第21章 二次根式 华东师大版数学九年级上册优生辅导训练题(含解析)

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2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《第21章二次根式》优生辅导训练题一．选择题1．下列计算正确的是（　　）A． B． C． D．2．能使等式成立的x的取值范围是（　　）A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥23．若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣44．已知a满足|2020﹣a|+＝a，则a﹣20202＝（　　）A．0 B．1 C．2021 D．20205．若2＜a＜3，则等于（　　）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣16．有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|等于（　　）A．a B．﹣a C．2b+a D．2b﹣a7．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　）A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b28．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　）A．n B．n C．n D．n+9．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a10．若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a二．填空题11．将根号外的因式移到根号内：　 　．12．已知a，b为实数，ab＝3，a+b＝﹣6．（1）a2b+ab2＝　 　；（2）a+b＝　 　．13．已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为　 　．14．当m＜0时，化简的结果是　 　．15．观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是 　 　．16．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为　 　．三．解答题17．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．例如：＝＝＝＝|1+|＝1+．解决问题：化简下列各式：（1）； （2）．18．[问题提出]在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，例如：；．[尝试应用]（1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方；（2）请你参考上述方法，计算；[拓展创新]若，且a、m、n均为正整数，则a＝　 　．19．已知实数x，y，z满足等式x+y+z＝8.5，x+y+2z＝13.5．（1）若z＝﹣1，求的值；（2）若实数m＝++，求m的平方根．20．已知x为实数且x2+3x+1＝0．①求x+的值；②求﹣的值．像...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：（1）化简：＝　 　，＝　 　；（2）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．22．实践与探索（1）填空：＝　 　；＝　 　．（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　．（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示．23．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b（其中，a，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若a+b，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　 　，b＝　 　．（2）若a+6，当a，m，n均为正整数时，求a的值．（3）化简：和．24．先化简，再求值：[﹣﹣]÷（﹣）•（+），其中x＝3，y＝2．25．问题提出：在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如、、、一样的式子，如何将他们化简呢？问题探究：探究一：已知﹣1＞；；2﹣﹣2；﹣＞﹣……则　 　（填“＞”“＜”或“＝”）．探究二：．可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1，试仿照探究所用的方法化简．探究三：﹣1；﹣1；；；则＝　 　＝　 　；＝　 　＝　 　；一般规律：（n为正整数）＝　 　；规律应用：应用一：求的值．应用二：求的值．拓展提高：拓展一：．拓展二：||+||+||+...+||．参考答案一．选择题1．解：A．（﹣）2＝3，故A符合题意；B.＝3，故B不符合题意；C.＝，故C不符合题意；D.3＝3×，故D不符合题意；故选：A．2．解：由题意得：，解得：x≥2，故选：D．3．解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝，∵关于x的分式方程+2＝有正数解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3∴m≠﹣3，∵有意义，∴2﹣m≥0，∴m≤2，因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，∵m为整数，∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，故选：D．