初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系当堂达标检测题

这是一份初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系当堂达标检测题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知方程，则此方程（ ）
A．无实数根B．两根之和为C．两根之积为D．有一个根为
【答案】C
【分析】
A、根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=8>0，由此可得出该方程有两个不相等的实数根，即A选项不符合题意；B（C）、设方程的两个实数根分别为m、n，根据根与系数的关系即可得出m+n=-2、m•n=-1，由此即可得出B选项不符合题意、C选项符合题意；D、利用公式法求出方程的解，由此即可得出D选项不符合题意．综上即可得出结论．
【解析】
解：A.∵在方程中,
∴该方程有两个不相等的实数根，A选项不符合题意；
B、C,设方程的两个实数根分别为m、n，
∴m+n=−2，m⋅n=−1，
∴B选项不符合题意，C选项符合题意；
D. 利用公式法可知：
∴D选项不符合题意.
故选:C
【点睛】
考查根与系数的关系，解一元二次方程-公式法，根的判别式，比较基础，难度不大.
2．若，是方程的两根，则的值是（ ）
A．0B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】
先把化成一元二次方程的一般形式，然后根据根与系数的关系求解即可.
【解析】
∵，
∴，
∴=- .
故选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， .
3．已知方程x2﹣x﹣2=0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2+x1x2的值为（ ）
A．﹣3B．1C．3D．﹣1
【答案】D
【解析】
分析：根据一元二次方程根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2的值，然后代入x1＋x2＋x1x2计算即可.
详解：由题意得，a=1,b=-1,c=-2,
∴,,
∴x1＋x2＋x1x2=1+(-2)=-1.
故选D.
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1,x2为方程的两个根，则x1,x2与系数的关系式：， .
4．设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【答案】B
【解析】
∵x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣3．
∴．故选B．
考点：一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．
5．关于x的方程的两个相异实根均大于-1且小于3，那么k的取值范围是 （ ）
A．-1＜k＜0B．k＜0C．k＞3或k＜0D．k＞-1
【答案】A
【解析】
分析：令y=x2+2kx+3k，由题意可得当x=-1时，y>0；当x=3时，y＞0；∆>0 同时成立，由此求得k的取值范围．
详解：令y=x2+2kx+3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程y=0的解，
由图象可知，要使二根都在-1，3之间，
只需当x=-1时，y>0；当x=3时，y＞0；∆>0 同时成立，
∴
解得-1＜k<0，
故选A.
点睛：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式组的解法，依题意列出不等式组是解题的关键．
6．若、是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【解析】
这里a=1，b=-7，c=5，
由题意知，12=5，1+2=7，
则=
故选A
7．一元二次方程的两个根为，则的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】D
【分析】
利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．
【解析】
为一元二次方程的根，
，
．
根据题意得，，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
8．设x1，x2是方程的两实数根，则的值是（ ）
A．2015B．2016C．2017D．2018
【答案】C
【分析】
采用“降次”思想，将转化为，再利用根与系数的关系可得答案．
【解析】
∵x1，x2是方程的两实数根
∴x1+x2=1，
∴
∴
=
=
=2017
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式，以及采用降次思想进行转化是解题的关键．
9．若关于的方程的解中，仅有一个正数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据根的判别式和根与系数的关系即可求解．
【解析】
解：关于的方程的解中，仅有一个正数解，
，
解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到．
10．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】
设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．
【解析】
设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．
二、填空题
11．若方程 x2﹣5x﹣1=0 的两根为 x1，x2，则 x1·x2﹣x1﹣x2=___．
【答案】-6
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值，再代入计算即可；
【解析】
解：∵ 方程 x2﹣5x﹣1=0 的两根为 x1，x2，
∴x1+x2=5，x1x2=-1，
∴ x1·x2﹣x1﹣x2= x1·x2﹣（x1+x2）=-1-5=-6，
故答案为：-6.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=-，x1x2＝．
12．如果一元二次方程的两根互为相反数，那么m=______；如果两根互为倒数，那么n=______.
【答案】01
【解析】
∵一元二次方程的两根互为相反数，
∴，
∴m=0.
∵一元二次方程的两根互为倒数，
∴，
∴n=1
13．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，则2x12﹣8x1+x1x2＝___．
【答案】-3
【分析】
先根据一元二次方程根的定义得到x12﹣4x1＝﹣3，则原式＝2×（﹣3）+x1x2，再利用根与系数的关系得到x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】
解：∵x1为方程x2﹣4x+3＝0的根，
∴x12﹣4x1+3＝0，
∴x12﹣4x1＝﹣3，
∴2x12﹣8x1+x1x2＝2（x12﹣4x1）+x1x2＝2×（﹣3）+x1x2＝x1x2﹣6，
∵方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，
∴x1x2＝3，
∴原式＝3﹣6＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
14．关于x的方程的两个根是，且，则______．
【答案】
【分析】
先根据一元二次方程根与系数的关系得出．将整理为，即可求出．将代入方程，得到，即可求出p．
【解析】
由题意得．
，可整理为，
，
解得．
将代入方程，有，
解得，
故答案为：-16．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，求出β值是解题关键．
15．已知一元二次方程：2x2+5x+1=0的两个根分别是x1、x2 ， 则=________．
【答案】
【解析】
【分析】
依据一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-，x1·x2=，即可求出.
【解析】
因为2x2+5x+1=0，所有a=2、b=5、c=1，所以x1+x2=-，x1·x2=，有因为=x1x2（x1+x2），所以=-×=
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识是解的关键.
