第2章 一元二次方程 北师大版九年级数学上册单元测试(能力提升)及答案

这是一份第2章 一元二次方程 北师大版九年级数学上册单元测试(能力提升)及答案，共42页。
一元二次方程单元测试（能力提升）一、单选题1．若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　）A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定【答案】B【分析】由a﹣b+c＝0特点可知把x换成1成立，则可求得答案．【解析】解：∵a﹣b+c＝0，∴a×12﹣b×1+c＝0，∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1．故选：B．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的定义，熟知方程根的含义，观察出a、b、c的特点是解题的关键．2．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）A．n=0 B． n=0或mn同号C．n是m的整数倍 D．mn异号【答案】B【分析】首先求出x2的值为-，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．【解析】mx2+n=0，x2=-，∵x2≥0，∴-≥0，∴≤0，∴m、n异号，或n=0故选B．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．3．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先进行移项，然后把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．【解析】∵ax2+bx+c=0，∴ax2+bx=−c，∴x2+x=−，∴x2+x+=−+，∴(x+)2=.故选A.4．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（　　）A．x1、2= B．x1、2=C．x1、2= D．x1、2=【答案】D【解析】∵3x2+4=12x，∴3x2-12x+4=0，∴a=3，b=-12，c=4，∴，故选D.5．下面结论错误的是（）A．方程，则，B．方程有实根，则C．方程可配方得D．方程两根，【答案】A【分析】A、根据根与系数的关系和根的判别式即可得到结论；B、由根的判别式即可得到结论；C、把原方程配方后可得结果；D、解方程即可得到结论；【解析】解：A、方程x2+4x+5=0，∵△=42-4×5＜0，则方程无实数根，此选项错误；B、∵方程2x2-3x+m=0有实根，∴△=9-8m≥0，∴m≤，此选项正确；C、方程x2-8x+1=0可配方得（x-4）2=15，此选项正确；D、解方程x2+x-1=0得x1=，x2=，此选项正确；故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．6．九年级班美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，美术兴趣小组共送出个月饼，九年级班美术兴趣小组人数个数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】易得每个同学都要送给其他同学，等量关系为：小组的人数×（小组人数﹣1）=56，把相关数值代入计算即可．【解析】设该兴趣小组的人数为x人．根据题意得：x（x﹣1）=56解得：x1=8，x2=﹣7（不合题意，舍去）．故选B．【点睛】考查一元二次方程的应用．得到礼物总件数的等量关系是解决本题的关键．7．关于x的方程k2x2＋(2k-1)x+1 =0有实数根，则下列结论正确的是（）A．当k=时，方程的两根互为相反数 B．当k=0时，方程的根是x=-1C．若方程有实数根，则k≠0且k≤ D．若方程有实数根，则k≤【答案】D【分析】先讨论原方程是一元一次方程，还是一元二次方程，然后再根据k的取值范围解答即可．【解析】解：若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，∴△=（2k-1）2-4k2=-4k+1≥0，∴k≠0且k≤，即A错误；若k=0，则原方程为-x+1=0，所以方程有实数根为x=1，则B错误，C错误．故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．8．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（　　）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】根据方程的根及根与系数的关系得到x12﹣3x1+1＝0，x1+x2=3，x1x2=1，将其代入代数式计算即可．【解析】解：由题意得x12﹣3x1+1＝0，x1+x2=3，x1x2=1，∴x12+1=3x1，∴x12+3x2+x1x2+1=3x1+3x2+x1x2=3（x1+x2）+ x1x2==10，故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程的解，根与系数的关系式，求代数式的值，正确掌握根与系数的关系是解题的关键．9．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（）A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1【答案】D【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，又∵ab≠0，∴a−b−1＝0，即a＝b＋1，∴ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝−1，∴k＝−1，∵＝，∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，此时＞0，即；当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，此时＜0，即；故A、C错误；当时，即＞0，＞0，解得：a＞1或a＜0，故B错误；当时，即＜0，＜0，解得：0＜a＜1，故D正确故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（）A．