北师大版数学九年级上册单元测试《特殊的平行四边形》含详细解析

这是一份北师大版数学九年级上册单元测试《特殊的平行四边形》含详细解析，共12页。试卷主要包含了填空题，解答题，选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共11题）
1. 下列说法中，正确的是   
A．有一个角是直角的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的菱形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
2. 菱形的两条对角线长为 6 cm 和 8 cm，那么这个菱形的周长为   
A．40 cm B．10 cm C．20 cm D．5 cm
3. 如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AC=16，BD=12，则菱形的边长 AB 等于   

A． 5 B． 6 C． 7 D． 10
4. 如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在 Cʹ 处，折痕为 EF，若 ∠ABE=20∘，那么 ∠EFCʹ 的度数为   

A． 115∘ B． 120∘ C． 125∘ D． 130∘
5. 如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，∠BAD=60∘，则花坛对角线 AC 的长度等于   

A． 63 米 B． 6 米 C． 33 米 D． 3 米
6. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=8，BD=6，过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于   

A．2 B．94 C．73 D．125
7. 如图，把矩形纸片 ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为 △EBD，那么下列说法错误的是   

A．△EBD 是等腰三角形，EB=ED
B．折叠后 ∠ABE 和 ∠CBD 一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA 和 △EDC 一定是全等三角形
8. 如图，点 E，点 F 分别在菱形 ABCD 的边 AB，AD 上，且 AE=DF，BF 交 DE 于点 G，延长 BF 交 CD 的延长线于 H，若 AFDF=2，则 HFBG 的值为   

A． 23 B． 712 C． 12 D． 512
9. 如图，在 △ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为   

A． 54 B． 52 C． 53 D． 65
10. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=4 cm，∠ADC=120∘，点 E，F 同时由 A，C 两点出发，分别 沿 AB，CB 方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1 cm/s，点 F 的速度为 2 cm/s，经过 t 秒 △DEF 为等边三角形，则 t 的值为   

A．1 B．13 C．12 D．43
11. 如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AB 上一点，过点 E 作 EF∥AD，与 AC，DC 分别交于点 G，F，H 为 CG 的中点，连接 DE，EH，DH，FH．下列结论：
① EG=DF；
② ∠AEH+∠ADH=180∘；
③ △EHF≌△DHC；
④若 AEAB=23，则 3S△EDH=13S△DHC．
其中结论正确的有   

A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
二、填空题（共5题）
12. 如图，菱形 ABCD 的周长是 8 cm，AB 的长是 cm．


13. 直角三角形两直角边长为 8 和 6，则此直角三角形斜边上的中线的长是 ．
14. 已知边长为 a 的正三角形 ABC，两顶点 A 、 B 分别在平面直角坐标系的 x 轴、 y 轴的正半轴上滑动，点 C 在第一象限，连结 OC，则 OC 的长的最大值是 ．

15. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=3，AB=5，P 是 △ABC 内部的一个动点，且满足 ∠PAC=∠PCB，则线段 BP 长的最小值为 ．

16. 如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在点 B 上，点 C 落在点 Cʹ 处，点 P 为折痕 EF 上的任一点，过点 P 作 PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为 G，H，如果 AD=8，CF=3，那么 PG+PH 的值为 ．

三、解答题（共6题）
17. 在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E，F 满足 BE=DF，连接 AE，AF，CE，CF，如图所示．

(1) 求证：△ABE≌△ADF．
(2) 试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由．


18. 如图，一张矩形纸片 ABCD，AB=4，AD=9．点 F 在这张矩形纸片的边 BC 上，将纸片折叠，使 FB 落在射线 FD 上，折痕为 GF，点 A，B 分别落在点 Aʹ，Bʹ 处．

(1) 若 ∠ADF=40∘，则 ∠DGF 的度数为 ∘．
(2) 若 AG=73，求 BʹD 的长．




19. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=120∘，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处（不与点 B，D 重合），折痕为 EF，若 DG=2，BG=6，求 AF 的长．