4．解：由题意得：a﹣2021≥0，∴a≥2021，∴|2020﹣a|＝a﹣2020，∵|2020﹣a|+＝a，∴a﹣2020+＝a，∴＝2020，∴a﹣2021＝20202，∴a﹣20202＝2021，故选：C．5．解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C．6．解：观察数轴可知：，当b＜0时，，所以原式＝﹣b﹣（a﹣b）＝﹣b﹣a+b＝﹣a．故选：B．7．解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，∴a2≠b2，故D选项错误；故选：C．8．解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．故选：A．9．解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．10．解：a＝2021×2022﹣20212＝2021×（2022﹣2021）＝2021×1＝2021；b＝1013×1008﹣1012×1007＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007＝1012+1007+1＝2020；c＝＝＝＝；∴2020＜＜2021，∴b＜c＜a，故选：D．二．填空题11．解：由题意得：≥0，∴≤0，∵x≠0，∴＜0，∴x3＜0，∴x＜0，∴将＝﹣（﹣x）＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．12．解：（1）原式＝ab（a+b）＝3×（﹣6）＝﹣18；（2）∵ab＝3＞0，∴a，b同号，又∵a+b＝﹣6＜0，∴a＜0，b＜0．原式＝﹣（﹣a）﹣（﹣b）＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣2＝﹣2．故答案为：（1）﹣18；（2）﹣2．13．解：∵m＝1+，n＝1﹣，∴（m+n）2＝＝22＝4，mn＝（1+）×（1﹣）＝1﹣2＝﹣1，∴m2+n2﹣3mn＝（m+n）2﹣2mn﹣3mn＝（m+n）2﹣5mn＝4﹣5×（﹣1）＝9，∴＝＝3．故答案为：3．14．解：m＜0，∴﹣＝﹣＝1，故答案为：1．15．解：通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为：第n个式子为：，∴第8个等式的是：＝，即：＝3﹣2．故答案为：＝3﹣2．16．解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．故答案为﹣3．三．解答题17．解：（1）＝＝＝2+；（2）＝＝＝﹣2．18．解：（1）＝（3+7）+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2；（2）＝＝2＝2＝2＝2＝2（﹣）＝2﹣2；（3）∵，∴a+2＝m+2+n，∴m+n＝a，mn＝15，∵a、m、n均为正整数，∴m，n的值为3和5或1和15，∴a的值为8或16，故答案为：8或16．19．解：由题意得：，①+②得：x+y﹣3＝22，∴x+y＝30，∴＝；（2）∵m＝++，∴x﹣3y＝0，∴x＝3y，把x＝3y代入等式x+y+z＝8.5，x+y+2z＝13.5中并化简，可得：，①×6得：18y+12z＝102③，③﹣②得：7y＝21，解得：y＝3，把y＝3代入①得：9+2z＝17，解得：z＝4，∴原方程组的解为：，∵x＝3y，∴x＝9，∵m＝++，∴m＝＝＝4，∴m的平方根是：±2．20．解：①∵x2+3x+1＝0，∴x≠0，∴x+3+＝0，∴x+＝﹣3；②﹣＝﹣＝﹣＝|（x﹣1）+|﹣，∵x+＝﹣3，∴x＜0，∴x﹣1＜0，＜0，∴原式＝1﹣x++＝1﹣x+＝＝，∵x2+3x+1＝0，∴x2＝﹣3x﹣1，∴原式＝＝＝5．21．解：（1）＝＝＝＝．＝＝＝＝﹣3．（2）∵＝m2+5n2＝a+6．∴．∵m，n，a均为正整数．∴或．∴a＝1+45＝46或a＝9+5＝14．a＝46或14．22．解：（1）＝3，＝5．故答案为：3，5；（2）当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a．故答案为：a，﹣a；（3）由数轴可得x的取值范围为2＜x＜4，∴原式＝（x﹣2）﹣（x﹣4）＝2．23．解：（1）∵a+b，∴a+b＝m2+2mn+7n2（a，b，m，n均为整数），∴a＝m2+7n2，b＝2mn，故答案为：m2+7n2，2mn；（2）∵a+6，∴a+6＝m2+2nm+3n2（a，b，m，n均为整数），∴a＝m2+3n2，2mn＝6，∴mn＝3，①m＝1，n＝3，a＝28，②m＝3，n＝1，a＝12，综上所述：a＝28或12；（3）∵＝4﹣2×2×+3＝7﹣4，＝3+2+3＝5+2，∴＝＝2﹣，＝＝+，∴．24．解：原式＝（+）÷•（+）＝••（+）＝•（+）＝﹣当x＝3，y＝2时，原式＝﹣．答：原式的值为﹣．25．解：探究一、＞探究二、＝＝＝﹣；探究三、＝＝﹣，＝＝﹣，＝＝﹣，应用一、原式＝﹣1+﹣+•••+﹣＝﹣1＝10﹣9＝9；应用二、原式＝（﹣1+﹣+•••+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝2020﹣1＝2019；拓展一、原式＝+++•••+＝+++•••+＝；拓展二、原式＝|﹣1﹣（﹣）|+|﹣﹣（﹣）|+|﹣）﹣（﹣|+•••+|﹣﹣（﹣）|＝（﹣1）﹣（﹣）+（﹣）﹣（﹣）+（﹣）﹣（﹣）+⋯+（﹣）﹣（﹣）＝（﹣1）﹣（﹣）＝﹣1﹣+＝﹣+9，