16．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则k的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
根据根与系数的关系结合判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解析】
原方程有两个实数根，
，
，
，
．
是原方程的两根，，
，
，
的取值范围是
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”，结合两根之和大于0，找出关于m的一元一次不等式．
17．已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为_____________
【答案】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【解析】
解：把x=-1代入得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a=.
∴a=-.
故答案为: -．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
18．设方程的两根为，则______．
【答案】
【分析】
把原方程整理成一般式，根据一元二次方程根与系数的关系求得，的值，代入即可求解．
【解析】
，
，
．
∵，，，
，
．
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．
19．已知，且，则化简_____．
【答案】
【分析】
由，即，且可知可看做方程的两不相等的实数根，继而知，且，将其代入到原式可得答案．
【解析】
解：，即，且
可看做方程的两不相等的实数根，
则
则原式
【点睛】
主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据满足的等式判断出可看做方程的两不相等的实数根且是解题的关键．
20．关于x的一元二次方程的两个实数根分别是 ，且，则的值是______．
【答案】4
【分析】
根据根与系数的关系结合x12+x22=4可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值,再代入求解即可．
【解析】
∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
即（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
解得k=﹣2或k=1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，即k≥0，
∴k=1，
∴x1•x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4.
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系公式是解决本题的关键.
21．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作，则的值为_________．
【答案】．
【分析】
由根与系数的关系得，所以，则，然后代入即可求解．
【解析】
由韦达定理得：，
原式，
∵
∴原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求解．
三、解答题
22．已知一元二次方程两个根为，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）8；（2）6
【分析】
（1）根据根与系数的关系得到，，把原式变形代入即可求解；
（2）根据得到，再把代入即可求解．
【解析】
，是的两个根
，，，
（1）
（2）．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根与系数的应用，解题的关键是熟知方程的根的定义及根与系数的关系．
23．己知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为与若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系表示出，，根据完全平方公式变形代入即可求解．
【解析】
（1）由得，
，
方程有实数根，
，解得；
（2）由根与系数的关系得，，
，
，，由（1）知，
应舍去，
．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的判别式与根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．
24．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，，若，求方程的两个根．
【答案】（1）见解析；（2）6或0
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式△＞0来证明即可；
（2）解方程即可得到结论．
【解析】
解：（1）∵△=（4m）2-4×1×（4m2-9）=16m2-16m2+36=36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x=2m±3，
∵x1=3−x2，
∴x1+x2=6，
∵x1+x2=4m，
∴4m=6，
∴m=，
∴x=2×±3，
∴x1=6，x2=0．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
25．是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义．解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：；
（2）己知关于x的方程是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程（a，b是常数，）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【答案】（1）不是差根方程；（2）；（3）
【分析】
（1）根据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据是“差根方程”，且，得到，从而得到；
（3）设，是一元二次方程，是常数，的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到．
【解析】
解：（1）设，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
方程不是差根方程；
（2），
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，即；
（3）设，是一元二次方程，是常数，的两个实数根，
，，
关于的方程，是常数，是“差根方程”，
，
，即，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
26．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式即可得证；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得的值，从而可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得．
【解析】
证明：（1）方程是关于的一元二次方程，
此方程根的判别式为，
，
，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）是方程的两个实数根，
，
，
，
解得，
即的值为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．
27．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）设方程的两根是，，得出，，代入，，求出其结果是，求出即可；
（2）得出，，把变形为，代入后得出，推出，求出即可．
【解析】
解：（1）证明：设方程的两根是，，
则，，
，
，
，
即这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2），
对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，
．
【点睛】
本题考查了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α1-2）（β1-2）结果的符号，解（2）小题的关键是找出所求的式子的计算规律，本题题型较好，但有一定的难度．
28．已知：，（＞）是一元二次方程的两个实数根，设，， …，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求，的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出，的值．
②猜想：当n≥3时，，，之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性．
(注：关于x的一元二次方程若有两根，则有)
【答案】①，；，；②，证明见解析
【分析】
①按照配方法的步骤对原方程进行求解即可得出，的值，然后结合根与系数的关系求出，的值即可；
②根据材料定义得和，然后联立求和即可推出结论．
【解析】
①移项，得，
配方，得，
即，
开平方，得，
即，
∴，．
于是，，．
②猜想：．
证明：根据根的定义，，
两边都乘以，得，①
同理，，②
①＋②，得，
∵，，，
∴，
即．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系以及新定义问题，理解材料给出的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
29．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．
又因为，所以关于的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为，则＝_____；＝________；
（2）方程的两个解中较大的一个为_______；
（3）关于的方程的两个解分别为，则＝_____，＝_____．
【答案】（1）－4，3；（2）3；（3）
【分析】
（1）根据定义得到p=，q=，然后代入即可求解；
（2）方程的两个解根据公式可以解出；
（3）要将原式构造成题目中的形式，首先将方程左右两端+1，将右端变形为，然后将当做题目中的x，整体代入求解，最后解两个一元一次方程即可．
【解析】
（1）由题意得：p=，q=
∵方程的解为
∴p=，q=；
（2）由题意得：，
∴，解得或3
∴当时，；当时，
∴较大的解为3
（3）∵
∴
∴
∴或
∴或
∵
∴．
【点睛】
此题涉及的知识点是分式的综合应用，解一元二次方程，整体代入法解方程，难度较大，解题时先搞清楚规律，把握已知的结论是解本题的关键．