20. 如图，已知菱形 ABCD 中，对角线 ACBD 相交于点 O，过点 C 作 CE∥BD，过点 D 作 DE∥AC，CE 与 DE 相交于点 E．

(1) 求证：四边形 CODE 是矩形．
(2) 若 AB=5，AC=6，求四边形 CODE 的周长．



















21. 如图 1，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，在线段 BD，AC 上各取一点 F，E 使得 DF=AE，连接 AF 并延长交 BE 于点 M．

(1) 试猜想 BE 与 AF 的位置关系和数量关系，并说明理由．
(2) 若 AB=22，OE=1，求 AM 的长．
(3) 如图 2，在线段 DB，AC 的延长线上各取一点 F，E，使得 DF=AE，连接 EB 并延长交 AF 于点 M．请问：（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由．


22. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 BC，AB 上的点，且 CE=BF，连接 DE，过点 E 作 EG⊥DE，使 EG=DE，连接 FG，FC．

(1) 猜想：如图①，四边形 GECF 是 ．
(2) 探究：如图②，若点 E，F 分别是 BC，AB 延长线上的点，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由．
(3) 应用：如图③，若点 E，F 分别是 CB，BA 延长线上的点，其他条件不变．若 DE 与 CF，AB 分别交于 M，N 两点，CF 交 AD 于点 H，CD=4，BE=1，求 DMME 的值．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】C
【解析】（A）有一个角是直角的四边形不一定是菱形，可以是矩形、正方形等，故A错误，
（B）对角线互相垂直的菱形不一定是正方形，这是由于菱形本身的对角线也互相垂直，故B错误，
（D）一组邻边相等的平行四边形是菱形，故D错误．

2. 【答案】C

3. 【答案】D
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，
∵AC=16，BD=12，
∴OA=8，OB=6，
∴AB=OA2+OB2=10，
即菱形 ABCD 的边长是 10．

4. 【答案】C
【解析】由题意得 ∠D=∠EBC=90∘，∠EFCʹ=∠EFC，
∠EBF=∠ABF−∠ABE=∠90∘−20∘=70∘，
∠FBC=∠EBC−∠EBF=90∘−70∘=20∘，
∠BFC=90∘−20∘=70∘，
∠CFCʹ=180∘−∠BFC=110∘，
∠EFCʹ=12360∘−110∘=125∘，
故选C．

5. 【答案】A
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为菱形，设对角线交点为 O，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），
∵∠BAD=60∘，
∴△ABD 为等边三角形，
∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得：OA=62−32=33（米），
则 AC=2OA=63 米．


6. 【答案】D
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，
∴ BO=3，AO=4，AO⊥BO，
∴ AB=AO2+BO2=5．
∵ OH⊥AB，
∴ 12AO⋅BO=12AB⋅OH，
∴ OH=125．

7. 【答案】B

8. 【答案】B
【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AF=2DF，
设 DF=a，则 DF=AF=a，AF=EB=2a，
∵HD∥AB，
∴△HFD∽△BFA，
∴HDAB=DFAF=HFFB=12，
∴HD=1.5a，FHBH=13，
∴FH=13BH，
∵HD∥EB，
∴△DGH∽△EGB，
∴HGGB=HDEB=1.5a2a=34，
∴BGHB=47，
∴BG=47HB，
∴HFBG=13BH47BH=712．
故选：B．

9. 【答案】D
【解析】 ∵ 在 △ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，即 ∠BAC=90∘．
又 ∵PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，
∴ 四边形 AEPF 是矩形，
∴EF=AP．
∵M 是 EF 的中点，
∴AM=12EF=12AP．
∵AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高，即等于 125，
∴AM 的最小值是 65．

