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第02讲 集合的表示-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）
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这是一份第02讲 集合的表示-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册），文件包含第2讲集合的表示解析版docx、第2讲集合的表示原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
第2讲：集合的表示
【知识点梳理】
一、集合的表示
（1）列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法．
（2）描述法
一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．
（3）Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
【典型例题】
题型一：用列举法表示集合
【例1】（2022·全国·高一专题练习）集合用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的描述法得到集合的列举法.
【详解】
∵，
∴．
又，
∴．
故选：A
【例2】（2021·全国·高一课时练习）集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的描述法可得A中的代表元素为y，再结合满足条件即得，B中代表元素为结合满足的条件即得.
【详解】
由，，，知x可取的值为0，，，
当时，，当时，，当时，，
所以集合；
由题知集合B表示点集，
所以.
故答案为：，.
【例3】用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于的非负偶数组成的集合；
(2)小于的质数组成的集合；
(3)方程的实数根组成的集合；
(4)方程组的解集.
解：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，
所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，
所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3，
所以C＝{－1,3}．
(4)方程组的解为
所以方程组的解集D＝{(3,1)}．
【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）用列举法表示集合：为________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为且 ，所以只能是0，1，2，3，4 ；只能是4，3，2，1，0.用列举法写出即可.
【详解】
由题知：
=
故答案为：.
2.（2022·全国·高一专题练习）方程组的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出方程组的解，然后利用列举法表示集合即可．
【详解】
由得，
即方程组构成的集合为.
故选：D．
3.（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合，则用列举法表示集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标．
【详解】
∵，则可得，则
又∵，则当成立，当成立，
∴
故答案为：．
4.用列举法表示下列集合：
(1)方程的所有实数解组成的集合；
(2)直线与轴的交点所组成的集合；
(3)由所有正整数构成的集合．
解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．
5.下列命题中正确的（ ）
①与表示同一个集合；
②由组成的集合可表示为或；
③方程的所有解的集合可表示为；
④集合可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
【答案】C
【详解】
①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；
②符合集合中元素的无序性，正确；
③不符合集合中元素的互异性，错误；
④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．
故选：C.
题型二 用描述法表示集合
文字描述；式子描述
【例1】用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解组成的集合；
(2)被除余的正整数的集合；
(3)；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.
解：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．
【例2】（2021·全国·高一单元测试）所有正奇数组成的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据正奇数的定义得到集合.
【详解】
所有正奇数组成的集合是.
故答案为：.
【题型专练】
1.用描述法表示下列集合：
(1)比大又比小的实数组成的集合；
(2)不等式的所有解；
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．
解：(1)可以表示成{x∈R|1
(3)可以表示成{(x，y)|x±y＝0}．
2.（2021·全国·高一单元测试）所有正偶数组成的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据正偶数的定义得到集合.
【详解】
所有正偶数组成的集合是.
故答案为：.
3.（2022·江苏·高一专题练习）集合用描述法可表示为（ ）
A．是不大于9的非负奇数 B．且
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用描述法的定义逐一判断即可.
【详解】
对A，是不大于9的非负奇数表示的集合是，故A正确；
对B，且表示的集合是，故B正确；
对C，表示的集合是，故C错误；
对D，表示的集合是，故D错误.
故选：AB.
4.（2022·全国·高一）用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．
【答案】
【解析】
【分析】
用数学式子表示出自然语言即可．
【详解】
被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，
因此．
故答案为：．
5.（2022·全国·高一专题练习）集合是（ ）
A．第一象限的点集 B．第二象限的点集
C．第三象限的点集 D．第四象限的点集
【答案】C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质可得，进而判断出集合的意义．
【详解】
由，
故集合是第三象限的点集．
故选：C.
考点三：集合中元素个数
相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）
【例1】设集合，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．
故选：B．
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据为整数，分析所有可能的情况求解即可
【详解】
当时，，得，
当时，，得
当时，，得
即集合A中元素有9个，
故选：A．
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以中含6个元素．
故选：C.
【题型专练】
1.（2022·湖南衡阳·高二期末）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论取相同数和不同数时, 的取值即可得出答案.
【详解】
当取相同数时，；当取不同数时，的取值可能为1或2,
故中共有3个元素.
故选:B .
2.（2022·陕西·交大附中模拟（理））已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合描述的几何意义，列举出第一象限内符合要求的点坐标，即可知元素的个数.
【详解】
由题设，又，
由，则，
由，则，
由，则，
同理，均属于集合A，
所以第一象限中有13个点属于集合A.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出集合C的元素，可得答案.
【详解】
由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
4．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给定义求出集合，即可判断；
【详解】
解：因为，，所以，即集合B中的元素有，，，共4个，
故选：B．
5.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】
因为集合，，
所以集合，
故选：C
6.设集合，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
因为，所以当时，由可得：；
当时，由可得：；
当时，由可得：，
当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，
所以,
因此中元素的个数为5.
