北师大版九年级上册第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程同步测试题

这是一份北师大版九年级上册第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程同步测试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2.1认识一元二次方程
一、单选题
1．下面关于x的方程中①；②；③；④；⑤；⑥是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一判断即可．
解：①当时，是一元一次方程，故错误；
②是一元二次方程，故正确；
③是分式方程，故错误；
④是一元三次方程，故错误；
⑤可化为是一元一次方程，故错误；
⑥是一元一次方程，故错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
2．将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣1，2 B．1，1 C．1，﹣2 D．1，2
【答案】C
【解析】
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
将一元二次方程x2+x=2化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）之后，变为x2+x﹣2=0，
故一次项系数和常数项分别是：1，﹣2．
故选：C．
【点评】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
3．关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【答案】C
【解析】
把x＝0代入方程计算即可求出k的值．
解：把x＝0代入方程得：k2﹣1＝0，
解得：k＝1或k＝﹣1，
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
4．若关于的一元二次方程的解是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
把x=1代入已知方程求得（a+b）的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
解：∵关于的一元二次方程的解是，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．
5．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．-1 B．±1 C．1 D．0
【答案】A
【解析】
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意得：，，
解得，
故选：．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．
6．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵，∴，则，解得，．
7．关于的方程能直接开平方求解的条件是（ ）
A． B．
C．为任意数 D．为任意数且
【答案】D
【解析】
根据一个数的平方是非负数，可得．
∵，
∴，为任意数，
故选：D．
【点睛】
本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：（a≥0）．
8．关于x的方程（其中）的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
原方程移项，得，开方，得，解得．
9．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：
开方得，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
10．设、是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（ ）
A．
B．，
C．
D．，
【答案】C
【解析】
【解析】
令a＝x＋2，b＝x代入题中的a△b的公式中可得方程，化简方程可得关于x的方程，然后解出x的值．
【详解】
解：令a＝x＋2，b＝x代入题中的a△b的公式中可得：（x＋2）2＋x2＋（x＋2）x＝1，化简公式可得：3x2＋6x＋3＝0，再化简可得：x2＋2x＋1＝0,，刚好可以化成平方：（x＋1）2＝0，解得：x1＝x2＝－1，故选C．
【点睛】
本题主要考查了新的运算的计算，本质还是计算方程的解，但要习惯新的方式来解答同样的问题，解此题的要点在于明白定义的运算，接下来就是传统的解方程．


二、填空题
11．一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是_____；它的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____．
【答案】5x2+8x﹣2＝0 5 8 -2
【解析】
将等式左边利用整式的乘法法则计算，再整理为一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义解答．
【详解】
解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2＝0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．
故答案为：5x2+8x﹣2＝0，5，8，﹣2．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，整式的乘法计算法则，熟记一元二次方程的定义是解题的关键．
12．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．
【答案】m=﹣1 ﹣2 ﹣4 3
【解析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0，
解得m=1或﹣1且m≠1，
所以，m=﹣1，
m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，
所以，此方程为，
所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．
故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
13．方程x2﹣2(3x﹣2)+(x+1)=0的一般形式是______．
【答案】x2﹣5x+5=0
【解析】
首先利用整式是乘法法则打开括号，然后移项、合并同类项，最后就可以得到方程的一般形式．
【详解】
由x2﹣2(3x﹣2)+(x+1)=0，得:x2﹣6x+4+x+1=0，
整理，得:x2﹣5x+5=0．
故答案是：x2﹣5x+5=0．
【点评】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其中一般形式为ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．
14．若一个一元二次方程的有一个根为﹣3，请写出一个符合题意的关于x的一元二次方程________．
【答案】x2+x﹣6=0
【解析】
令方程的另一根为2，由此即可得出该一元二次方程可以为（x+3）（x﹣2）=x2+x﹣6=0，此题得解．
【详解】
∵方程的另一个根为﹣3，可设另一根为2，
∴该方程可以为（x+3）（x﹣2）=x2+x﹣6=0．
故答案为：x2+x﹣6=0．
【点评】
本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解找出方程是解题的关键．
15．方程用________法求解较宜，解得方程的根是____________
【答案】直接开平方
【解析】
根据所给一元二次方程的形式，应该用直接开平方法比较合适，然后求出方程的根．
【详解】
用直接开平方法求解较宜，，，，．
故答案是：直接开平方；，．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法——直接开平方法，解题的关键是掌握直接开平方法的方法．
16．将方程的两边同时开平方，
得________，
即________或________，
所以________， ________．
【答案】±3 3 －3 2 －1
【解析】
依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可
【详解】
∵
∴±3
∴3，-3
∴2，-1
【点睛】
此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
17．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣6=0的一个解，且a≠﹣b，则的值为____．
【答案】3
【解析】
把x=﹣1代入方程得出a﹣b=6，再将分式的分子分母分别分解因式，约分后代入，即可求出答案．
【详解】
将x=﹣1代入方程ax2+bx﹣6=0，得：a﹣b﹣6=0，
即a﹣b=6，
∴

=
=3，
故答案为：3．
【点评】
本题考查了一元二次方程的解以及分式的化简求值，得到a﹣b的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．
18．方程（x-1）2=20202的根是________．
【答案】
【解析】
利用直接开平方法求解可得．
【详解】
∵()2=20202，
∴或，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为______．