10. 【答案】D
【解析】延长 AB 至 M，使 BM=AE，连接 FM，
因为四边形 ABCD 是菱形，∠ADC=120∘，
所以 AB=AD，∠A=60∘，
因为 BM=AE，
所以 AD=ME，
因为 △DEF 为等边三角形，
所以 ∠DAE=∠DFE=60∘，DE=EF=FD，
所以 ∠MEF+∠DEA=120∘，∠ADE+∠DEA=180∘−∠A=120∘，
所以 ∠MEF=∠ADE，
所以在 △DAE 和 △EMF 中，
AD=ME,∠MEF=∠ADE,DE=EF.
所以 △DAE≌△EMFSAS，
所以 AE=MF，∠M=∠A=60∘，
又因为 BM=AE，
所以 △BMF 是等边三角形，
所以 BF=AE，
因为 AE=t，CF=2t，
所以 BC=CF+BF=2t+t=3t，
因为 BC=4，
所以 3t=4，
所以 t=43．


11. 【答案】D
【解析】① ∵ 四边形 ABCD 为正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45∘，∠GFC=90∘，
∴△CFG 为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF−GF，DF=CD−FC，
∴EG=DF，故①正确；
② ∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点，
∴FH=CH，∠GFH=12∠GFC=45∘=∠HCD，
在 △EHF 和 △DHC 中，
EF=CD,∠EFH=∠DCH,FH=CH,
∴△EHF≌△DHCSAS，
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180∘,
故②正确；
③ ∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点，
∴FH=CH，∠GFH=12∠GFC=45∘=∠HCD，
在 △EHF 和 △DHC 中，
EF=CD,∠EFH=∠DCH,FH=CH,
∴△EHF≌△DHCSAS，故③正确；
④ ∵AE:AB=2:3，
∴AE=2BE，
∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为 CG 的中点，
∴FH=GH，∠FHG=90∘，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90∘+∠HFG=∠HFD，
在 △EGH 和 △DFH 中，
ED=DF,∠EGH=∠HFD,GH=FH,
∴△EGH≌△DFHSAS，
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90∘，
∴△EHD 为等腰直角三角形，
过 H 点作 HM 垂直于 CD 于 M 点，如图所示：
设 HM=x，则 DM=5x，DH=HM2+DM2=26x，CD=6x，
则 S△DHC=12×CD×HM=3x2，S△EDH=12×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确．
∴ 正确的有 4 个．


二、填空题（共5题）
12. 【答案】2
【解析】菱形的四边相等，故 AB=8÷4=2cm .

13. 【答案】 5
【解析】 ∵ 直角三角形两直角边长为 8 和 6，
∴ 斜边 =10，
∴ 此直角三角形斜边上的中线的长 =12×10=5．

14. 【答案】3+12a
【解析】取 AB 中点 D，连 OD，DC，有 OC≤OD+DC，当 O 、 D 、 C 共线时，OC 有最大值，最大值是 OD+CD．
∵ △ABC 为等边三角形，
∴ AB=BC=AC=a，根据三角形的性质可知：OD=12a，CD=a2−a22=32a．
∴ OC=1+32a


15. 【答案】 13−2

16. 【答案】 4
【解析】过点 E 作 EQ⊥BC，垂足为 Q，连接 BP，如图所示．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90∘．
∵AD=8，CF=3，
∴BF=BC−CF=AD−CF=5．
由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF，
∴DF=5．
∵∠C=90∘，
∴DC=DF2−CF2=52−32=4．
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90∘，
∴∠EQC=90∘=∠C=∠ADC，
∴ 四边形 EQCD 是矩形，
∴EQ=DC=4．
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF．
∵S△BEF=S△BEP+S△BFP=12BE⋅PG+12BF⋅PH=12BF⋅PG+PH=12BF⋅EQ,
∴PG+PH=EQ，
∴PG+PH=4，
即 PG+PH 的值为 4．


三、解答题（共6题）
17. 【答案】
(1) ∵ 正方形 ABCD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在 △ABE 与 △ADF 中，
AB=AD,∠ABE=∠ADF,BE=DF,
∴△ABE≌△ADFSAS．
(2) 连接 AC．
∵ 正方形 ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即 OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴ 四边形 AECF 是菱形．

