM=90°．
在线段CM上截取CH=CE，连接DM，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△ECD和△HCD中，CH=CE，∠ACD=∠BCD，CD=CD，
∴△ECD≌△HCD(SAS)，
∴DE=DH，
∵DN=DE，
∴DN=DH，
∵∠EDC=∠HDC，
由(1)得∠CDM=90°，
∴∠EDC+∠NDM=90°，
∠CDH+∠MDH=90°，
∴∠NDM=∠MDH，
∵DM=DM，
∴△NDM≌△HDM(SAS)，
∴MN=MH，
∴CM=MN+CE． 
【解析】(1)①由角平分线的定义可得∠EBC+∠FCB=12(∠ACB+∠CBA)，再由∠A=60°和三角形内角和定理可得∠CAB+∠CBA=120°，∠EBC+∠FCB=60°，根据三角形外角的性质即可求解；
②在BC上截取BG=BF，证明△FBD≌△GBD，△CGD≌△CED，根据全等三角形的性质即可证明；
(2)由角平分线的性质可得∠DBC+∠BCD=12(∠ABC+∠ACB)=90−12α，∠BDC=90+12α，由∠A=2∠BDM可得∠BDM=12α，证得∠CDM=∠BDC−∠BDM=90°，在线段CM上截取CH=CE，连接DM，易证△ECD≌△HCD，由全等三角形的性质和已知证明△NDM≌△HDM，可得MN=MH，即可得CM=MN+CE．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和与外角的性质等，添加适当的辅助线是解题的关键．