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初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质随堂练习题
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这是一份初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质随堂练习题，文件包含专题123角的平分线的性质教师版docx、专题123角的平分线的性质学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
专题12.3 角的平分线的性质
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1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.
2. 探索并证明角的平分线的性质.
3. 掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解决简单的问题.
知识精讲
知识点01 角的平分线及其性质
知识点
1．尺规作角平分线
尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.
2. 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
【微点拨】
应用角平分线的性质定理所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
角平分线的性质定理的作用是证明线段相等.
【知识拓展1】角平分线的作法及应用
例1．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）.
【即学即练】
1．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
2.（2022·河南洛阳·八年级期末）学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法：
(1)同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的上，分别取．再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分．
(2)同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，，再以任意长为半径画弧与，交于点，，连接，交于点，连接，则平分．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．
【知识拓展2】角平分线的性质的运用
例2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【即学即练】
2.（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）如图，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8cm，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则△AED的周长是______cm．
【知识拓展3】角平分线的性质与等积法
例3．（2022·重庆·八年级课时练习）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于__________．
【即学即练】
3.（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为18，则△BOC的面积为（ ）
A．27 B．54 C． D．108
【知识拓展4】角平分线的性质与实际应用
例4．（2022·河南·八年级月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练】
4.（2022·山西吕梁市·八年级期中）如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到，，的距离相等，供水台应该选在（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线所在的直线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
知识点02 角平分线的判定
知识点
1. 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
定理的几何表述：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上.
图1 图2
2．三角形的内角平分线
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
已知如图2，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 则点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
【微点拨】
1、已知AD是三角形ABC的角平分线，则有:（证明思路：,）
2、已知：三角形ABC的角平分线交于一点P，则有：。
【知识拓展1】角平分线的判定（实际应用）
例1．（2021·广东清新·八年级期中）如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【即学即练】
1．（2022•夏津县八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【知识拓展2】角平分线的判定的运用
例2．（2021·安徽安庆市·八年级期末）如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）．
A．125° B．135° C．105° D．100°
【即学即练】
2.（2022·广东·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
【知识拓展3】角平分线的判定（证明）
例3．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．
(1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；(2)求证：点在的平分线上．
【即学即练】
3.（2022·江苏·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：PD＝PE＝PF；(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
能力拓展
考法01 角平分线的性质与全等
【典例1】（2021•盐田区校级期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
式1．（2022·广西南宁市·八年级期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
考法02 角平分线的性质与最值
【典例2】（2022•寿阳县八年级期末）如图，点在的平分线上，，于，点在上，且，若是上的动点，则的最小值是 ．
变式1．（2022•岐山县九年级二模）如图，在中，，的平分线交于点，，为上一动点，则的最小值为
A．2 B． C． D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·绵阳市·八年级期末）如图，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD C．OC＝OP D．∠CPO＝∠DPO
2．（2022·广东揭阳·八年级期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若，则∠BOC的度数为（ ）
A．150° B．120° C．110° D．100°
5. （2021·山东滨州市·八年级月考）如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A． B． C． D．
6．（2022·四川成都·八年级期末）已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若，则S△ADC＝_____（用m的代数式表示）．
7．（2021·湖北荆门·八年级期中）如图，AD平分∠BAO，D(0，－3)，AB＝10，则ABD的面积为____．
8．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB；垂足为E．求证：(1)CD=BE．(2)。
9.（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
10．（2022·湖北·荆州市八年级期中）如图（1），平分，于B，于C，易知：．
①探究：如图（2），平分，，，求证：．
②探究：如图（3）在四边形中，，，且，求证：平分．
题组B 能力提升练
1．（2022·吉林四平·八年级期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列四个结论正确的个数是（ ）
①PA=PB ②PO平分∠APB ③OA=OB ④OP垂直平分AB．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·河北·八年级课时练习）如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（ ）
A．24 B．27 C．32 D．36
3．（2022·北京·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②④ D．②③④
4．（2022·河南郑州·八年级期末）如图，分别平分的周长为18，，则的面积为（ ）
A．18 B．30 C．54 D．27
5．（2022·河南·八年级课时练习）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．
6．（2022·广西来宾·八年级期中）如图，AD是的角平分线，，，则的面积与的面积之比是______．
7．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则____________．
8．（2022·河南省实验中学八年级期末）已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，．
【思考说理】（1）求证：．
【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．
9．（2022·安徽合肥·八年级期末）图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E．(1)求证：DO平分∠ADC．(2)若点A的坐标是，求点B的坐标．
10．（2021·江苏徐州·八年级期中）在“延时课堂”数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角的角平分线．作法如下：如图①，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺0刻度的顶点P的射线OP就是∠AOB的角平分线．
（1）联系三角形全等的条件，通过证明△OMP≌△ONP，可知∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．则这两个三角形全等的依据是 ；
（2）在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图②所示，△CDE≌△STR，将全等三角形的一组对应边DE、TR分别放在∠AOB的两边OA、OB上，同时使这组对应边所对的顶点C、S分别落在OB、OA上，此时CE和SR的交点设为点Q，则射线OQ即为∠AOB的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由．
11．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．
求证：(1)AD平分∠BAC；(2)AC=AB+2BE.
