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2022-2023学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式是最简二次根式的是( )
A. 13 B. 0.3 C. 3 D. 20
2. 用配方法解方程3x2−6x+2=0，可变形为( )
A. (x−3)2=13 B. 3(x−1)2=13 C. (3x−1)2=1 D. (x−1)2=13
3. 下列计算，正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 2+ 3=2 3 C. 8−2 2=0 D. 5−1=2
4. 如图，直线l1//l2//l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知BCAC=47，若DE=3，则DF的长是( )
A. 94
B. 4
C. 214
D. 7
5. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD=1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG=( )
A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9
6. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C. 若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
7. 已知1
8. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为( )
A. 2+2x+2x2=18 B. 2(1+x)2=18
C. (1+x)2=18 D. 2+2(1+x)+2(1+x)2=18
9. 如图，在正方形ABCD中，AB=2 2.E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为( )
A. 22
B. 1
C. 2
D. 2
10. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分四边形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根，则四边形ABCD的面积可以表示为( )
A. p
B. p2
C. q
D. q2
11. 如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为(2,3)，点E的横坐标为−1，则点P的坐标为( )
A. (−2,0)
B. (0,−2)
C. (−32,0)
D. (0,−32)
12. 如图，菱形ABCD的边长为4，且∠DAB=60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为( )
A. 2 7+2 B. 7+1 C. 2 3+2 D. 2 7+1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若关于x的方程kx2+2x+1=0有实数根，则实数k的取值范围是______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,6)，B(−9,−3)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是 ．
15. 已知a=3+2 2，b=3−2 2，则a2b+ab2=______．
16. 如图，在△ABC中，BC=4，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ=13CE时，EP+BP的值为______ ．
17. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=4 5，BD=2 5，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长度为______ ．
18. 人们把 5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a= 5−12，b= 5+12，得ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10，则S1+S2+…+S10= ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1) 24× 13−4× 18×(1− 2)0；
(2)( 3− 2)( 2+ 3)+6 13−( 3− 2)2．
20. (本小题8.0分)
按要求解下列方程：
(1)2x2−4x+1=0 (配方法)；
(2)(3x+1)2=9(2x+3)2(自己喜欢的方法)．
21. (本小题8.0分)
小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
(1)如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP=∠B，求证：△ACP∽△ABC；
(2)如图2，已知∠A=60°，AC2=AB⋅AD，BC=BD，求∠ABC的度数．
22. (本小题8.0分)
数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD=2米，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH=3米；
③计算树的高度AB；
23. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF//BC交DE于点F，连接AE、CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若CF=2，∠FAC=30°，∠B=45°，求AB的长．
24. (本小题8.0分)
2021年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的成本是200元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的成本降低到162元/个．
(1)若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
(2)2021年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？
25. (本小题8.0分)
如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC、BD交点，AF平分∠DAC交于点G，交DG于点F．
(1)求证：△AEG∽△ADF；
(2)判断△DGF的形状并说明理由；
(3)若AG=1，求GF的长．
26. (本小题8.0分)
附加题(本题仅供有兴趣的同学选择使用)