【答案】4或
【解析】
根据运算程序可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】
解：根据题意得：，化简得，
，解得或．
故答案为：4或．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
20．若方程(x－a)2＝b的解是x1＝1，x2＝3，则a＝____，b＝____．
【答案】2 1
【解析】
根据题意得解得a=2，b=1.
故答案为(1). 2；(2). 1.
点睛：本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，把已知的方程的两个解代入到原方程中，即可得到关于a，b的方程组，消元后，则可用直接开平方法解方程求得a的值，再代入以原方程求b.
21．已知,那么_____.
【答案】3.
【解析】
把看成一个整体设为x，再解一元二次方程舍去负值即可.
【详解】
设,则原方程化为:,
,
,
,
,
故答案为:3.
【点睛】
本题考查的是解方程，关键是将看成一个整体，即整体思想的应用，易错点是要注意的非负性，注意根的取舍.
22．方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是_____．
【答案】﹣9或11
【解析】由题意可得：
x4﹣2x2﹣400x=9999
（x2+1）2=（2x+100）2
①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100
解得x=﹣9或x=11．
②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，
因此x的值应该是﹣9或11．
故答案是：﹣9或11.
【点睛】本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键．

三、解答题
23．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项．
【答案】二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4．
【解析】
解法一：先把分母去掉，即方程两边都乘2，再合并得方程的一般式，再根据一元二次方程的定义指出． 解法二：可以直接去括号，化成一般式．（一般一元二次方程都要化成整数系数，可以降低计算量）．
【详解】
解：解法一：整理得，x2﹣2x+1+6x＝5x+5，
所以x2﹣x﹣4＝0．
二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4．
解法二：整理得：+3x＝+，
﹣﹣2＝0，
二次项，一次项系数为﹣，常数项为﹣2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，进行整理合并．
24．检验：
（1），是否为方程的解．
（2）是否为方程和方程的解．
【答案】（1）不是方程的解，是方程的解；（2）是的解，不是方程的解．
【解析】
（1）将，分别代入方程进行检验即可得；
（2）将分别代入两个方程进行检验即可得．
【详解】
（1）将代入方程的左边得：，
将代入方程的左边得：，
则不是方程的解，是方程的解；
（2）将代入方程的左边得：，代入右边得：，即左边等于右边，
则是方程的解；
将代入方程的左边得：，代入右边得：，即左边不等于右边，
则不是方程的解．
【点睛】
本题考查了方程的解，掌握理解方程的解定义是解题关键．
25．关于x的方程（k+1）x|k﹣1|+kx+1=0是一元二次方程，求k的值．
【答案】k的值是3．
【解析】
根据一元二次方程的定义可得，再求解即可．
【详解】
解：由题意得：，解得：k=3．
故k的值是3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
26．已知方程．
（1）当为何值时，它是一元二次方程？
（2）当为何值时，它是一元一次方程？
【答案】（1） （2）或
【解析】
（1）根据一元二次方程的定义解答本题；
（2）根据一次方程的定义可解答本题．
【详解】
解：（1）方程为一元二次方程，
，
解得：，
所以当为或时，方程方程为一元二次方程；
（2）方程为一元一次方程，
或
解得，或，
故当为2或时，方程方程为一元一次方程．
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，解题关键是理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．
27．观察下列一元二次方程：①x2+2x﹣3=0；②x2﹣7x+6=0；③3x2﹣2x﹣1=0；④5x2+3x﹣8=0．
（1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；
（2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程．
【答案】（1）a+b+c=0；（2）x2﹣x=0．见详解
【解析】
（1）观察方程可得到三个系数之和为0，可得出答案；
（2）由（1）中所得出的结论写出一个方程即可．
【详解】
解：（1）在①中，a=1，b=2，c=﹣3，则a+b+c=0，
在②中，a=1，b=﹣7，c=6，则a+b+c=0，
在③中，a=3，b=﹣2，c=﹣1，则a+b+c=0，
在④中，a=5，b=3，c=﹣8，则a+b+c=0，
∴方程的系数公共的特征为a+b+c=0；
（2）由（1）可知a+b+c=0，
∴所写方程为x2﹣x=0．
【点评】
本题主要考查一元二次方程的一般形式，观察方程得出系数之间的关系是解题的关键．
28．用适当的方法解下列方程：
（1）3x2﹣27＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣3；（2）x1＝2，x2＝2
【解析】
（1）利用直接开平方法解方程，即可得到答案；
（2）利用配方法解方程，即可得到答案：
【详解】
解：（1）方程整理得：x2＝9，
开方得：x＝±3，
解得：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）方程整理得：x2﹣4x＝1，
配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2，x2＝2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．
29．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，求x的值．
【答案】
【解析】
根据相反数的性质列出关于x的方程，移项后将二次项系数化为1，再利用直接开平方法求解可得．
【详解】
解：根据题意知，
整理可得：，
∴，
，
解得：．
【点评】
本题主要考查解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
30．李老师在课上布置了一个如下的练习题：
若，求的值．
看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：
解：，①
，②
．③
晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．
【答案】晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．
【解析】
根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可．
【详解】
解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：
，
，
．
不论为何值都不等于，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．
31．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定＝ad－bc，上述记法就叫做二阶行列式．若＝6，求x的值．
【答案】x1＝，x2＝－
【解析】
试题分析：
根据二阶行列式的规定列出方程，解这个方程求x的值.
试题解析：
解：由题意得(x＋1)(x＋1)－(1－x)(x－1)＝6，
整理得2x2＋2＝6，∴x2＝2，解得x1＝，x2＝－.
点睛：本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，首先要能读懂题目关于二阶行列式的定义，根据这个定义列出一元二次方程，化简整理为x2=p的形式，再用直接开平方法来求解.