故选：C
考点四：根据元素个数求参
相同元素根据互异性，只能计算一个（主要考查互异性）
【例1】已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．
【答案】{0}∪[，+∞）．
【解析】
【分析】
分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．
【详解】
当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，
解得x，故成立；
当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，
解得；
综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．
故答案为：{0}∪[，+∞）．
【例3】已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【详解】
解：（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为二元一次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，
即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，
即中有一个或没有元素
当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
【题型专练】
1.已知集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
当时，，符合题意；
当时，若集合中有且只有一个元素，
则，解得；
所以实数的取值集合是.
故选：A．
2.式子的所有可能取值组成的集合为________.
【答案】
【详解】
因为，
所以，
当时，，
当时，，
所以式子的所有可能取值组成的集合为，
故答案为：
3.（2022·宁夏·银川一中高二期中（文））已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时集合，当时集合；
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；
（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．
(1)
解： 是空集，
且，
，解得，
的取值范围为：；
(2)
解：①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所求，当时集合，当时集合；
(3)
解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得时中至少有一个元素，即
考点五：集合新定义试题
【例1】设是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的，都有(除数)，则称是一个数域，例如有理数集是一个数域，有下列说法正确的是（ ）
A．数域必含有两个数；
B．整数集是数域；
C．若有理数集，则数集必为数域；
D．数域必为无限集．
【答案】AD
【详解】
数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；
因为1∈Z，2∈Z，，所以整数集不是数域，B不正确；
令数集，则，但，所以C不正确；
数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．
故选：AD
【例2】给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论：
①集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合、为闭集合，则为闭集合．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对于命题①，取，，则，则集合不是闭集合，①错误；
对于命题②，任取、，则存在、，使得，，
且，，所以，，，
所以，集合为闭集合，②正确；
对于命题③，若集合、为闭集合，取，，
则或，
取，，则，，
所以，集合不是闭集合，③错误.
因此，正确的结论个数为.
故选：B.
【题型专练】
1.已知集合中的元素均为整数，对于，如果且，那么称是的一个“孤立元”．给定集合，由中的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
答案：6
解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．
2.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是（ ）
A．整数集是数域
B．若有理数集，则数集必为数域
C．数域必为无限集
D．存在无穷多个数域
【答案】CD
【详解】
要满足对四种运算的封闭，逐个检验；
A.对除法如∉Z不满足，所以排除；
B.当有理数集增加一个元素得，而不属于集合，所以不是一个数域,排除；
C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确；
D.把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，所以正确.
故选:CD.
3.已知集合．
(1)若，则是否存在，使成立？
(2)对于任意，是否一定存在，使？证明你的结论．
解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.
第2讲：集合的表示
【知识点梳理】
一、集合的表示
（1）列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法．
（2）描述法
一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．
（3）Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
【典型例题】
题型一：用列举法表示集合
【例1】（2022·全国·高一专题练习）集合用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的描述法得到集合的列举法.
【详解】
∵，
∴．
又，
∴．
故选：A
【例2】（2021·全国·高一课时练习）集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的描述法可得A中的代表元素为y，再结合满足条件即得，B中代表元素为结合满足的条件即得.
【详解】
由，，，知x可取的值为0，，，
当时，，当时，，当时，，
所以集合；
由题知集合B表示点集，
所以.
故答案为：，.
【例3】用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于的非负偶数组成的集合；
(2)小于的质数组成的集合；
(3)方程的实数根组成的集合；
(4)方程组的解集.
解：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，
所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，
所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3，
所以C＝{－1,3}．
(4)方程组的解为
所以方程组的解集D＝{(3,1)}．
【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）用列举法表示集合：为________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为且 ，所以只能是0，1，2，3，4 ；只能是4，3，2，1，0.用列举法写出即可.
【详解】
由题知：
=
故答案为：.
2.（2022·全国·高一专题练习）方程组的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出方程组的解，然后利用列举法表示集合即可．
【详解】
由得，
即方程组构成的集合为.
故选：D．
3.（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合，则用列举法表示集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标．
【详解】
∵，则可得，则
又∵，则当成立，当成立，
∴
故答案为：．
4.用列举法表示下列集合：
(1)方程的所有实数解组成的集合；
(2)直线与轴的交点所组成的集合；
(3)由所有正整数构成的集合．
解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．
5.下列命题中正确的（ ）
①与表示同一个集合；
②由组成的集合可表示为或；
③方程的所有解的集合可表示为；
④集合可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
【答案】C
【详解】
①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；
②符合集合中元素的无序性，正确；
③不符合集合中元素的互异性，错误；
④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．
故选：C.
题型二 用描述法表示集合
文字描述；式子描述
【例1】用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解组成的集合；
(2)被除余的正整数的集合；
(3)；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.
解：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．
【例2】（2021·全国·高一单元测试）所有正奇数组成的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据正奇数的定义得到集合.
【详解】
所有正奇数组成的集合是.
故答案为：.