如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC=90°，AB=2，AC= 3，∠BAD=∠CBD=30°，求AD的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】
解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误，
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：∵3x2−6x+2=0，
∴x2−2x=−23，
∴x2−2x+1=−23+1，
∴(x−1)2=13，所以A选项和B选项不符合题意，D选项符合题意；
(3x−1)2=1可化为3x2−2x=0，所以C选项不符合题意．
故选：D．
先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，然后方程两边加上1，最后把方程左边写成完全平方的形式即可，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、B、D不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
C、 8−2 2=2 2−2 2=0，故选项正确．
故选C．
A、B、C、根据合并同类二次根式的法则即可判定；
D、利用根式的运算法则计算即可判定．
此题主要考查二次根式的运算，应熟练掌握各种运算法则，且准确计算．
4.【答案】D
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴BCAB=EFDE．
∵BCAC=47，AC=AB+BC，
∴BCAB=47−4=43，
∴EF=43DE=4，
∴DF=DE+EF=7．
故选：D．
由直线l1//l2//l3可得出BCAB=EFDE，结合BCAC=47，AC=AB+BC可得出BCAB的值，进而可得出EF=43DE=4，再将其代入DF=DE+EF中即可求出结论．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义.表示出CF是解题的关键．
先设出DE=x，进而得出AD=3x，再用平行四边形的性质得出BC=3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：设DE=x，
∵DE：AD=1：3，
∴AD=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD=3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF=12BC=32x，
∵AD//BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴S△DEGS△CFG=(DECF)2=(x32x)2=49，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】
【解答】
解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；
故选：D．
【分析】
由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵1
∴ 1−2a+a2− a2−8a+16
=|a−1|−|a−4|
=a−1+a−4
=2a−5，
故选：B．
先把被开方数分解因式，再化简求值．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2+2(1+x)+2(1+x)2=18．
故选：D．
第一天为2，根据增长率为x，得出第二天为2(1+x)，第三天为2(1+x)2，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=2 2，AB//CD，∠C=90°，
∴∠AEM=∠GDM，∠EAM=∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME=MD，
在△AEM和GDM中，
∠EAM=∠DGM∠AEM=∠GDMME=MD，
∴△AEM≌△GDM(AAS)，
∴AM=MG，AE=DG=12AB=12CD，
∴CG=12CD= 2，
∵点N为AF的中点，
∴MN=12FG，
∵F为BC的中点，
∴CF=12BC= 2，
∴FG= CF2+CG2=2，
∴MN=1，
故选：B．
连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB=CD=BC=2 2，AB//CD，∠C=90°，证得△AEM≌GDM，得到AM=MG，AE=DG=12AB，根据三角形中位线定理得到MN=12FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM=MG是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过D点作DE⊥AB于E，过B点作BF⊥AD于F，如图，
由题意得AB//CD，AD//BC，DE=BF，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵S△ABD=12AD⋅BF=12AB⋅DE，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的面积=12AC⋅BD，
∵AC、BD的长度是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根，
∴AC⋅BD=q，
∴四边形ABCD的面积=12q.
故选：D．
过D点作DE⊥AB于E，过B点作BF⊥AD于F，如图，利用纸条等宽得到AB//CD，AD//BC，DE=BF，则可判断四边形ABCD为平行四边形，接着利用面积法得到AD=AB，于是可判断四边形ABCD为菱形，利用菱形的面积公式得到四边形ABCD的面积=12AC⋅BD，然后根据根与系数的关系进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了菱形的判定与性质．
11.【答案】A
【解析】解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为(2,3)，
∴AB=OC=3，OA=2，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
∴EF//OC，DE//OP，
∴△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，
∴CDCO=DEOP，POPA=ODAB，
∴3−OD3=1OP，OPOP+2=OD3，
解得：OP=2，OD=32，
∴点P的坐标为(−2,0)，
故选：A．