题组C 培优拔尖练
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点
2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
3．（2022·山东济南·七年级期末）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC；⑤若AF＝2，则DE＝4．其中正确的有( )个
A．①②④ B．①②④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤
4．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图所示，点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，BC⊥AD于点D，则下列结论中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正确的序号是______________．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H．(1)证明：；(2)求的度数；(3)连接，求证：平分．
7．（2022·湖北武汉·八年级期末）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．
（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．
（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．
8．（2021·广东惠州·八年级期中）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）直接写出AB，CD与AC的关系 ．
9．（2022·吉林·长春市赫行实验学校八年级阶段练习）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
3．角平分线
回忆：我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图，是的角平分线，所示上的任意一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点．
求证：，请写出定理的证明过程．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，即可证明．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：如图②，在四边形中，，点在边上，平分，平分．
（1）求证：．
（2）若四边形的周长为24，，面积为30，则的边的高的长为_________．
专题12.3 角的平分线的性质
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1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.
2. 探索并证明角的平分线的性质.
3. 掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解决简单的问题.
知识精讲
知识点01 角的平分线及其性质
知识点
1．尺规作角平分线
尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.
2. 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
【微点拨】
应用角平分线的性质定理所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
角平分线的性质定理的作用是证明线段相等.
【知识拓展1】角平分线的作法及应用
例1．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）.
【即学即练】
1．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．有最小限制，无限制 B．的长
C．的长 D．连接，则垂直平分
2.（2022·河南洛阳·八年级期末）学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法：
(1)同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的上，分别取．再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分．
(2)同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，，再以任意长为半径画弧与，交于点，，连接，交于点，连接，则平分．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．
【知识拓展2】角平分线的性质的运用
例2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【即学即练】
2.（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）如图，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8cm，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则△AED的周长是______cm．
【知识拓展3】角平分线的性质与等积法
例3．（2022·重庆·八年级课时练习）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于__________．
【即学即练】
3.（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为18，则△BOC的面积为（ ）
A．27 B．54 C． D．108
【知识拓展4】角平分线的性质与实际应用
例4．（2022·河南·八年级月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练】
4.（2022·山西吕梁市·八年级期中）如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到，，的距离相等，供水台应该选在（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线所在的直线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
知识点02 角平分线的判定
知识点
1. 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
定理的几何表述：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上.