【题型专练】
1.用描述法表示下列集合：
(1)比大又比小的实数组成的集合；
(2)不等式的所有解；
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．
解：(1)可以表示成{x∈R|1
(3)可以表示成{(x，y)|x±y＝0}．
2.（2021·全国·高一单元测试）所有正偶数组成的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据正偶数的定义得到集合.
【详解】
所有正偶数组成的集合是.
故答案为：.
3.（2022·江苏·高一专题练习）集合用描述法可表示为（ ）
A．是不大于9的非负奇数 B．且
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用描述法的定义逐一判断即可.
【详解】
对A，是不大于9的非负奇数表示的集合是，故A正确；
对B，且表示的集合是，故B正确；
对C，表示的集合是，故C错误；
对D，表示的集合是，故D错误.
故选：AB.
4.（2022·全国·高一）用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．
【答案】
【解析】
【分析】
用数学式子表示出自然语言即可．
【详解】
被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，
因此．
故答案为：．
5.（2022·全国·高一专题练习）集合是（ ）
A．第一象限的点集 B．第二象限的点集
C．第三象限的点集 D．第四象限的点集
【答案】C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质可得，进而判断出集合的意义．
【详解】
由，
故集合是第三象限的点集．
故选：C.
考点三：集合中元素个数
相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）
【例1】设集合，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．
故选：B．
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据为整数，分析所有可能的情况求解即可
【详解】
当时，，得，
当时，，得
当时，，得
即集合A中元素有9个，
故选：A．
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以中含6个元素．
故选：C.
【题型专练】
1.（2022·湖南衡阳·高二期末）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论取相同数和不同数时, 的取值即可得出答案.
【详解】
当取相同数时，；当取不同数时，的取值可能为1或2,
故中共有3个元素.
故选:B .
2.（2022·陕西·交大附中模拟（理））已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合描述的几何意义，列举出第一象限内符合要求的点坐标，即可知元素的个数.
【详解】
由题设，又，
由，则，
由，则，
由，则，
同理，均属于集合A，
所以第一象限中有13个点属于集合A.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出集合C的元素，可得答案.
【详解】
由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
4．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给定义求出集合，即可判断；
【详解】
解：因为，，所以，即集合B中的元素有，，，共4个，
故选：B．
5.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】
因为集合，，
所以集合，
故选：C
6.设集合，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
因为，所以当时，由可得：；
当时，由可得：；
当时，由可得：，
当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，
所以,
因此中元素的个数为5.
故选：C
考点四：根据元素个数求参
相同元素根据互异性，只能计算一个（主要考查互异性）
【例1】已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．
【答案】{0}∪[，+∞）．
【解析】
【分析】
分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．
【详解】
当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，
解得x，故成立；
当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，
解得；
综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．
故答案为：{0}∪[，+∞）．
【例3】已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【详解】
解：（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为二元一次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，
即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，
即中有一个或没有元素
当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
【题型专练】
1.已知集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
当时，，符合题意；
当时，若集合中有且只有一个元素，
则，解得；
所以实数的取值集合是.
故选：A．
2.式子的所有可能取值组成的集合为________.
【答案】
【详解】
因为，
所以，
当时，，
当时，，
所以式子的所有可能取值组成的集合为，
故答案为：
3.（2022·宁夏·银川一中高二期中（文））已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时集合，当时集合；
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；
（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．
(1)
解： 是空集，
且，
，解得，
的取值范围为：；
(2)
解：①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所求，当时集合，当时集合；
(3)
解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得时中至少有一个元素，即
考点五：集合新定义试题
【例1】设是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的，都有(除数)，则称是一个数域，例如有理数集是一个数域，有下列说法正确的是（ ）
A．数域必含有两个数；
B．整数集是数域；
C．若有理数集，则数集必为数域；
D．数域必为无限集．
【答案】AD
【详解】
数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；
因为1∈Z，2∈Z，，所以整数集不是数域，B不正确；
令数集，则，但，所以C不正确；
数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．
故选：AD
【例2】给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论：
①集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合、为闭集合，则为闭集合．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对于命题①，取，，则，则集合不是闭集合，①错误；
对于命题②，任取、，则存在、，使得，，
且，，所以，，，
所以，集合为闭集合，②正确；
对于命题③，若集合、为闭集合，取，，
则或，
取，，则，，
所以，集合不是闭集合，③错误.
因此，正确的结论个数为.
故选：B.
【题型专练】
1.已知集合中的元素均为整数，对于，如果且，那么称是的一个“孤立元”．给定集合，由中的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
答案：6
解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．
2.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是（ ）
A．整数集是数域
B．若有理数集，则数集必为数域
C．数域必为无限集
D．存在无穷多个数域
【答案】CD
【详解】
要满足对四种运算的封闭，逐个检验；
A.对除法如∉Z不满足，所以排除；
B.当有理数集增加一个元素得，而不属于集合，所以不是一个数域,排除；
C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确；
D.把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，所以正确.
故选:CD.
3.已知集合．
(1)若，则是否存在，使成立？
(2)对于任意，是否一定存在，使？证明你的结论．
解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.
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