根据位似图形的概念得到EF//OC，DE//OP，进而证明△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，根据相似三角形的性质求出OP，得到答案．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF//OC，DE//OP是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：连接AE交BD于点P，连接AC，PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD所在直线是其一条对称轴，点A，点C关于直线BD对称，
∴PC=PA，
∵E是BC的中点，
∴EC=EB=2，
∵△PCE的周长=PC+PE+EC=PA+PE+2，
∴要求△PCE的周长的最小值可先求出PA+PE的最小值即可，
而PA+PE的最小值就是AE的长，
过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC//AD，
∵∠DAB=60°，
在Rt△BEF中，
BF=BE⋅cos60°=1，EF=BE⋅sin60°= 3，
在Rt△AEF中，
∵AF=AB+BF=4+1=1，EF= 3，
∴AE= AF2+EF2= 52+( 3)2=2 7，
∴△PCE的周长的最小值为2 7+2，
故选：A．
首先确定出△PCE的周长的最小值就是PE+PC的最小值+2，然后利用将军饮马问题的模型构造出△PCE的周长的最小值AE，再利用勾股定理求出AE，进而解决问题．
本题考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键．
13.【答案】k≤1
【解析】解：∵关于x的方程kx2+2x+1=0有实数根，
∴当k≠0时，Δ=4−4k≥0，
∴k≤1，
∴k≤1且k≠0，
当k=0时，
此时方程为3x+1=0，满足题意，
故答案为：k≤1．
根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．
14.【答案】(−1,2)或(1,−2)
【解析】
【分析】
把点A的横纵坐标分别乘以13或−13即可得到点A′的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形中对应点的坐标的比等于k或−k．
【解答】
解：∵位似中心为原点，相似比为13，
∴点A的对应点A′的坐标为(−3×13,6×13)或[−3×(−13),6×(−13)]，即(−1,2)或(1,−2)．
故答案为(−1,2)或(1,−2)．
15.【答案】6
【解析】解：∵a=3+2 2，b=3−2 2，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=(3+2 2)(3−2 2)(3+2 2+3−2 2)=6；
故答案为：6．
先把要求的式子变形为ab(a+b)，再代入计算即可．
此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是平方差公式、因式分解，关键是通过因式分解把要求的式子进行变形．
16.【答案】8
【解析】解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF//BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵CQ=13CE，
∴EQ=2CQ，
由EF//BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴EMBC=EQCQ=2，
∴EM=2BC=2×4=8，
即EP+BP=8．
故答案为：8．
延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF//BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=13CE，求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
17.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=2 5，OB=OD= 5，
在Rt△AOB中，AB= (2 5)2+( 5)2=5，
∵S菱形ABCD=12⋅AC⋅BD=AB⋅DE，
∴DE=12⋅4 5⋅2 55=4，
根据菱形的面积公式可得12⋅AC⋅BD=AB⋅DE，利用勾股定理求出AB即可．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用菱形的两种面积公式，构建方程解决问题．
18.【答案】10
【解析】
【分析】
利用分式的加减法则分别求得S1=1，S2=1，S10=1，即可求解．
本题考查了分式的加减法，找出其中的规律是解本题的关键．
【解答】
解：∵S1=11+a+11+b=1+ b+1+a(1+a)(1+b)=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，
S2=11+a2+11+b2=1+b2+1+a21+a2+b2+a2b2=1，
…，
S10=11+a10+11+b10=1+a10+1+b101+a10+b10+a10b10=1，
∴S1+S2+…+S10=1+1+…+1=10，
故答案为10．
19.【答案】解：(1)原式=2 6× 33−4× 24×1
=2 2− 2
= 2；
(2)原式=( 3)2−( 2)2+2 3−[( 3)2−2 6+( 2)2]
=3−2+2 3−(3−2 6+2)
=3−2+2 3−3+2 6−2
=2 3+2 6−4．
【解析】(1)先根据二次根式的乘法法则和零次幂的运算法则进行计算，再合并同类二次根式即可；
(2)先根据平方差公式、二次根式的性质、完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式即可．
本题主要考查二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式、完全平方公式是解题关键．
20.【答案】解：(1)2x2−4x+1=0，
x2−2x+12=0，
x2−2x=−12，
x2−2x+1=−12+1，
(x−1)2=12，
x−1=± 22，
x−1= 22或x−1=− 22，
x1=1+ 22，x2=1− 22；
(2)(3x+1)2=9(2x+3)2，
(3x+1)2−9(2x+3)2=0，
[3x+1+3(2x+3)][3x+1−3(2x+3)]=0，
(9x+10)(−3x−8)=0，
x1=−109，x2=−83．
【解析】(1)利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACP=∠B，∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC；
(2)解：∵AC2=AB⋅AD，
∴AD：AC=AC：AB，
又∵∠CAB=∠DAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=2∠D，
∵∠ACD+∠D+∠A=180°，∠A=60°，
∴2∠D+∠D+60°=180°，
∴∠D=40°，