图1 图2
2．三角形的内角平分线
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
已知如图2，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 则点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
【微点拨】
1、已知AD是三角形ABC的角平分线，则有:（证明思路：,）
2、已知：三角形ABC的角平分线交于一点P，则有：。
【知识拓展1】角平分线的判定（实际应用）
例1．（2021·广东清新·八年级期中）如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【即学即练】
1．（2022•夏津县八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【知识拓展2】角平分线的判定的运用
例2．（2021·安徽安庆市·八年级期末）如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）．
A．125° B．135° C．105° D．100°
【即学即练】
2.（2022·广东·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
【知识拓展3】角平分线的判定（证明）
例3．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．
(1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；(2)求证：点在的平分线上．
【即学即练】
3.（2022·江苏·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
(1)求证：PD＝PE＝PF；(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
能力拓展
考法01 角平分线的性质与全等
【典例1】（2021•盐田区校级期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
式1．（2022·广西南宁市·八年级期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
考法02 角平分线的性质与最值
【典例2】（2022•寿阳县八年级期末）如图，点在的平分线上，，于，点在上，且，若是上的动点，则的最小值是 ．
变式1．（2022•岐山县九年级二模）如图，在中，，的平分线交于点，，为上一动点，则的最小值为
A．2 B． C． D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·绵阳市·八年级期末）如图，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD C．OC＝OP D．∠CPO＝∠DPO
2．（2022·广东揭阳·八年级期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若，则∠BOC的度数为（ ）
A．150° B．120° C．110° D．100°
5. （2021·山东滨州市·八年级月考）如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A． B． C． D．
6．（2022·四川成都·八年级期末）已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若，则S△ADC＝_____（用m的代数式表示）．
7．（2021·湖北荆门·八年级期中）如图，AD平分∠BAO，D(0，－3)，AB＝10，则ABD的面积为____．
8．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB；垂足为E．求证：(1)CD=BE．(2)。
9.（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
10．（2022·湖北·荆州市八年级期中）如图（1），平分，于B，于C，易知：．
①探究：如图（2），平分，，，求证：．
②探究：如图（3）在四边形中，，，且，求证：平分．
题组B 能力提升练
1．（2022·吉林四平·八年级期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列四个结论正确的个数是（ ）
①PA=PB ②PO平分∠APB ③OA=OB ④OP垂直平分AB．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·河北·八年级课时练习）如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（ ）
A．24 B．27 C．32 D．36
3．（2022·北京·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②④ D．②③④
4．（2022·河南郑州·八年级期末）如图，分别平分的周长为18，，则的面积为（ ）
A．18 B．30 C．54 D．27
5．（2022·河南·八年级课时练习）如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．
6．（2022·广西来宾·八年级期中）如图，AD是的角平分线，，，则的面积与的面积之比是______．
7．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则____________．
8．（2022·河南省实验中学八年级期末）已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，．
【思考说理】（1）求证：．
【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．
9．（2022·安徽合肥·八年级期末）图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E．(1)求证：DO平分∠ADC．(2)若点A的坐标是，求点B的坐标．
10．（2021·江苏徐州·八年级期中）在“延时课堂”数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角的角平分线．作法如下：如图①，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺0刻度的顶点P的射线OP就是∠AOB的角平分线．
（1）联系三角形全等的条件，通过证明△OMP≌△ONP，可知∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．则这两个三角形全等的依据是 ；
（2）在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图②所示，△CDE≌△STR，将全等三角形的一组对应边DE、TR分别放在∠AOB的两边OA、OB上，同时使这组对应边所对的顶点C、S分别落在OB、OA上，此时CE和SR的交点设为点Q，则射线OQ即为∠AOB的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由．
11．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．
求证：(1)AD平分∠BAC；(2)AC=AB+2BE.
题组C 培优拔尖练
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点
2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
3．（2022·山东济南·七年级期末）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC；⑤若AF＝2，则DE＝4．其中正确的有( )个
A．①②④ B．①②④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤
4．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图所示，点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，BC⊥AD于点D，则下列结论中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正确的序号是______________．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H．(1)证明：；(2)求的度数；(3)连接，求证：平分．
7．（2022·湖北武汉·八年级期末）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．
（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．
（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．
8．（2021·广东惠州·八年级期中）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）直接写出AB，CD与AC的关系 ．
9．（2022·吉林·长春市赫行实验学校八年级阶段练习）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
3．角平分线
回忆：我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图，是的角平分线，所示上的任意一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点．
求证：，请写出定理的证明过程．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，即可证明．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：如图②，在四边形中，，点在边上，平分，平分．
（1）求证：．
（2）若四边形的周长为24，，面积为30，则的边的高的长为_________．
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