第2章《一元二次方程》北师大版九年级数学上册单元能力提升卷(含解析)

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北师大版 数学 九上 第二章《一元二次方程》单元能力提升卷选择题（ 共30分）1.一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（     ）A． B． C． D．2．用配方法解方程，配方后的方程是（     ）A． B． C． D．3．一元二次方程的根的情况是（     ）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根4.已知x1，x2是方程x2-x-2022=0的两个实数根，则代数式x13-2022x1+x22的值是（　　）A．4045 B．4044 C．2022 D．15，在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝06.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．87.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则可以列出关于x的方程是（　　）A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．（x-1）（25﹣2x）=808．关于的方程的一个解为，则该方程的另一个解是（     ）A． B． C． D．9.已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 x1，x2 ，且 x12+x22=5 ，则k的值是（　　） A．－2 B．2 C．－1 D．110.已知方程 x2-2021x+1=0 的两根分别为 x1 ， x2 ，则 x12-2021x2 的值为（　　） A．1 B．-1 C．2021 D．-2021【答案】B填空题（共24分）11.如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.12.某次聚会，每两个人握手一次，总共握手次，那么有___________人参加聚会．13.某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为______．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．15.已知 m，n 是一元二次方程 x2-3x-2=0 的两个根，则 1m+1n=　 　． 16.关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22=316，则m=　 　．三．解答题（共66分）17.（6分）.按要求解方程：(1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2；(2)配方法：2x2-7x-4=0；(3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0；(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；(6)用配方法求最值：6x2-x-12．18.（8分）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？19.（8分）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？20.（10分）．已知关于x的一元二次方程(1)若1是该方程的一个根，求m的值．(2)若一元二次方程有实数根，求m的取值范围．21.（10分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣ ba ，x1•x2＝ ca .现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n.（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值.22.（12分）．水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．23.（12分）阅读理解：材料一：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca.材料二：已知实数m，n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求nm+mn的值.解：由题知m，n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料一得m+n=1，mn=-1，∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2-2mnmn=1+2-1=-3.解决问题：（1）已知实数s，t满足2s2-2s-1=0，2t2-2t-1=0，且s≠t，求s2t+st2的值；（2）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值.北师大版 数学 九上 第二章《一元二次方程》单元能力提升卷选择题（ 共30分）1.一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（     ）A． B． C． D．【答案】C解：∵，∴或， 故选C2．用配方法解方程，配方后的方程是（     ）A． B． C． D．【答案】A解：故选：A．3．一元二次方程的根的情况是（     ）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根【答案】B4.已知x1，x2是方程x2-x-2022=0的两个实数根，则代数式x13-2022x1+x22的值是（　　）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：解：∵x1，x2是方程x2-x-2022=0的两个实数根， ∴x12-2022=x1，x1x2=-2022，x1+x2=1x13-2022x1+x22=x1(x12-2022)+x22=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1-2×(-2022)=4045故答案为：A5，在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解： ∵ 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： (x+3)(x-1)=0， 即： x2+2x-3=0，∵ 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为： (x-5)(x+4)=0， 即： x2-x-20=0，从而正确的方程是： x2+2x-20=0，故答案为：B6.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设有x个班级参加比赛，12x(x-1)=15 ，x2-x-30=0 ，解得： x1=6，x2=-5 （舍），则共有6个班级参加比赛，故答案为：B.7.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则可以列出关于x的方程是（　　）A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．（x-1）（25﹣2x）=80答案A【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，然后根据花圃面积为80m2列关于x的一元一次方程即可．【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m由题意得：x（26-2x）=80．故答案为A．8．关于的方程的一个解为，则该方程的另一个解是（     ）A． B． C． D．【答案】A解：根据题意知：，∴关于的方程是一元二次方程，∴，∵关于的方程的一个解为，∴，故选：A．9.已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 x1，x2 ，且 x12+x22=5 ，则k的值是（　　） A．－2 B．2 C．－1 D．