∴∠BCD=∠D=40°，
∴∠ABC=∠BCD+∠D=80°．
【解析】(1)根据∠ACP=∠B，∠CAP=∠BAC即可得出结论；
(2)先由AC2=AB⋅AD得AD：AC=AC：AB，再根据∠CAB=∠DAC可判定△ACB和△ADC相似，进而得∠ACB=∠D，然后由BC=BD得∠BCD=∠D，据此可得出∠ACD=2∠D，然后利用三角形的内角和定理可求出∠D=40°，进而可求出∠ABC的度数．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是理解两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例、对应角相等．
22.【答案】解：设AB=x米，BC=y米．
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴ABED=BCDC，
∴x1.5=y2，
∵∠ABF=∠GHF=90°，∠AFB=∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴ABGH=BFHF，
∴x1.5=y+103，
∴y2=y+103，
解得：y=20，
把y=20代入x1.5=y2中，得x=15，
∴树的高度AB为15米．
【解析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
23.【答案】解：(1)证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD=DC，
∵AF//BC，
∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，
∴△AFD≌△CED(AAS)，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
∴平行四边形AECF是菱形．
(2)如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由(1)知四边形AECF是菱形，又CF=2，∠FAC=30°，
∴AF//EC，AE=CF=2，∠FAE=2∠FAC=60°，
∴∠AEB=∠FAE=60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB=∠AGE=90°，
∴∠GAE=30°，
∴GE=12AE=1，AG= 3GE= 3，
∵∠B=45°，
∴∠GAB=∠B=45°，
∴BG=AG= 3，
∴AB= 2BG= 6．
【解析】(1)由题意可得△AFD≌△CED(AAS)，则AF=EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF=CF，根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”可得结论；
(2)过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG=60°，AE=2，则BG=AG= 3，AB= 2BG= 6．
本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键．
24.【答案】解：(1)设平均每年下降的百分率为x，
依题意，得200(1−x)2=162．
解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)．
答：平均每年下降的百分率为10%．
(2)设单价应降低m元，则每个的销售利润为(216.2−m−162×110%)=(38−m)元，每天可售出(20+10×m5)=(20+2m)个，
依题意得：(38−m)(20+2m)=1120．
整理，得m2−28m+180=0．
解得m1=10，m2=18．
∵为了减少库存，
∴m=18，
答：单价应降低18元．
【解析】(1)设平均每年下降的百分率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1−下降率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设单价应降低m元，则每个的销售利润为(38−m)元，每天可售出(20+2m)个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ADF=90°，
∴∠AEG=∠ADF=90°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF=∠EAG，
∴△AEG∽△ADF．
(2)解：结论：△DFG是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠DAE=45°，∠ADF=90°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAG=12∠DAC=22.5°，
∴∠DGF=∠ADG+∠DAG=67.5°，∠DFG=90°−22.5°=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG，
∴DG=DF
∴△DFG是等腰三角形；
(3)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，EA=ED，
∴△AED是等腰直角三角形；
∴AD= 2AE，
∵△AEG∽△ADF，
∴AFAG=ADAE= 2，
∵AG=1，
∴AF= 2，
∴GF=AF−AG= 2−1．
【解析】(1)证明两个角对应相等即可．
(2)通过计算证明∠DGF=∠DFG=67.5°，推出DG=DF．
(3)证明AD= 2AE，利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
26.【答案】解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD=30°，
∴∠DAM=60°，
∴∠AMD=30°，
∴∠AMD=∠DBC，
又∵∠ADM=∠BDC=90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴BDMD=DCDA，
又∠BDC=∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM，
即∠BDM=∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴BMCA=DMAD= 3，
∵AC= 3，
∴BM=3，
在Rt△ABM中，AM= BM2−AB2= 32−22= 5，
∴AD=12AM= 52．
【解析】过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出BDMD=DCDA，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=DMAD= 3，求出BM=3，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