2020 B． C．-2020 D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】∵，，a+c=0 ∴，∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一个根，∴是方程的一个根，∴是方程的一个根，即是方程的一个根故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．11．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（）A． B． C．2012 D．2011【答案】A【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．【解析】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012，又x1x2=（cd）2012-2012，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．故选：A．【点睛】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=．12．已知平行四边形的面积为12，且的长是方程的两个根．过点A作直线的垂线交于点E，过点A作直线的垂线交于点F，则的值为（）A．或 B．或C．或 D．或或【答案】B【分析】先求出一元二次方程的两个根即可求出AB和BC，根据平行四边形的性质即可求出CD和AD，然后根据∠A为锐角和钝角分类讨论，分别画出对应的图形，利用平行四边形的面积求出AE和AF，利用勾股定理求出BE和DF，即可求出结论．【解析】解：由得．，．四边形是平行四边形，．①如图（1），当∠A为锐角时，，．在中，．在中，，．②如图（2），当∠A为钝角时，，．在中，，在中，，．综上可得的值为或．故选B．【点睛】此题考查的是解一元二次方程，平行四边形的性质和勾股定理，掌握一元二次方程的解法、平行四边形的性质和勾股定理是解决此题的关键．二、填空题13．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．【答案】m=﹣1 ﹣2 ﹣4 3 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．【解析】解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0，解得m=1或﹣1且m≠1，所以，m=﹣1，m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，所以，此方程为，所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．若，是方程的两个实数根，则的值为________．【答案】【分析】根据方程的解得概念可得α2+2α=2015，由根与系数的关系可得α+β=-2，再代入α2+3α+β=α2+2α+α+β即可得．【解析】∵α，β是方程x2+2x-2015=0的两个实数根，∴α2+2α-2015=0，即α2+2α=2015，α+β=-2，则α2+3α+β=α2+2α+α+β=2015-2=2013.故答案为2013.【点睛】本题主要考查方程的解得概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键．15．已知一元二次方程，若方程有解，则________．【答案】【解析】∵原方程可化为：，∴要使原方程有解，的取值需满足：，由此解得：，即：若原方程有解，则.16．已知实数，满足，则的值为________．【答案】2.【解析】【分析】把看作是一个整体，假设,则原式可转化为，解方程可得(即)的值，注意为非负数.【解析】解：设，则：解得，因为，所以的值为2.【点睛】本题考查了换元法，把某个式子看成一个整体，然后用一个字母代替，进行等量代换。17．方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是_____．【答案】﹣9或11【解析】由题意可得：x4﹣2x2﹣400x=9999（x2+1）2=（2x+100）2①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100解得x=﹣9或x=11．②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，因此x的值应该是﹣9或11．故答案是：﹣9或11.【点睛】本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键．18．实数，，满足，，则的最大值是______．【答案】【分析】把x，y看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到z的取值范围，求出z的最大值．【解析】解：∵x＋y＝5−z，xy＝3−z(x＋y)＝3−z(5−z)＝z2−5z＋3，∴x、y是关于t的一元二次方程t2−(5−z)t＋z2−5z＋3＝0的两实根．∵△＝(5−z)2−4(z2−5z＋3)≥0，即3z2−10z−13≤0，(3z−13)(z＋1)≤0．∴−1≤z≤，当 x＝y＝时，z＝．故z的最大值为 ．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式求出z的取值范围，确定z的最大值．19．若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____．