专题09 与圆有关的定值问题——高考数学一轮复习重难点（解析版）

这是一份专题09 与圆有关的定值问题——高考数学一轮复习重难点（解析版），共25页。试卷主要包含了已知圆，直线过定点，设直线的方程为，等内容，欢迎下载使用。
专题09 与圆有关的定值问题
1．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
（1）试求圆的方程；
（2）若圆与直线相交于，，，两点．求证：为定值．
【解答】解：（1）由题意知：过且与直线垂直的直线方程为：，
圆心在直线：上，
由即，且半径，
所求圆的方程为：．
（2）将的方程与圆的方程联立得，
由韦达定理得，
故．
【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解及直线与圆的位置关系的简单应用，方程的根与系数关系的应用是证明（2）的关键．
2．动圆与轴交于，，，两点，且，是方程的两根．
（1）若线段是动圆的直径，求动圆的方程；
（2）证明：当动圆过点时，动圆在轴上截得弦长为定值．
【解答】解：（1），是方程的两根，，．
动圆与轴交于，，，两点，且线段是动圆的直径，
动圆的圆心的坐标为，半径为．
动圆的方程为；
（2）证明：设动圆的方程为，动圆与轴交于，，令
则，由题意可知，，又动圆过点，，解得．
令，则，解得或，．动圆在轴上截得弦长为．
故动圆在轴上截得弦长为定值．
【点睛】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于定值问题中的基础题．
3．如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线、分别与圆交于、两点．
（1）若，，求的面积；
（2）若直线过点，证明：为定值，并求此定值．

【解答】解：（1）根据题意，圆的圆心为，半径为2，，
若，则直线的方程为，即，
，直线的方程为，即，
由题知，所以，为圆的直径，
所以圆心到直线的距离，则，
又由中位线定理知，，即，
则的面积；
（2）证明：设，、，，
①当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入圆的方程中有：，整理得：，
则有，，
此时，
②当直线斜率不存在时，直线的方程为，
代入圆的方程可得，；
此时，
综合可得：为定值，且此定值为．

【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，以及弦长公式的运用，属于定值问题中的基础题．
4．已知过点 且斜率为的直线与圆交于，两点．
（1）求斜率的取值范围；
（2）以点为圆心，为半径的圆与圆总存在公共点，求的取值范围；
（3）为坐标原点，求证：直线与斜率之和为定值．
【解答】解：（1）根据题意可得，直线的方程为：，即，
圆的方程为，则其圆心，半径，
若直线与圆相交，必有，即，解得，
所以斜率的取值范围为．
（2）若以点为圆心，为半径的圆与圆总存在公共点，
则，
即，
所以．
（3）证明：联立直线与圆的方程：
，消去整理得，
设，，，，
根据韦达定理得，
则
，
故直线与直线的斜率之和为定值1．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，斜率，属于中档题．
5．在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为，经过坐标原点的直线与圆交于，两点．
（1）求当满足时对应的直线的方程；
（2）若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为、，求证：为定值．
【解答】解：因为圆被轴截得的弦长为，
所以，
又圆心在轴上的圆经过点，
所以，即，
解得，所以圆心，
所以圆方程为．
设直线方程为：，，，，
联立圆的方程得，，
③，④，
（1）因为，
所以，，，
即
①③得，
代入③得，代入④得，
解得，
所以直线的方程为：．
（2）直线方程为：，
联立圆的方程得：，
所以，
所以，
，
，