2022-2023学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式是最简二次根式的是( )
A. 13 B. 0.3 C. 3 D. 20
2. 用配方法解方程3x2−6x+2=0，可变形为( )
A. (x−3)2=13 B. 3(x−1)2=13 C. (3x−1)2=1 D. (x−1)2=13
3. 下列计算，正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 2+ 3=2 3 C. 8−2 2=0 D. 5−1=2
4. 如图，直线l1//l2//l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知BCAC=47，若DE=3，则DF的长是( )
A. 94
B. 4
C. 214
D. 7
5. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD=1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG=( )
A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9
6. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C. 若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
7. 已知1
8. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为( )
A. 2+2x+2x2=18 B. 2(1+x)2=18
C. (1+x)2=18 D. 2+2(1+x)+2(1+x)2=18
9. 如图，在正方形ABCD中，AB=2 2.E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为( )
A. 22
B. 1
C. 2
D. 2
10. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分四边形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根，则四边形ABCD的面积可以表示为( )
A. p
B. p2
C. q
D. q2
11. 如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为(2,3)，点E的横坐标为−1，则点P的坐标为( )
A. (−2,0)
B. (0,−2)
C. (−32,0)
D. (0,−32)
12. 如图，菱形ABCD的边长为4，且∠DAB=60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为( )
A. 2 7+2 B. 7+1 C. 2 3+2 D. 2 7+1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若关于x的方程kx2+2x+1=0有实数根，则实数k的取值范围是______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,6)，B(−9,−3)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是 ．
15. 已知a=3+2 2，b=3−2 2，则a2b+ab2=______．
16. 如图，在△ABC中，BC=4，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ=13CE时，EP+BP的值为______ ．
17. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=4 5，BD=2 5，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长度为______ ．
18. 人们把 5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a= 5−12，b= 5+12，得ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10，则S1+S2+…+S10= ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1) 24× 13−4× 18×(1− 2)0；
(2)( 3− 2)( 2+ 3)+6 13−( 3− 2)2．
20. (本小题8.0分)
按要求解下列方程：
(1)2x2−4x+1=0 (配方法)；
(2)(3x+1)2=9(2x+3)2(自己喜欢的方法)．
21. (本小题8.0分)
小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
(1)如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP=∠B，求证：△ACP∽△ABC；
(2)如图2，已知∠A=60°，AC2=AB⋅AD，BC=BD，求∠ABC的度数．
22. (本小题8.0分)
数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD=2米，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH=3米；
③计算树的高度AB；
23. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF//BC交DE于点F，连接AE、CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若CF=2，∠FAC=30°，∠B=45°，求AB的长．
24. (本小题8.0分)
2021年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的成本是200元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的成本降低到162元/个．
(1)若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
(2)2021年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元？
25. (本小题8.0分)
如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC、BD交点，AF平分∠DAC交于点G，交DG于点F．
(1)求证：△AEG∽△ADF；
(2)判断△DGF的形状并说明理由；
(3)若AG=1，求GF的长．
26. (本小题8.0分)
附加题(本题仅供有兴趣的同学选择使用)