【答案】2【分析】关于一元二次方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a＜且a≠-1，再解分式方程得到，接着利用分式方程的解为整数得到a=0，2，-1，3，5，-3，然后确定满足条件的a的值，从而得到满足条件的所有整数a的和．【解析】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，解得a＜且a≠﹣1．把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，解得∵x≠﹣1，∴，解得a≠﹣3，∵ (a≠﹣3)为整数，∴a﹣1＝±1，±2，±4，∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，∴a的值为0，2，∴满足条件的所有整数a的和是2．故答案是：2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．20．我区某校举行冬季运动会，其中一个项目是乒乓球比赛，比赛为单循环制，即所有参赛选手彼此恰好比赛一场. 记分规则是：每场比赛胜者得3分、负者得0分、平局各得1分. 赛后统计，所有参赛者的得分总知为210分，且平局数不超过比赛总场数的，本次友谊赛共有参赛选手__________人.【答案】13【分析】所有场数中，设分出胜负有x场，平局y场，可知分出胜负的x场里，只有胜利一队即3分，总得分为3x；平局里两队各得1分，总得分为2y；所以有3x+2y=210．又根据“平局数不超过比赛场数的”可求出x与y之间的关系，进而得到满足的9组非负整数解．又设有a人参赛，每人要与其余的（a-1）人比赛，即共a（a-1）场，但这样每两人之间是比赛了两场的，所以单循环即场，即＝x+y，找出x与y的9组解中满足关于a的方程有正整数解，即求出a的值．【解析】设所有比赛中分出胜负的有x场，平局y场，得：由①得：2y=210-3x由②得：2y≤x∴210-3x≤x解得：x≥，∵x、y均为非负整数∴，，，……，设参赛选手有a人，得：＝x+y化简得：a2-a-2（x+y）=0∵此关于a的一元二次方程有正整数解∴△=1+8（x+y）必须为平方数由得：1+8×（54+24）=625，为25的平方∴解得：a1=-12（舍去），a2=13∴共参赛选手有13人．故答案为：13．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用．由于要求的参赛人数与条件给出的等量关系没有直接联系，故可大胆多设个未知数列方程或不等式，再逐步推导到要求的方向．21．方程  的解的个数为________．【答案】2【分析】用图象法求解，分别画出y=（x+2 ）（x+3 ）（x+6）（x+9）与y=3x2的图象，根据两图象的交点个数即可判断方程解的个数．【解析】y=（x+2 ）（x+3 ）（x+6）（x+9）与y=3x2的图象如图：由图象可知有两个交点，故解的个数为2．故答案为2．【点睛】本题考查了高次方程，难度较大，关键是先画出两个函数的大致图象进行求解．22．如图，在正方形中，，是对角线上的一点，连结，过点作交于点．和的面积分别为和，若，则的长为_____________．【答案】【分析】连接ED，过E作MN⊥BC于N，交AD于M，推出MN=CD=6，DM=CN，证明△CDE≌△CBE，得到ED=EB，∠EDC=∠EBC，再利用等腰三角形的性质证明ED=EF，DM=MF，说明△NEC是等腰直角三角形，设NE=NC=x，分别表示出S1和S2，根据2S1=3S2得到方程，解之即可得到CE．【解析】解：连接ED，过E作MN⊥BC于N，交AD于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠DAB=90°，∴∠1=∠2=45°，∵MN⊥BC，∴∠ENC=∠ENB=90°，∴四边形MNCD是矩形，∴MN=CD=6，DM=CN，∠DME=90°，在△CDE和△CBE中，，∴△CDE≌△CBE（SAS），∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，∵∠CDA=∠CBA=90°，∴∠CDA-∠EDC=∠CBA-∠EBC，即∠ADE=∠ABE，∵EF⊥BE，∴∠FEB=90°，∵∠FEB+∠DAB+∠AFE+∠ABE=360°，∴∠AFE+∠ABE=360°-∠FEB-∠DAB=180°，∵∠AFE+∠EFD=180°，∴∠ABE=∠EFD，∴∠ADE=∠EFD，∴ED=EF，∵∠DME=90°，∴EM⊥DF，∴DM=MF，在△NEC中，∠1=45°，∴△NEC是等腰直角三角形，设NE=NC=x，则CE=x，DM=MF=CN=x，∴AF=AD-DM-MF=6-2x，ME=MN-EN=6-x，∴，，∵，∴，解得：，（舍），∴CE=，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，知识点较多，有一定难度，解题的关键是利用特殊图形的性质得到线段之间的关系．三、解答题23．解方程：（1）x2﹣7x﹣18＝0 （2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣2；（2）x1＝3，x2＝1【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）把（2x﹣3）看成整体，利用因式分解法求解即可．【解析】解：（1）x2﹣7x﹣18＝0，（x﹣9）（x+2）＝0，∴x﹣9＝0或x+2＝0，∴x1＝9，x2＝﹣2；（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0，[（2x﹣3）﹣3][（2x﹣3）+1]＝0，∴（2x﹣3）﹣3＝0或（2x﹣3）+1＝0，∴x1＝3，x2＝1.【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程、解一元二次方程-因式分解法，准确计算是解题的关键．24．解下列方程：（1）（用配方法）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）直接利用配方法进行求解；（2）利用十字交叉相乘法求解；（3）利用十字交叉相乘法求解．