四川省成都七中实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学（文）试题

这是一份四川省成都七中实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学（文）试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

成都七中实验学校高二（上）期中考试
文科数学试题
一、选择题：（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）

1．若方程表示圆，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2．直线与直线垂直，则的值是　　
A．－1或　　　　B．1或 C．－或－1 D．－或1
3．已知，则直线通过
A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限
C 第一、三、四象限 D 第二、三、四象限
4．下列四个命题中，其中真命题的是
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．两条直线可以确定一个平面
C．若
D．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内

5．与两条异面直线分别相交的两条直线
A．可能是平行直线　　 B．一定是异面直线
C．可能是相交直线　　 D．一定是相交直线

6.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为
A.96 B.136
C.152 D.192




7．已知圆：，： ，那么两圆的位置关系是
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
8.给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题，其中正确命题的个数是
（1）,点则与m不共面；
（2）是异面直线，且则；
（3）若则；
（4）若，则，
（5）若，，则

A．1个　　B．2个　 C．3个　　D．4个

9. 是圆上任意一点，若不等式恒成立，则c的取值范围是 A． B． C． D．

10．直线：与圆：的位置关系是　
A 相离 B 相切 C 相交 D 有公共点

11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
A. B. C. D.

12.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1＝A1E，则点P运动形成的图形是
A.线段 B.圆弧
C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分





二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）

13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中正确的是　　　　(只填序号).
①AD1∥BC1； ②平面AB1D1∥平面BDC1； ③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
14.把一个半径为5错误！未找到引用源。cm的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍,则这个圆锥的高为　　　　.
15．直线的倾斜角的范围是____ .
16．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为____ .

三．解答题：本大题满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．本小题满分(10分)
(1)求与直线垂直，且与原点的距离为6的直线方程；
(2)求经过直线：与：的交点，且平行于直线的直线方程．

18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACM；
(2)证明：AD⊥平面PAC.




19．(本小题满分12分)已知点 (0,5)及圆：.
(1)若直线过且被圆C截得的线段长为4，求的方程；
(2)求过点的圆的弦的中点的轨迹方程．

20.((本小题满分12分)如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
(1)求证:BC⊥A1D.
(2)求证:平面A1BC⊥平面A1BD.
(3)求三棱锥A1-BCD的体积.




21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，
AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．




22．(本小题满分12分)已知以点为圆心的圆与轴交于点O、A，与轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线与圆交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆的方程；
(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线：和圆上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．








成都七中实验学校高二（上）期中考试文科数学试题
答案
一、选择题：
1．A 2．D　3．C 4．C　5．C 6. C 7．C 8.C 9. B 10．D　 11．D　12. B

二、填空题：
13.:①②④ 14. 20cm 15． 16．
三．解答题：

17．本小题满分(10分)
(1)求与直线垂直，且与原点的距离为6的直线方程；
(2)求经过直线：与：的交点，且平行于直线的直线方程．
解　(1)设所求的直线方程为4x－3y＋c＝0.
由已知：＝6，解得c＝±30，
故所求的直线方程为4x－3y±30＝0.
(2)设所求的直线方程为
2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋λ－5＝0，
由已知－＝－，解得λ＝1.
故所求的直线方程为9x＋18y－4＝0.
18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACM；
(2)证明：AD⊥平面PAC.


解析　(1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.

(2)因为∠ADC＝45°，且
AD＝AC＝1，
所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，
AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

19．(本小题满分12分)已知点 (0,5)及圆：.
(1)若直线过且被圆C截得的线段长为4，求的方程；
(2)求过点的圆的弦的中点的轨迹方程．
【解析】　(1)解法一：如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，
在Rt△ACD中，可得CD＝2.
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式：
＝2，得k＝.
k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.

(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即·＝0，
(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

20.((本小题满分12分)如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
(1)求证:BC⊥A1D.
(2)求证:平面A1BC⊥平面A1BD.
(3)求三棱锥A1-BCD的体积.



【解析】(1)连接A1O,
因为A1在平面BCD上的射影O在CD上,
所以A1O⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,所以BC⊥A1O,
又BC⊥CO,A1O∩CO=O,
所以BC⊥平面A1CD,又A1D⊂平面A1CD,
所以BC⊥A1D.
(2)因为ABCD为矩形,所以A1D⊥A1B.由(1)知A1D⊥BC,A1B∩BC=B,
所以A1D⊥平面A1BC,又A1D⊂平面A1BD,
所以平面A1BC⊥平面A1BD.
(3)因为A1D⊥平面A1BC,所以A1D⊥A1C.
因为A1D=6,CD=10,所以A1C=8,
所以==××6=48.
故所求三棱锥A1-BCD的体积为48.

21．(本小题满分12分)(2011·北京理)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．


解析　(1)因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD＝O.
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0，)C(0，，0)，所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)．

设PB与AC所成角为θ，
则cosθ＝＝＝.
(3)由(2)知＝(－1，，0)．
设P(0，－，t)(t>0)，
则＝(－1，－，t)，
设平面PBC的一个法向量m＝(x，y，z)，
则·m＝0，·m＝0，
所以
令y＝，则x＝3，z＝.
所以m＝(3，，)．
同理，平面PDC的一个法向量n＝(－3，，)．
因为平面PBC⊥平面PDC，
所以m·n＝0，即－6＋＝0.
解得t＝，所以PA＝.
22．已知以点为圆心的圆与轴交于点O、A，与轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线与圆交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆的方程；
(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线：和圆上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

22．(1)证明　由题设知，圆C的方程为
(x－t)2＋2＝t2＋，
化简得x2－2tx＋y2－y＝0，
当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；
当x＝0时，y＝0或，则B，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．
(2)解　∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率
k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，
由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(3)解　点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′ (－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′| ＋|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上点Q的最短距离为
|B′C|－r＝－＝3－＝2.
所以|PB|＋|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.