如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC=90°，AB=2，AC= 3，∠BAD=∠CBD=30°，求AD的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】
解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误，
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：∵3x2−6x+2=0，
∴x2−2x=−23，
∴x2−2x+1=−23+1，
∴(x−1)2=13，所以A选项和B选项不符合题意，D选项符合题意；
(3x−1)2=1可化为3x2−2x=0，所以C选项不符合题意．
故选：D．
先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，然后方程两边加上1，最后把方程左边写成完全平方的形式即可，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、B、D不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
C、 8−2 2=2 2−2 2=0，故选项正确．
故选C．
A、B、C、根据合并同类二次根式的法则即可判定；
D、利用根式的运算法则计算即可判定．
此题主要考查二次根式的运算，应熟练掌握各种运算法则，且准确计算．
4.【答案】D
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴BCAB=EFDE．
∵BCAC=47，AC=AB+BC，
∴BCAB=47−4=43，
∴EF=43DE=4，
∴DF=DE+EF=7．
故选：D．
由直线l1//l2//l3可得出BCAB=EFDE，结合BCAC=47，AC=AB+BC可得出BCAB的值，进而可得出EF=43DE=4，再将其代入DF=DE+EF中即可求出结论．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义.表示出CF是解题的关键．
先设出DE=x，进而得出AD=3x，再用平行四边形的性质得出BC=3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：设DE=x，
∵DE：AD=1：3，
∴AD=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD=3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF=12BC=32x，
∵AD//BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴S△DEGS△CFG=(DECF)2=(x32x)2=49，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】
【解答】
解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；
故选：D．
【分析】
由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵1
∴ 1−2a+a2− a2−8a+16
=|a−1|−|a−4|
=a−1+a−4
=2a−5，
故选：B．
先把被开方数分解因式，再化简求值．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2+2(1+x)+2(1+x)2=18．
故选：D．
第一天为2，根据增长率为x，得出第二天为2(1+x)，第三天为2(1+x)2，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=2 2，AB//CD，∠C=90°，
∴∠AEM=∠GDM，∠EAM=∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME=MD，
在△AEM和GDM中，
∠EAM=∠DGM∠AEM=∠GDMME=MD，
∴△AEM≌△GDM(AAS)，
∴AM=MG，AE=DG=12AB=12CD，
∴CG=12CD= 2，
∵点N为AF的中点，
∴MN=12FG，
∵F为BC的中点，
∴CF=12BC= 2，
∴FG= CF2+CG2=2，
∴MN=1，
故选：B．
连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB=CD=BC=2 2，AB//CD，∠C=90°，证得△AEM≌GDM，得到AM=MG，AE=DG=12AB，根据三角形中位线定理得到MN=12FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM=MG是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过D点作DE⊥AB于E，过B点作BF⊥AD于F，如图，
由题意得AB//CD，AD//BC，DE=BF，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵S△ABD=12AD⋅BF=12AB⋅DE，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的面积=12AC⋅BD，
∵AC、BD的长度是关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根，
∴AC⋅BD=q，
∴四边形ABCD的面积=12q.
故选：D．
过D点作DE⊥AB于E，过B点作BF⊥AD于F，如图，利用纸条等宽得到AB//CD，AD//BC，DE=BF，则可判断四边形ABCD为平行四边形，接着利用面积法得到AD=AB，于是可判断四边形ABCD为菱形，利用菱形的面积公式得到四边形ABCD的面积=12AC⋅BD，然后根据根与系数的关系进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了菱形的判定与性质．
11.【答案】A
【解析】解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为(2,3)，
∴AB=OC=3，OA=2，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
∴EF//OC，DE//OP，
∴△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，
∴CDCO=DEOP，POPA=ODAB，
∴3−OD3=1OP，OPOP+2=OD3，
解得：OP=2，OD=32，
∴点P的坐标为(−2,0)，
故选：A．