【解析】解：（1），，，，，解得：；（2），，，解得：；（3），，，，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的常用方法，会根据不同情况选择合适的方法．25．已知关于的方程．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有一个根-1，求的值．【答案】（1）见解析；（2）1或-2【分析】（1）根据根的判别式即可证明；（2）把方程的根代入原方程即可求解．【解析】（1）证明：所以方程有两个不相等的实数根．（2）把代入原方程，得解得．【点睛】此题主要考查根的判别式与方程的根，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式特点及应用．26．为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“五一”小长假期间，各地游客纷纷来到重庆歌乐山烈士陵园瞻仰革命遗址．据统计，重庆歌乐山烈士陵园4月30日接待游客1.2万人次，5月2日接待游客2.7万人次．（1）求今年4月30日到5月2日，重庆歌乐山烈士陵园接待游客的日平均增长率；（2）由于暴雨天气，重庆歌乐山烈士陵园5月3日接待游客人次比5月2日减少了，5月4日天气放晴，接待游客人次比5月3日增加了6a%，又因假期即将结束，5月5日接待游客人次比5月4日减少了a%，即使这样，5月5日接待游客人次还是比4月30日增加了50%，求a的值．【答案】（1）50%；（2）10；【分析】（1）设日平均增长率为，找到等量关系即可；（2）求出5月3日接待游客人数，在求出5月4日接待游客人数，找到这三天的等量关系即可求a．【解析】设日平均增长率为∵∴∴（2）5月3日接待游客人数：5月4日接待游客人数：5月5日接待游客人数：∵∴．【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．27．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2+3＝0有两个实数根x1，x2（1）求实数a的取值范围（2）若等腰△ABC的三边长分别为x1，x2，6，求△ABC的周长（3）是否存在实数a，使x1，x2恰是一个边长为的菱形的两条对角线的长？若存在，求出这个菱形的面积；若不存在，说明理由．【答案】（1）a≥1；（2）14；（3）存在，4．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式求解即可；（2）首先分x1＝x2，当x1＝6或x2＝6两种情况讨论，之后再分情况代入求出a的值再求出对应的x的值进一步计算即可；（3）首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2（a+1），x1•x2＝a2+3，根据勾股定理建立方程，然后进一步变形代入计算出a的值，然后利用菱形面积等于对角线乘积一半求出面积即可.【解析】解：（1）根据题意得△＝4（a+1）2﹣4（a2+3）＝8a﹣8≥0， ∴a≥1；（2）①当等腰△ABC底边为6，x1＝x2时，△＝0，则a＝1，方程变形为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，而2+2＜6，不符合三角形三边的关系，舍去；②当等腰△ABC腰长为6，x1＝6或x2＝6时，把x＝6代入方程x2﹣2（a+1）x+a2+3＝0得36﹣12（a+1）+a2+3＝0，解得a1＝3，a2＝9，当a＝3时，方程化为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或6，三角形三边为6、6、2，则△ABC的周长为6+6+2＝14；当a＝9时，方程化为x2﹣20x+84＝0，解得x＝14或6，而6+6＜14，不符合三角形三边的关系，舍去；∴△ABC的周长为14；（3）存在．由题意得：x1+x2＝2（a+1），x1•x2＝a2+3，∵x12+x22＝（）2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝22，即4（a+1）2﹣2（a2+3）＝88，整理得a2+4a﹣45＝0，解得a1＝5，a2＝﹣9（舍去），当a＝5，方程化为x2﹣12x+28＝0，则x1•x2＝28，所以这个菱形的面积＝×28＝14．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.28．己知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）设方程的两实根分别为与若，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；（2）根据根与系数的关系表示出，，根据完全平方公式变形代入即可求解．【解析】（1）由得，，方程有实数根，，解得；（2）由根与系数的关系得，，，，，由（1）知，应舍去，．【点睛】此题主要考查一元二次方程的判别式与根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．29．如果关于 x 的一元二次方程 a+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程+x＝0 的两个根是＝0，＝﹣1，则方程+x＝0 是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①﹣x﹣6＝0；②2﹣2x+1＝0．（2）已知关于 x 的方程﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；（3）若关于 x 的方程 a+bx+1＝0（a、b 是常数，a＞0）是“邻根方程”，令 t＝8a-，试求 t 的最大值．【答案】（1）不是邻根方程；是邻根方程（2）或（3）【分析】（1）分别解出方程的根，令两根相减，根据邻根方程的定义进行判断即可得解；（2）解出方程的根，令两根差的绝对值等于，从而得到关于的方程，解方程即可；（3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简可得，整体代入再配方可得，即可确定的最大值．