，
，
所以，，
同理可得，，
所以

，
所以，
所以为定值．

【点睛】本题考查圆的方程，向量，直线与圆相交问题，还考查运算能力，属于中档题．
6．已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点在左侧），为坐标原点）．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点任作一条直线与圆相交于，两点．
①证明：为定值；
②求的最小值．
【解答】（1）解：因为圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，
故设圆心，
则，
所以，，
所以，
解得，
所以圆的方程为；
（2）①证明：由（1）可得，，
设，，则，
所以，
同理可得，
所以为定值；
②解：因为，
所以，
故的最小值为．
【点睛】本题考查了圆的标准方程的求解与应用，直线与圆位置关系的应用，圆中弦长公式的应用以及圆中最值问题的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
7．已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆的标准方程．
（2）直线与圆交于，两点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：直线与直线的斜率之和为定值．
【解答】解：（1）设圆的圆心坐标为，其中，半径为，
圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，
，
又圆与直线相切，
，解得或（舍去），
圆心，，
故圆的标准方程为．
（2）联立直线与圆的方程，可得，
直线交圆与，两点，
△，解得，
故的取值范围为．
证明：设，，，，
由韦达定理，可得，，
又，
直线与直线的斜率之和为定值，即得证．
【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，并考查了点到直线的距离公式和韦达定理，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
8．在平面直角坐标系中，设圆的圆心为，．
（1）若，是圆的两条切线，，是切点，为圆心，求四边形的面积；
（2）若过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，．设直线、的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）圆心的坐标为，半径
圆心到直线的距离，
直线是圆的一条切线，无妨设切点为，则，
，
，
四边形的面积为．
（2）过点的直线方程为，设，，，，
联立得，
整理得，
直线与圆相交，△，，
则，，
于是
，
为定值．
【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，用联立法求解是解决问题的关键，属于中档题．
9．已知圆，直线过定点．
（1）若与圆相切，求的方程；
（2）若与圆相交于、两点，线段中点为，又与交点为，求证：为定值．
【解答】（1）解：由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，
则由与圆相切得：，解得：或，
故的方程为或．
（2）证明：与圆相交于两点，故斜率存在且不为0．设直线的方程为，
联立得，故；
线段中点为，，设直线的方程为，
联立，得，故；
，，
，又由于，，三点共线，
得证，为定值．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．
10．已知为坐标原点，圆的方程为：，直线过点．
（1）若直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于不同的两点，，试问：直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．
【解答】解：（1）①当直线斜率不存在时，的方程为，符合题意．
②当直线斜率存在时，设的方程为，
由，得圆心，半径．
直线与圆有一个公共点，，
解得．
的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或；
（2）直线与的斜率之和为定值．
证明：由（1）知直线斜率存在，设的方程为，
设，，，，
联立直线与圆的方程：，
消去得．
根据韦达定理得．
则
．
直线与的斜率之和为定值．
【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．
11．若圆与圆相外切．
（1）求的值；
（2）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，为第三象限内一点且在圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．
【解答】解：（1）圆的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标，半径为3，
又两圆外切得，．
（2）证明：点坐标为，点坐标为，
设点坐标为，，
由题意得点的坐标为；点的坐标为，，
四边形的面积，
由点在圆上，有，
四边形的面积，
即四边形的面积为定值4．
【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了圆与圆的位置关系，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．
12．已知圆和轴相切于点，与轴的正半轴交于、两点在的左侧），且；
（1）求圆的方程；
（2）过点任作一条直线与圆相交于点、，连接和，记和的斜率为，，求证：为定值．

【解答】解：（1）圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，，
则圆的半径为，又，，解得，
圆的方程为；
证明：（2）由（1）知，，
当直线的斜率为0时，知，即为定值．
当直线的斜率不为0时，设直线，
将代入，整理得，．
设，，，，
，，
则
．
综上可知，为定值．
【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
13．平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴交于点．
（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，．
①设直线，的斜率分别是，，问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
②设线段的中点为，点，若，求直线的方程．

【解答】解：（1）当的斜率不存在时，易得的方程为适合题意；
当的斜率存在时，设，即，
由题设知：圆心到直线的距离，此时，
直线的方程为或；
（2）①，联立，
可得．
设，，，，则，，

；
②设，，由①知，，代入直线方程，
可得，
由，得，
化简为，把，代入，可得
，解得或．
直线的方程为或，
即或．
【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想，考查计算能力，是中档题．
14．平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆被直线截得弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，与轴交于点，设，，求证：为定值．
【解答】解：（1）设圆的半径为，圆心到直线的距离为，
则，则．
圆的方程为；
证明：（2）当与轴垂直时（不妨设在轴上方），
此时与重合，从而，，；
当点与点不重合时，直线的斜率存在，
设，，，，，则，，
由，，得：，，
即．
联立，得．
则△．
，，
．
综上，为定值．

【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
15．已知圆的圆心在轴上，半径，过点且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，，且与直线交于点，若，中点为，问是否存在实数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设圆心，
圆心到直线的距离等于半径，
，解得或，
又半径，，
则圆的方程为；
（2）．
①当直线的斜率存在时，设，
联立，解得，，
，
，
，
要使为定值，则，此时；
②当的斜率不存在时，，，，
，时满足；
又当与重合时，也为的值．
综上，当或4时，为定值．
【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
16．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点是圆上一点．
（1）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；
（2）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．
【解答】解：（1）由圆的方程为，可知，半径，
则到距离，
所以，当且仅当时取等号，
由，解得；
由，在两侧，，，所以．
到距离，到距离，
所以四边形的面积，
所以时，四边形面积最大为；
（2）由题意可设，由，
可得，
设，，则，
所以，，
所以，
同理，
因为，所以，
所以为定值．
【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
17．已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）设直线，的斜率分别是，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
（3）设的中点为，求点到直线的距离的最大值．
【解答】解：圆与轴的正半轴交于点，
圆心，半径，．
（1）直线与圆交于不同的两点、，
圆心到直线的距离，
即，解得；
（2）设，，，，
联立，可得，
，，