根据位似图形的概念得到EF//OC，DE//OP，进而证明△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，根据相似三角形的性质求出OP，得到答案．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF//OC，DE//OP是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：连接AE交BD于点P，连接AC，PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD所在直线是其一条对称轴，点A，点C关于直线BD对称，
∴PC=PA，
∵E是BC的中点，
∴EC=EB=2，
∵△PCE的周长=PC+PE+EC=PA+PE+2，
∴要求△PCE的周长的最小值可先求出PA+PE的最小值即可，
而PA+PE的最小值就是AE的长，
过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC//AD，
∵∠DAB=60°，
在Rt△BEF中，
BF=BE⋅cos60°=1，EF=BE⋅sin60°= 3，
在Rt△AEF中，
∵AF=AB+BF=4+1=1，EF= 3，
∴AE= AF2+EF2= 52+( 3)2=2 7，
∴△PCE的周长的最小值为2 7+2，
故选：A．
首先确定出△PCE的周长的最小值就是PE+PC的最小值+2，然后利用将军饮马问题的模型构造出△PCE的周长的最小值AE，再利用勾股定理求出AE，进而解决问题．
本题考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键．
13.【答案】k≤1
【解析】解：∵关于x的方程kx2+2x+1=0有实数根，
∴当k≠0时，Δ=4−4k≥0，
∴k≤1，
∴k≤1且k≠0，
当k=0时，
此时方程为3x+1=0，满足题意，
故答案为：k≤1．
根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．
14.【答案】(−1,2)或(1,−2)
【解析】
【分析】
把点A的横纵坐标分别乘以13或−13即可得到点A′的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形中对应点的坐标的比等于k或−k．
【解答】
解：∵位似中心为原点，相似比为13，
∴点A的对应点A′的坐标为(−3×13,6×13)或[−3×(−13),6×(−13)]，即(−1,2)或(1,−2)．
故答案为(−1,2)或(1,−2)．
15.【答案】6
【解析】解：∵a=3+2 2，b=3−2 2，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=(3+2 2)(3−2 2)(3+2 2+3−2 2)=6；
故答案为：6．
先把要求的式子变形为ab(a+b)，再代入计算即可．
此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是平方差公式、因式分解，关键是通过因式分解把要求的式子进行变形．
16.【答案】8
【解析】解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF//BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵CQ=13CE，
∴EQ=2CQ，
由EF//BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴EMBC=EQCQ=2，
∴EM=2BC=2×4=8，
即EP+BP=8．
故答案为：8．
延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF//BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=13CE，求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
17.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=2 5，OB=OD= 5，
在Rt△AOB中，AB= (2 5)2+( 5)2=5，
∵S菱形ABCD=12⋅AC⋅BD=AB⋅DE，
∴DE=12⋅4 5⋅2 55=4，
根据菱形的面积公式可得12⋅AC⋅BD=AB⋅DE，利用勾股定理求出AB即可．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用菱形的两种面积公式，构建方程解决问题．
18.【答案】10
【解析】
【分析】
利用分式的加减法则分别求得S1=1，S2=1，S10=1，即可求解．
本题考查了分式的加减法，找出其中的规律是解本题的关键．
【解答】
解：∵S1=11+a+11+b=1+ b+1+a(1+a)(1+b)=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，
S2=11+a2+11+b2=1+b2+1+a21+a2+b2+a2b2=1，
…，
S10=11+a10+11+b10=1+a10+1+b101+a10+b10+a10b10=1，
∴S1+S2+…+S10=1+1+…+1=10，
故答案为10．
19.【答案】解：(1)原式=2 6× 33−4× 24×1
=2 2− 2
= 2；
(2)原式=( 3)2−( 2)2+2 3−[( 3)2−2 6+( 2)2]
=3−2+2 3−(3−2 6+2)
=3−2+2 3−3+2 6−2
=2 3+2 6−4．
【解析】(1)先根据二次根式的乘法法则和零次幂的运算法则进行计算，再合并同类二次根式即可；
(2)先根据平方差公式、二次根式的性质、完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式即可．
本题主要考查二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式、完全平方公式是解题关键．
20.【答案】解：(1)2x2−4x+1=0，
x2−2x+12=0，
x2−2x=−12，
x2−2x+1=−12+1，
(x−1)2=12，
x−1=± 22，
x−1= 22或x−1=− 22，
x1=1+ 22，x2=1− 22；
(2)(3x+1)2=9(2x+3)2，
(3x+1)2−9(2x+3)2=0，
[3x+1+3(2x+3)][3x+1−3(2x+3)]=0，
(9x+10)(−3x−8)=0，
x1=−109，x2=−83．
【解析】(1)利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACP=∠B，∠CAP=∠BAC，
∴△ACP∽△ABC；
(2)解：∵AC2=AB⋅AD，
∴AD：AC=AC：AB，
又∵∠CAB=∠DAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=2∠D，
∵∠ACD+∠D+∠A=180°，∠A=60°，
∴2∠D+∠D+60°=180°，
∴∠D=40°，
∴∠BCD=∠D=40°，
∴∠ABC=∠BCD+∠D=80°．
【解析】(1)根据∠ACP=∠B，∠CAP=∠BAC即可得出结论；