18. 【答案】
(1) 70
(2) ∵AG=73，AD=9，
∴GD=9−73=203，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，BC=AD=9，
∴∠DGF=∠BFG，
由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG=203，
∵CD=AB=4，∠C=90∘，
∴ 在 Rt△CDF 中，由勾股定理得：CF=DF2−CD2=163，
∴BF=BC−CF=9−163=113，
由翻折不变性可知，FB=FBʹ=113，
∴BʹD=DF−FBʹ=203−113=3．

【解析】
(1) ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CFD=∠ADF=40∘，∠DGF=∠BFG，
由折叠的性质得：∠BFG=∠DFG=70∘，
∴∠DGF=70∘；
故答案为：70．

19. 【答案】如答图，作 FH⊥BD 于点 H，
由折叠的性质可知，FG=FA，
由题意，得 BD=DG+BG=8，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60∘，
∴△ABD 为等边三角形，
∴AD=BD=8，
设 AF=x，则 FG=x，DF=8−x，
在 Rt△DFH 中，
∵∠FDH=60∘，
∴DH=128−x=4−12x，FH=328−x，
∴HG=DG−DH=2−4−12x=12x−2，
在 Rt△FHG 中，FG2=FH2+GH2，
即 x2=43−32x2+12x−22，解得 x=267，
∴AF 的长为 267．

20. 【答案】
(1) ∵CE∥BD，DE∥AC，
∴ 四边形 CODE 为平行四边形，
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90∘，
∴ 平行四边形 CODE 是矩形；
(2) ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AO=OC=12AC=12×6=3，OD=OB，∠AOB=90∘，
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 BO2=AB2−AO2，
∴BO=AB2−AO2=4，
∴DO=BO=4，
∴ 四边形 CODE 的周长 =2×3+4=14．

21. 【答案】
(1) BE⊥AF．
∵ 正方形 ABCD 中，DA=AB，∠ADO=∠BAO=45∘，
∴ 在 △DAF 和 △ABE，
DA=AB,∠FAD=∠EAB,DF=AE,
∴△DAF≌△ABESAS，
∴∠DAF=∠ABE，
∵∠DAF+∠BAF=90∘，
∴∠ABE+∠BAF=90∘，
∴∠AMB=90∘，
∴BE⊥AF．
(2) ∵Rt△AOB 中，AO=BO，
∴AO2+BO2=AB2=8，
∴AO=BO=2，
∴AE=AO+OE=3，
∵Rt△BOE 中，BE=BO2+OE2=5，
∵S△ABE=12AE⋅BO=12BE⋅AM，
∴AM=AE⋅BOBE=655．
(3) 成立．
在 △ABE 和 △DAF 中，
AB=DA,∠EAB=∠FDA,AE=DF,
∴△ABE≌△DAF，
∴∠AEB=∠DFA，
∴∠ADF=90∘，
∴∠DFA+∠FAO=90∘，
∴∠AEB+∠FAE=90∘，
∴∠AME=90∘，
∴BE⊥AF．

22. 【答案】
(1) 平行四边形
(2) ∵ 正方形 ABCD，
∴∠DCE=∠CBF=90∘，CD=BC，
∵CE=BF，
∴△DCE≌△CBF．
∴∠CDE=∠BCF，DE=CF，
又 ∵DE=GE，
∴CF=GE．
又 ∵∠CDE+∠DEC=90∘，∠GEC+∠DEC=90∘，
∴∠CDE=∠GEC．
∴∠GEC=∠BCF．
∴CF∥GE．
∴ 四边形 GECF 是平行四边形．
(3) 由（2）知 △DCE≌△CBF，
∴EC=BF．
∴BE+BC=BA+AF．
∴AF=BF=1．
∵AHBC=AFFB=11+4=15，
∴AH=45．
∵AHHD=AFCD=14．
∴HD=165．
∴DMME=HDCE=1625．