为定值．
是定值，定值为；
（3）（方法一）的中点为，
，，
．
记点到直线的距离为，
则，
令，则，

（当且仅当，即时取等号）．
点到直线的距离的最大值为；
（方法二）
直线的方程为，即，直线恒过定点．
的中点为，，
点在以为直径的圆上（在圆内的部分）．
以为直径的圆的方程为．
点到直线的距离的最大值为（此时为．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查化归与转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
18．平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交于点．
（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，．
①设线段的中点为，求点纵坐标的最小值；
②设直线，的斜率分别是，，问：是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）当直线的斜率不存在时，则直线的方程为：，圆心到直线的距离，显然符合条件，
当直线的斜率存在时，由题意设直线的方程为即，
圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上所述：过点的切线方程为或；
（2）①设点，因为是弦的中点，所以，
又因为，，
所以，即，
联立解得或，
又因为在圆的内部，所以点的轨迹是一段圆以，和为端点的一段劣弧（不包括端点），
在圆方程中，令，得，
根据点在圆内部，所以点的纵坐标的最小值为；
②联立，整理可得，
设，，，则，
所以，
所以为定值．
【点睛】本题考查求过某点的切线方程的方法，及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，点，，为圆上的不同于点的两点．
（1）已知坐标为，若直线截圆所得的弦长为，求圆的方程；
（2）若直线过，求面积的最大值；
（3）若直线，与圆都相切，求证：当变化时，直线的斜率为定值．

【解答】解：（1），可得，
故直线的方程为：，
点到直线的距离为．
直线截圆所得的弦长为，，
圆的方程为：；
（2）由题意可知直线的斜率存在，故可设直线的方程为，
所以点到直线的距离，
可得，
，
令，，，
，当时，即时，面积的最大值为；
（3），所以过与圆相切的直线的斜率存在设为．
由直线与圆相切，
．整理可得，
，
联立，，可得，，
，
所以，当变化时，直线的斜率为定值．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．
20．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴右侧，原点和点都在圆上，且圆在轴上截得的线段长度为3．
（1）求圆的方程；
（2）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；
（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意，圆过点，，，
设圆的方程为．
则，解得．
圆的方程为，即；
（2）由（1）可知，，，半径，到的距离．
，当且仅当时取等号．
由，解得．
由，在的两侧，得，即．
到的距离，到的距离．
四边形的面积．
时，四边形的面积有最大值为；
（3）由题意可设．
联立，得．
设，，则，，
．
，，
结合，同理，．
．
【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
21．在直角坐标系中，曲线与轴交于、两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：
（1）能否出现的情况？说明理由；
（2）证明过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值．
【解答】解：（1）曲线与轴交于、两点，
可设，，，，
由韦达定理可得，
若，则，
即有，
即为这与矛盾，
故不出现的情况；
（2）证明：设过、、三点的圆的方程为，
由题意可得时，与等价，
可得，，
圆的方程即为，
由圆过，可得，可得，
则圆的方程即为，
另解：设过、、三点的圆在轴上的交点为，
则由相交弦定理可得，
即有，
再令，可得，
解得或．
即有圆与轴的交点为，，
则过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值3．
【点睛】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．
22．如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于，两点（点在点的左侧），且．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于，两点，连接，，求证：为定值．

【解答】解：（Ⅰ）因为圆与轴相切于点，
可设圆心的坐标为，，
则圆的半径为；
又，
所以，
解得；
所以圆的方程为；
（Ⅱ）证明：由（1）知，，，
当直线的斜率为0时，易知，
即；
当直线的斜率不为0时，设直线，
将代入，
整理得；
设，，，，
所以，
则



；
综上，可得．
【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了直线斜率的计算问题，是综合题．
23．已知圆，直线过定点
（1）若直线与圆相切，切点为，求线段的长度；
（2）若与圆相交于，两点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）圆，圆心为，半径为2，
直线过定点；

直线与圆相切，切点为，连接，与，则，且，
所以，
，
即线段的长度为4；
（2）易知，若斜率不存在，则与圆相切，
若斜率为0，则与圆相离，故直线的斜率存在，
可设的方程：，
由，解得，
再由，解得，
又直线，所以，
解得，
所以为定值．（12分）
【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用问题，考查了数形结合思想与方程的应用问题，是综合性题目．