【解析】解：（1）①，∴，∵∴不符合邻根方程的定义∴不是邻根方程．②∵，，∴∴∴，∴∴符合邻根方程的定义∴是邻根方程．（2）∵关于的方程（是常数）是邻根方程∴解方程可得：，∴∴，∴或．（3）∵关于的方程（、是常数，）是邻根方程，设两个根为、∴∵，∴∴∴∴当时，．故答案是：（1）不是邻根方程；是邻根方程（2）或（3）【点睛】本题考查了解一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值的方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键．30．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设m＝，n＝，则原方程组可化为，解之得，即所以原方程组的解为．运用以上知识解决下列问题：（1）求值：＝　　．（2）方程组的解为　　．（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　　．（4）解方程组（5）已知关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），【分析】（1）设，代入原式化简即可得出结论；（2）设，将原方程组变形，求得，，进而求出原方程组的解；（3）设，展开后因式分解，再将代入即可得出结论；（4）将原方程组变形为，设，，解关于，的方程组，进而求得．的值；（5）将关于、的方程组，变为，利用关于、的方程组的解是，可得：，解这个方程组可得原方程组的解．【解析】解：（1）设，原式．故答案为：．（2）设，原方程组变为：．解得：．．解得：．经检验，是原方程组的解．故答案为：．（3）设，原式．故答案为：．（4）原方程组变形为：，设，，则．解得：．．．（5）将关于、的方程组整理得：．关于、的方程组的解是，．即：．解这个方程组得：，．原方程组的解为：，．【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程和分式方程组，因式分解，解二元一次方程组，有理数的混合运算，分式方程的解．利用换元法可使问题简单化，恰当的换元是解题的关键．31．（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：将两边同时乘以并移项，得到，两边再同时加上，得．请用这样的方法解方程：；（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：（从这里可以看出方程的解为，）即因为，所以、的平均数为，不妨设，，利用，得，所以，即能求出的值．举例如下：解一元二次方程，由于，所以方程的两个根为，而，解得，所以方程的解为，．请运用以上方法解如下方程①；②【答案】（1）；，；（2）①，；②，【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得到答案；将方程两边同时乘以12再加25，再利用完全平方公式将等号左边因式分解即可求解方程；（2）①根据例题直接求解即可；②先将方程两边同时除以二次项系数3，再仿照例题解方程．【解析】解：（1）∵，∴，故答案为：；，两边同时乘以12再加25，移项得：．．，；（2）①．．方程的两个根为，而，解得，，．②．两边同时除以3得：，．方程的两个根为，而解得，，．【点睛】此题考查特殊法解一元二次方程，掌握完全平方公式及因式分解的方法，正确理解题意，能仿照例题解方程是解题的关键．32．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值．【答案】（1）该小区有250套80平方米住宅；（2）的值为50.【分析】（1）设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程求解；（2）50平方米住宅有500×40%=200户参与活动一，80平方米住宅有250×20%=50户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为100（1- a%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1-a%）元，有50（1+6a%）户参与活动二.根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，列出方程求解即可.【解析】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套.由题意得知：解得答：该小区有250套80平方米住宅.（2）参与活动一： 50平方米住宅每户所交物管费为100元，有套参与活动一， 80平方米住宅每户所交物管费为160元，有套参与活动二，参与活动二： 50平方米住宅每户所交物管费为元，有套参与活动一； 80平方米住宅每户所交物管费为元，有50套参与活动二；由题意得：令.化简得：.解得：（舍去），（舍去）答：的值为50.【点睛】本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根据等量关系列出方程是解题的关键.33．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）设方程的两根是，，得出，，代入，，求出其结果是，求出即可；（2）得出，，把变形为，代入后得出，推出，求出即可．【解析】解：（1）证明：设方程的两根是，，则，，，，，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2），对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，．【点睛】本题考查了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α1-2）（β1-2）结果的符号，解（2）小题的关键是找出所求的式子的计算规律，本题题型较好，但有一定的难度．