第一章 集合与常用逻辑用语（单元检测）-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第一章 集合与常用逻辑用语单元检测题
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（       ）
A．每个四边形的内角和都是 B．一元二次方程不总有实数根
C．有一个偶数是素数 D．有些三角形是直角三角形
【答案】A
【分析】根据全称量词命题和存在量词的命题的定义即可得到答案．
【详解】解：根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知，B，C，D是存在量词命题，A是全称量词命题．
故选：A．
2．（2020·四川·绵阳中学实验学校高三阶段练习（理））若集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定集合，再由并集的定义计算．
【详解】由已知
，
故选：C．
3．（2022·全国·高一单元测试）设全集，若，，则集合（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题可得，结合，即得.
【详解】因为全集，由，
得，又，
所以．
故选：D．
4．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若、是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】就5个命题逐个分析后可得正确的选项.
【详解】对于①，即为，故符合；
对于②，即为，故不符合；
对于③，结合图可得即为，故符合；


对于④，即为，故可得，但得不到，
故不符合；
对于⑤，因为是的必要不充分条件，故是的真子集，
这与不等价，
故五个命题中，与等价的有2个，
故选:B.
5．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））设集合，，，若点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据列不等式组，由此化简求得的最小值.
【详解】、，
由于，
所以，，
所以，即的最小值为.
故选：C
6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）命题“，”的否定为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即得.
【详解】全称命题的否定为特称命题,
“，”的否定为“，”.
故选：C.
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，分析可得，再根据并集定义求解．
【详解】
显然，即
∴
故选：C．
8．（2022·全国·高二课时练习）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（       ）
A．16 B．9 C．8 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，子集和不可以互换，从子集分类讨论，结合计数原理，即可求解.
【详解】由题意，对子集分类讨论：
当集合，集合可以是，共4种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共1种结果，
根据计数原理，可得共有种结果.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
二、多选题
9．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知集合，集合，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据已知条件及集合的含义，求出集合，再利用元素与集合的关系及交集与并集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，当，取相同数时，；当，取不同数时，的取值可能为1或2，所以，所以，，，．
故选：AC.
10．（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知是实数集，集合，，则下列说法正确的是（       ）
A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件
C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件
【答案】AD
【分析】
根据题意得到Ü，且Ü，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，集合，，
可得Ü，且Ü，
所以是的充分不必要条件，且是的必要不充分条件成立.
故选：AD.
11．（2022·重庆·高二期末）下列说法正确的是（       ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
【答案】BC
【分析】根据集合的性质依次判断即可.
【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；
对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；
对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；
对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.
故选：BC.
12．（2021·江苏江苏·高一阶段练习）设集合X是实数集R的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合X的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（       ）
A． B．
C． D．整数集Z
【答案】AC
【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断.
【详解】A.因为集合中的元素是极限为0的数列，所以对于任意，都存在，使得成立，所以0为集合的聚点，故正确；
B. 因为集合中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0大，所以对于时，不存在满足的x，所以0不为集合的聚点，故错误；
C. 对任意，都存在，使得成立，那所以0为集合的聚点，故正确；
D. 对任意，如，对任意的整数，都有或成立，不可能有成立，所以0不是集合整数集Z 的聚点，故错误；
故选：AC
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））满足的集合的个数为______________．
【答案】7
【分析】又题意可知集合中至少有2个元素，最多有4个元素.分别写出来即可.
【详解】∵
∴集合中至少有2个元素，最多有4个元素.
当集合中有2个元素时，集合可为：;
当集合中有3个元素时，集合可为：,,;
当集合中有4个元素时，集合可为：,,;
故答案为：7.
14．（2022·全国·高一课时练习）集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x≤3}，且，则实数a的取值范围为 _______．
【答案】（3，+∞）
【分析】根据并集，补集的定义和运算法则进行计算．
【详解】解：∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x≤3}，
∴＝{x|x＜1或x＞3}，
因为，
所以a＞3，
故答案为：（3，+∞）．
15．（2022·全国·高一专题练习）设集合，，又，求实数_____．
【答案】
【分析】根据得出或，再分类讨论得出实数m的值.
【详解】因为，
所以且，
若，即代入得，
不合题意；
若，即．
当时，，与集合元素的互异性矛盾；
当时，，，有符合题意；
综上所述， ．
故答案为：
16．（2022·福建·福州三中高一期末）集合有10个元素，设M的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则___________.
【答案】-1
【分析】分析可得M的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积，综合即可得答案.
【详解】集合M的所有非空子集为可以分成以下几种情况
①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积；
②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有个
③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有个
其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为0，
④只含元素-1的子集1个，满足，
综上：所有子集中元素乘积.
故答案为：-1
四、解答题
17．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，.
(1)求；
(2)定义，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)直接根据集合并集的定义进行求解；
(2)根据新定义，即元素属于集合M当不属于集合N，从而可求出所求.
(1)
，，
；
(2)
，，，
.
18．（2022·全国·高一专题练习）用列举法表示下列集合
(1)以内非负偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
【答案】(1)；
(2)
(3)

【分析】（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.
(1)
以内的非负偶数有 ，所以构成的集合为 ，
(2)
的根为 ，所以所有实数根组成的集合为 ，
(3)
联立和，解得 ，所以两个函数图象的交点为 ，构成的集合为
19．（2021·北京市第十二中学高一阶段练习）设集合，集合．
(1)若，求，；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）代入，得集合B，利用交集与并集的定义求解；
（2）由题意判断出，因为，故根据集合端点满足的条件列式求解即可.
(1)
因为，所以，所以，；
(2)
因为是成立的必要不充分条件，所以.又，故不为空集，故，得，
所以实数的取值范围.
20．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由题可得，解不等式组可得答案，
（2）利用交集的定义可得，进而可得，即求.
(1)
因为，
所以.
因为是的充分条件，
所以，
解得，
∴；
(2)
因为，，
所以，
解得.
故的取值范围为.
21．（2022·江苏·高一单元测试）（1）已知全集，集合={}，={}，求（分别用描述法和列举法表示结果）；
（2）已知全集，若集合，求集合；
（3）已知集合，当集合只有一个元素时，求实数的值，并求出这个元素.
【答案】（1），；（2）；（3），元素为.
【分析】（1）根据补集和交集的定义直接计算作答.
（2）利用补集的定义直接计算作答.
（3）利用元素与集合的关系推理计算作答.
【详解】（1）由，={}，
得：或，而，
所以.
（2）由，，得，
所以.
（3）当时，，不符合题意，
当时，因集合P只有一个元素，则方程有等根，，
此时，集合中的元素为，
所以，这个元素是.
22．（2021·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）设集合，，．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)且
(2)

【分析】（1）化简集合A,C，由知，建立方程求解即可；
（2）由，分两种情况讨论即可求解.
(1)
由，
当时，,不满足，
当时，，
，知，
，，则且，
综上，且；
(2)
，，
当时，即无解，，解得，
当时，由可得，解得，
综上，