第14讲 函数的奇偶性十大题型归类总结-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第14讲 函数的奇偶性十大题型归类总结
【知识点梳理】
1.关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数的定义域内任意一个：
⑴ 是偶函数；
⑵奇函数；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

2.函数的奇偶性的几个性质
①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
③可逆性：是偶函数；
是奇函数；
④等价性：；

⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3.函数奇偶性的几个重要结轮
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)，在它们的公共定义域上有下面的结论:






偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
(3)若奇函数的定义域包括，则．
(4)若函数是偶函数，则．
(7)定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
(8)若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇，
为偶函数．
4.函数的奇偶性的判断
利用奇、偶函数的定义，考查是否与、 相等，判断步骤如下：
①定义域是否关于原点对称；
②数量关系哪个成立；



【题型目录】
题型一：判断函数的奇偶性
题型二：抽象函数的奇偶性判断
题型三：奇偶函数的图像特征
题型四：已知函数奇偶性求参数
题型五：利用奇偶性求函数值
题型六：利用奇偶性求函数解析式
题型七：给出函数性质，写函数解析式
题型八：奇函数+常数模型（）
题型九：中值定理（求函数最大值最小值和问题）
题型十：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题
【典型例题】
题型一：判断函数的奇偶性
【例1】判断下列各函数是否具有奇偶性
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）；
（7） （8）

【例2】判断函数的奇偶性。

【例3】（1） （2）

（3） （4）

【例4】设是上的任意函数，下列叙述正确的是（　　）
是奇函数 是奇函数
是偶函数 是偶函数

【例5】（2022江苏高一单元测试）关于函数，描述不正确的是（       ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上是增函数 D．的图像关于原点对称
【题型专练】
1.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
2.（多选题）下列对函数奇偶性判断正确的是（ ）
A. 奇函数 B. 是奇函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数
3.设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减
4.(2022重庆巴川中学高一月考多选)已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
A. B. C. D.
5.（2022·全国·高一课时练习）下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（       ）
A． B． C． D．
题型二：抽象函数的奇偶性判断
【例1】（2022·山东青岛·高二期末多选题）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（       ）
A． B． C．是奇函数 D．若，则
【例2】（2021·全国·高一课时练习）（1）已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数．
（2）若函数的定义域为（），证明：是偶函数，是奇函数．

【例3】（2021·全国·高一期中）若对一切实数，，都有.
（1）求；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若，求.
【题型专练】
1.（2022·全国·高一单元测试）定义在上的函数是单调函数，满足，且，.
(1)求，；
(2)判断的奇偶性，并证明；
2.（2022全国·高一单元测试）定义在上的函数满足：对任意的，都有．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)若当时，有，求证：在上是减函数；
(3)在（2）的条件下，若，对所有，恒成立，求实数t的取值范围．
3.（2021·江苏·高一专题练习）设函数（，且）对任意非零实数，，恒有．
（1）求及的值；
（2）判断函数的奇偶性．


4.（2020礼嘉中学高一月考）已知是定义在上的函数，对都有，且当时，，且.
（1）求的值；
（2）求证：为奇函数；
（3）求在上的最值.

题型三：奇偶函数的图像特征
【例1】下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点
③偶函数的图象关于y轴对称
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)
A．1 B．2 C．3 D．4

【例2】（2022·全国·高三专题练习多选题）若是奇函数，则下列说法正确的是（       ）
A．一定是偶函数 B．一定是偶函数
C． D．

【例3】（2021·全国·高一课时练习）设奇函数的定义域为．若当时，的图像如图所示，则不等式的解集是_________．




【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）函数是奇函数，其图象上有一点，则函数的图象必过点（       ）
A． B． C． D．
2.（2021·全国·高一课时练习）设奇函数的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，的图象如图，则不等式＜0的解集是________.

