高考数学二轮导数专题复习——第二十节 双变量问题之极值点消元-解析版

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第二十节 双变量问题之极值点消元
知识与方法
一般地，设函数有两个极值点、，如果我们需要证明与和有关的不等式，或者根据给出的与和有关的不等式，求参数的取值范围，由于有两个变量（和）和参数，处理起来往往较为困难，这个时候可以运用、是方程的实根，来建立、和参数的关系，消元化归成单变量问题处理.
典型例题
【例题】（2018·新课标Ⅰ卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点、，证明：.
【解析】（1）由题意，的定义域为，，
（i）当时，则，所以，
当且仅当，时，，所以在上单调递减；
（ii）当时，令得：或，
且当时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当且仅当时，存在两个极值点、，且、是方程的两根，所以，，不妨设知，，
因为，
所以要证，只需证，即证，也即证①，
由知，代入式①知只需证，即证，
令，则，所以在上单调递减，因为，所以，从而，故不等式成立.
【反思】消元思想是高中数学中基本思想方法之一，本题要证明的不等式中含有、和a三个变量，但它们之间显然是有关联的，可以利用和是方程的两根这一层联系，来达到消元的目的.

强化训练
1.（2009·全国Ⅱ卷）设函数有两个极值点、，且.
（1）求a的取值范围，并讨论的单调性；
（2）证明：.
【解析】（1），由题意，方程在上有两个实根，注意到二次函数的对称轴为，所以，解得：，
令得：或，
且或，
，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，，且，所以，
代入得：，
令，，则，
所以在上单调递增，从而，故.
2．设函数，.
（1）若函数在上是增函数，求a的取值范围；
（2）若函数有两个极值点、，求证：.
【解析】（1），由在上是增函数知在上恒成立，所以，易求得，所以，故a的取值范围是.
（2）函数有两个极值点，所以方程在上有两个实根、，注意到函数的对称轴为，所以，解得：，由韦达定理，，所以，由得：，故，从而，其中，
令，，则，
，
易证在上有一个零点，且，，所以在上单调递减，在上单调递增，
结合和知，从而在上单调递减，
又，，所以，故.
3．设函数
（l）若，且函数在定义域上是增函数，求a的取值范围；
（2）若，且有两个极值点、，证明：.
【解析】（1）当时，，，
因为在定义域上是增函数，所以恒成立，故，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
因为，所以，故a的取值范围是.
（2）当时，，，
因为有两个极值点、，所以方程在上有两个实根，
考虑到二次函数的对称轴是，故只需，解得：，
此时，，所以，，且，故，
从而.
令，则，所以在上单调递减，
从而，故，所以.
4.已知函数，.
（1）若直线与函数，的图象均相切，求实数a的值；
（2）设函数
（i）证明：函数有两个极值点、；
（ii）对（i）中的两个极值点、，若，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意，，令得：，所以，
故直线与函数相切于点，代入得：，解得：，
从而直线与的图象相切，联立消去y整理得：，判别式，解得：.
（2）（i）由题意，，
，所以，
设，其判别式，对称轴为，且，又，所以在上有2个零点，，
不妨设，则或，
，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点，.
（ii）由（i）可得，，
所以
，
因为，所以，故，
设，则，
所以在上单调递增，又，所以不等式的解集为，故实数a的取值范围为.
5.已知函数，若函数在定义域上存在两个极值点、，且.
（1）求实数m的取值范围；
（2）证明：.
【解析】（1）函数的定义域是，，
有2个极值点等价于有2个零点，即方程在上有2个不等的实根，所以，解得：.
（2）由（1）知，是方程在上的两个不等实根，
所以，其中，0，

同理，，
所以
，
设，则，所以在上单调递减，从而，故，
又，所以，故.