高二数学上册常考专题15 圆锥曲线常考题型03定点问题（2份打包，原卷版+解析版）

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专题15 圆锥曲线常考题型03——定点问题
圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点．求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

1．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，，，两点，且，，为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线过定点．


2．已知抛物线．
（1）若与圆在第一象限内交于，两点，求直线的方程；
（2）直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点．










3．设，和，是抛物线上的两点，且．
（Ⅰ）若，求直线的方程；
（Ⅱ）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点．

4．已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点．









5．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点．
（1）求抛物线的标准方程和准线方程；
（2）若，证明：直线恒过定点．


6．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．








7．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为．
（1）求；
（2）已知直线与相交于，两点，过点作平行于轴的直线交直线于点．问：直线是否过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

8．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．







9．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，，，四点，且线段、线段的中点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

10．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．











11．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且．求证：直线过定点．

12．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．









13．设是椭圆上异于长轴顶点，的任意一点，过作的切线与分别过，的切线交于，两点．已知，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）以为直径的圆是否过轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由．

14．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．







15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，设点，在△中，，周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

16．已知斜率为的直线经过点与抛物线，为常数）交于不同的两点，，当时，弦的长为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．








17．过点的动直线与抛物线相交于、两点，已知当的斜率为时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设圆，已知，是抛物线上的两动点，且直线，都与圆相切是坐标原点），求证：直线经过一定点，并求出该定点坐标．

18．从抛物线上任意一点向轴作垂线段，垂足为，点是线段上的一点，且满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与轨迹交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．







19．已知椭圆的右焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点．

20．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．









21．已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左，右焦点，过斜率不为零的直线交椭圆于，两点，△的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于，两点，试判断以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由．

22．已知平面内的两点，，，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为．
（1）求的方程．
（2）设是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，，若直线，斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．








23．已知的两个顶点，的坐标分别是，，且直线，的斜率之积是．
（1）是否存在定点，，使得为定值？
（2）设点的轨迹为，点，，是上互异的三点，且，关于轴对称，．求证：直线恒过定点．