第13讲 函数的单调性-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第13讲 函数的单调性
【知识点梳理】
函数单调性的定义：
如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。
单调性的定义的等价形式：
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数。
在是增函数。
复合函数单调性的判断。（同增异减）
函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.
即若在区间上递增（递减）且()；
若在区间上递递减且.().
5.在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。
6.函数在上单调递增；在上是单调递减。
7.复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性． 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下:
1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;
2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下:



增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作:
1．将复合函数分解成基本初等函数：，;
2．分别确定各个函数的定义域;
3．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．
注 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数;若为一增一减或一减一增，则为减函数．
题型目录：
题型一：用定义法证明函数单调性
题型二：抽象函数单调性的判断证明
题型三：函数单调性定义的理解
题型四：基本初等函数的单调性
题型五：函绝对值函数的单调性判断
题型六：已知函数的单调性求参数范围
题型七：分段函数的单调性求参数范围
题型八：复合函数单调性（同增异减）
题型九：抽象函数单调性解不等式
【典型例题】
题型一：用定义法证明函数单调性
证明函数单调性的步骤:
(1)取值:设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
(3)定号:判断差的正负或商与的大小关系；
(4)得出结论．
【例1】证明函数在（0，1）上是减函数。
【例2】（2021·湖北黄石·高一期中）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.
【题型专练】
1．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，且 .
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.
2.（2022·全国·高一专题练习）判断 在 的单调性.
3.（2022·贵州黔西·高一期末）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；
题型二：抽象函数单调性的判断证明
类型一：型
【例1】已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明；

【题型专练】
1.已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性。

2．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
类型二：型
【例1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有.
（1）试说明：函数是上的单调递减函数；
【题型专练】
1.已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性。
类型三：型
【例1】已知定义域为，对任意都有，且当时，.(1)试判断的单调性，并证明；
【题型专练】
1.已知定义域为，对任意都有，且当时，.
(1)试判断的单调性，并证明；
题型三：函数单调性定义的理解（注意对于任意字样）
【例1】下列命题正确的是（ ）
A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数
B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数
C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数
D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数
【题型专练】
1.（2021·河北·石家庄一中高一期中）给出下列命题，其中是错误命题的是（       ）
A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4].
B．函数的单调递减区间是
C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数.
D．、是在定义域内的任意两个值，且