1【答案】D【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解： ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2-kx+k-3=0 的两个实数根分别为 x1 ， x2 ， ∴x1+x2=k ， x1x2=k-3 ，∵x12+x22=5 ，∴(x1+x2)2-2x1x2=5 ，∴k2-2(k-3)=5 ，整理得出： k2-2k+1=0 ，解得： k1=k2=1 ，故答案为：D.10.已知方程 x2-2021x+1=0 的两根分别为 x1 ， x2 ，则 x12-2021x2 的值为（　　） A．1 B．-1 C．2021 D．-2021【答案】B【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】∵方程 x2-2021x+1=0 的两根分别为 x1 ， x2 ， ∴x12-2021x1+1=0 ， x1⋅x2=1 ，∴x12=2021x1-1 ，∴x12-2021x2 = 2021x1-1-2021x2 = 2021x1⋅x2-x2x2-2021x2 = 2021×1-x2-2021x2 = -x2x2 =-1.故答案为：B.填空题（共24分）11.如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.答案 （12-x）（8-x）=77【详解】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.12.某次聚会，每两个人握手一次，总共握手次，那么有___________人参加聚会．【答案】解：设有x个人参加聚会，由题意可得，，解得：，（不符合题意舍去），故答案为：．13.某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为______．【答案】解：设平均每月的增长率为，由题意得，解得，（不合题意，舍去）所以平均每月的增长率为．故答案为：．14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．答案 1．【详解】解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm∵△PQC的面积为3cm2，∴，即，解得或（不合题意，舍去），∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．故答案为：115.已知 m，n 是一元二次方程 x2-3x-2=0 的两个根，则 1m+1n=　 　． 【答案】-32【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解： ∵m，n 是一元二次方程 x2-3x-2=0 的两个根， 根据根与系数的关系得： m+n=-ba=3 ， mn=ca=-2 ，∴1m+1n=m+nmn=-32 ，故答案为： -32 ．16.关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22=316，则m=　 　．【答案】-18【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=m2，∵x12+x22=316，∴（x1+x2）2-2x1x2=316，∴4m2-m=316，∴m1=-18，m2=38，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞12或m＜0，∴m=38不合题意，故答案为：-18．三．解答题（共66分）17.（6分）.按要求解方程：(1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2；(2)配方法：2x2-7x-4=0；(3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0；(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；(6)用配方法求最值：6x2-x-12．答案 (1)(2)(3)(4)(5)(6)时，有最小值18.（8分）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？【答案】解：设道路的宽应为x米，由题意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)答：道路的宽应为4米.19.（8分）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？【答案】解：设这种水果每千克降价 x(x>0) 元， 则每千克的利润为： (38-22-x) 元，销售量为： (160+40x) 千克，(16-x)(160+40x)=3640整理得，x2-12x-27=0(x-3)(x-9)=0∴x=3 或 x=9 ，∵ 要尽可能让顾客得到实惠，∴x=9即售价为 38-9=29 （元）答：这种水果的销售价为每千克29元．20.（10分）．已知关于x的一元二次方程(1)若1是该方程的一个根，求m的值．(2)若一元二次方程有实数根，求m的取值范围．解：（1将代入得，，解得，∴m的值为3；（2）由题意知，，，解得，∴m的取值范围为且．21.（10分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣ ba ，x1•x2＝ ca .现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n.（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值.【答案】（1）解：根据题意得2﹣4＝﹣ 2p ，2×（﹣4）＝ qp ， 所以p＝1，q＝﹣8（2）解：根据m+n＝﹣ 2p ＝﹣ 23 ，mn＝﹣ 13 ， 所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣ 23 ﹣ 13 ＝﹣1.22.（12分）．水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．解：设每千克盈利x元，可售y千克，设y=kx+b，则当x＝10时，y＝600，当x＝11时，y＝600﹣20＝580，由题意得，，解得．所以销量y与盈利x元之间的关系为y＝﹣20x+800，当x＝17时，y＝460，则每天的毛利润为17×460＝7820元；（2）解：设每千克盈利x元，由（1）可得销量为（﹣20x+800）千克，由题意得x（﹣20x+800）＝7500，解得：x1＝25，x2＝15，∵要使得顾客得到实惠，应选x＝15，∴每千克应涨价15﹣10＝5元；（3）解：设每千克盈利x元，由题意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝6000，解得：x1＝25，x2，则每千克应涨价25﹣10＝15元或10元．23.（12分）阅读理解：材料一：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca.材料二：已知实数m，n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求nm+mn的值.解：由题知m，n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料一得m+n=1，mn=-1，∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2-2mnmn=1+2-1=-3.解决问题：（1）已知实数s，t满足2s2-2s-1=0，2t2-2t-1=0，且s≠t，求s2t+st2的值；（2）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值.【答案】（1）解：∵s、t满足2s2-2s-1=0，2t2-2t-1=0，∴s、t可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，∴s+t=1，st=-12，∴s2t+st2=st(s+t)=-12×1=-12；（2）解：设t=2q，代入2q2=3q+1，化简为t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，∴p+2q=3，p•2q=-2，∴p2+4q2=(p+2q)2-2p·2q=32-2×(-2) =13.