3.（2021·全国·高一课时练习）若为R上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：已知函数奇偶性求参数
【例1】已知为奇函数，则________。

【例2】已知为偶函数，则 ________。

【例3】如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_____


【例4】已知为偶函数，则的单调递减区间为________。


【例5】（2022全国·高一单元测试）已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（       ）
A． B．在区间单调递增
C．的最小值为 D．的最大值为2
【题型专练】
1.（2021兴平市西郊高级中学高一期中）已知为偶函数，则在区间上为
A．增函数 B．增函数 C．先增后减 D．先减后增

2.（2021·全国·高一课时练习）已知是定义在区间上的偶函数，则______.

3．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.

4．（2021·全国·高一课时练习）若函数的图像关于y轴对称，则实数a的值是_______．

题型五：利用奇偶性求函数值
【例1】已知为奇函数，且当时，，则
【例2】已知函数是偶函数，且则
【例3】已知函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数，且，则（ ）
A． B． C．-3 D．

【例4】(2021•武侯模拟)设函数若是奇函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例5】（2021·全国·高一）函数为定义在上的奇函数，当时，，则（     ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.已知函数为偶函数，且当时，，则 ．

2.（2021•项城月考）已知函数是偶函数，是奇函数，则，则
A．4 B．3 C．2 D．1

3.已知函数与满足，且当在上为奇函数，，则

4.(2020•郴州三模)设函数，且函数为偶函数，则（ ）
A．6 B． C．2 D．

5．（2022江苏高一单元测试）已知定义在上的偶函数，满足时，，则的值为（       ）
A． B． C． D．

题型六：利用奇偶性求函数解析式
【例1】定义在上的函数满足，若当时，，则当时，= 。


【例2】已知函数在是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_______________

【例3】已知为偶函数，，求解析式？
【题型专练】
1.（2021·台州市书生中学高一开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________，在上的解析式为___________.

2.（2022全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）画出当时，函数图象；
（2）求出解析式.

题型七：给出函数性质，写函数解析式
【例1】（2021·北京·）已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②是偶函数；③在上是减函数，则的一个解析式是___________.
【例2】（2021·河南·温县第一高级中学（理））请写出一个同时满足以下三个条件的函数（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.则______.

【例3】（2022重庆巴蜀高三第一次月考）请写出一个同时满足下列三个条件的函数:
（1） 是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是
则________
【题型专练】
1.（2022·全国·高一单元测试）请写出一个同时满足下列三个条件的函数______.
（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的值域是.

2.（2022·全国·高一单元测试）若f（x）是R上的偶函数，且在（0，）上单调递减，则函数f（x）的解析式可以为f（x）=___________.（写出符合条件的一个即可）

题型八：奇函数+常数模型（）
【例1】已知且，求的值____
【例2】已知函数，且，则_________

【题型专练】
1.已知，则=

题型九：中值定理（求函数最大值最小值和问题）
【例1】已知的最大值,最小值为,求的值


【例2】设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=____



【题型专练】
1.（重庆二外高一上期末）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


2.（2022·全国·高一单元测试）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.

题型十：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题
【例1】（2022年重庆18中高一月考）已知定义在R上的奇函数，且为减函数，又知，则的取值范围为
A. B. C. D.

【例2】（重庆巴蜀中学高一）已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为_________

【例3】（重庆7中高一期中）已知函数，为定义在上奇函数且单调递减.若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

【例4】（2021·江苏·高一单元测试）函数满足，在（0，）上是单调递减函数，且f（2）=0，则的解集是（       ）
A． B．
C． D．

【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．


【题型专练】
1.（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））定义在R上的函数对任意都有，且函数的图象关于原点对称，若，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．

2.（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．
3.（2021·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

4.（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）设函数是奇函数，在内是增函数，又，则的解集是（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或

5.（2021·全国·高一课时练习）设函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则的解集为（       ）
A． B．
C． D．

6.（重庆九校高一月考） 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.

7.（巴蜀高一月考）已知定义在上的函数的图像经过点，且在区间单调递减，又知函数为偶函数，则关于的不等式的解为




8.设函数在上为增函数，，且为偶函数，则不等式的解集为 .

9.（2021·重庆市铁路中学校）已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增.若实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．


10.定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 .

11.若函数对于任意的，恒成立，则


12.已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意 ()，都有，若，则实数的取值范围是 (　　)
A． B． C. D．