(2)先由AC2=AB⋅AD得AD：AC=AC：AB，再根据∠CAB=∠DAC可判定△ACB和△ADC相似，进而得∠ACB=∠D，然后由BC=BD得∠BCD=∠D，据此可得出∠ACD=2∠D，然后利用三角形的内角和定理可求出∠D=40°，进而可求出∠ABC的度数．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是理解两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例、对应角相等．
22.【答案】解：设AB=x米，BC=y米．
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴ABED=BCDC，
∴x1.5=y2，
∵∠ABF=∠GHF=90°，∠AFB=∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴ABGH=BFHF，
∴x1.5=y+103，
∴y2=y+103，
解得：y=20，
把y=20代入x1.5=y2中，得x=15，
∴树的高度AB为15米．
【解析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
23.【答案】解：(1)证明：如图，
在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD=DC，
∵AF//BC，
∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，
∴△AFD≌△CED(AAS)，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
∴平行四边形AECF是菱形．
(2)如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由(1)知四边形AECF是菱形，又CF=2，∠FAC=30°，
∴AF//EC，AE=CF=2，∠FAE=2∠FAC=60°，
∴∠AEB=∠FAE=60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB=∠AGE=90°，
∴∠GAE=30°，
∴GE=12AE=1，AG= 3GE= 3，
∵∠B=45°，
∴∠GAB=∠B=45°，
∴BG=AG= 3，
∴AB= 2BG= 6．
【解析】(1)由题意可得△AFD≌△CED(AAS)，则AF=EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF=CF，根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”可得结论；
(2)过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG=60°，AE=2，则BG=AG= 3，AB= 2BG= 6．
本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键．
24.【答案】解：(1)设平均每年下降的百分率为x，
依题意，得200(1−x)2=162．
解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)．
答：平均每年下降的百分率为10%．
(2)设单价应降低m元，则每个的销售利润为(216.2−m−162×110%)=(38−m)元，每天可售出(20+10×m5)=(20+2m)个，
依题意得：(38−m)(20+2m)=1120．
整理，得m2−28m+180=0．
解得m1=10，m2=18．
∵为了减少库存，
∴m=18，
答：单价应降低18元．
【解析】(1)设平均每年下降的百分率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1−下降率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设单价应降低m元，则每个的销售利润为(38−m)元，每天可售出(20+2m)个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ADF=90°，
∴∠AEG=∠ADF=90°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF=∠EAG，
∴△AEG∽△ADF．
(2)解：结论：△DFG是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠DAE=45°，∠ADF=90°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAG=12∠DAC=22.5°，
∴∠DGF=∠ADG+∠DAG=67.5°，∠DFG=90°−22.5°=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG，
∴DG=DF
∴△DFG是等腰三角形；
(3)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，EA=ED，
∴△AED是等腰直角三角形；
∴AD= 2AE，
∵△AEG∽△ADF，
∴AFAG=ADAE= 2，
∵AG=1，
∴AF= 2，
∴GF=AF−AG= 2−1．
【解析】(1)证明两个角对应相等即可．
(2)通过计算证明∠DGF=∠DFG=67.5°，推出DG=DF．
(3)证明AD= 2AE，利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
26.【答案】解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD=30°，
∴∠DAM=60°，
∴∠AMD=30°，
∴∠AMD=∠DBC，
又∵∠ADM=∠BDC=90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴BDMD=DCDA，
又∠BDC=∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM，
即∠BDM=∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴BMCA=DMAD= 3，
∵AC= 3，
∴BM=3，
在Rt△ABM中，AM= BM2−AB2= 32−22= 5，
∴AD=12AM= 52．
【解析】过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出BDMD=DCDA，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=DMAD= 3，求出BM=3，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
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