第22讲 函数与方程8大题型总结-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
(2)零点存在性定理:
一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根.
(3)相关结论:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
2.二分法
(1)对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下:
①确定区间，验证，给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
a.若，则就是函数的零点;
b.若，则令(此时零点);
c.若，则令(此时零点).
④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或);
否则重复②③④.
3.二次函数图象与零点的关系
4.嵌套函数（复合函数零点问题）
在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套．
【题型目录】
题型一：求函数的零点
题型二：函数的零点区间
题型三：判断函数的零点个数
题型四：根据函数零点的存在情况求参数
题型五：二分法的应用
题型六：函数等高问题
题型七：函数零点和问题
题型八：函数应用模型
【典型例题】
题型一：求函数的零点
【例1】已知函数，则函数的零点为（ ）
A．B．，0C．D．0
【答案】 D
【解析】函数
当时，令，解得
当时，令，解得（舍去）综上函数的零点为0.故选：D.
题型二：函数的零点区间
【例1】（2022贵州省瓮安第二中学）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】因为是连续的减函数，
，
，，，
有，所以的零点所在的区间为．故选：C
【例2】（2022江西抚州·高一期末）已知a是函数的零点，则函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】由题意，a是函数的零点，即，解得，
所以函数，
又由在上是增函数，且，，
可得，
根据零点存在性定理，可得函数的零点所在的区间为.
故选：B.
【例3】（2022广东）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于函数在上是连续增函数，
由于，，所以
【例4】（2022全国高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为和在上是增函数，
所以在上是增函数，
所以只需即可，即，解得.故选：D．
【例5】若则函数的两个零点分别位于区间
和内 和内
和内 和内
【答案】A
【解析】因为，，
所以，故选：A．
【题型专练】
1.（2022湖北十堰市高三）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知在上是连续增函数，因为，，所以的零点所在的大致区间是.
故选：B
2．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出、、、的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.
【详解】由题意知：，，
，.
由零点存在定理可知在区间一定有零点.
故选：C.
题型三：判断函数的零点个数
【例1】（2022四川省成都市玉林中学高二期中（文））方程根的个数为（ ）
A．无穷多B．3C．1D．0
【答案】 C
【解析】方程可化为，设函数和，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为1个．故方程根的个数为1．故选：C．
【例2】函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】令可得，即，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为1个．故零点个数为1．故选：B．
【例3】（2022张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】函数，由，可得，作出和的图象，
由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.
【例4】若函数，函数的零点个数是___________.
【答案】 C
【解析】设可得，即，当时，，所以
在坐标系中作出函数的图象如图：
由图可知有两个根
当时，，所以，由图可知有两个根，所以函数的零点个数为4
【例5】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C
【解析】当时，令，可得，即
在坐标系中作出函数的图象如图：
由图可知有1个交点
又因为奇函数，所以当时，有一个零点，又因，所以一共有三个零点
【例6】已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
【答案】A
【解析】画出和的图像，如图所示
由图可知有10个交点
【例7】（2022年重庆二外高一上期末）奇函数f(x)、偶函数g(x)图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b等于( )
A 14B. 10C. 7D. 3
【答案】 B
【解析】对于方程，设，则，由图一知，当时，由图二知可取，当时，由图二知可取，当时，由图二知可取，一共有7个实根，所以
对于方程，设，则，由图二知，其中，，当时，由图一知无解，当时，由图一知可取，当时，由图一知无解，一共有3个实根，所以
综上可知
【题型专练】
1.（2020·云南）函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，所以函数零点的个数为方程
的根的个数，也即为两个函数，的图象交点的个数，
在坐标系中画出两个函数，的图象，
由图知：函数，的图象有个交点，所以函数零点的个数为，故选：D.
2.函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 D
【解析】当时，令可得，即，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为2个．故当时，零点个数为2个
当时，令可得，解得，符合题意
3.函数的零点个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【答案】 B
【解析】令可得，即，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为2个，零点个数为2个，故选：B
4.设函数,则函数的零点的个数为
A．4B．5C．6D．7
【答案】 C
【解析】令可得，即，
在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：
∴由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个，故选：C
5.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（ ）
A．方程有且仅有三个解
B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解
D．方程有且仅有一个解
【答案】AD
【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可.
【详解】由可得，
对于A，，结合图象可得，或，
结合的图象可得，，，各有一个解，即方程有且仅有三个解，A正确；
对于B，，结合图象可得，结合的图象可得， 有一个解，即方程有且仅有一个解，B错误；
对于C，，结合图象可得，或，又有3个解，，各有一个解，
即方程有且仅有五个解，C错误；
对于D，，结合图象可得，又有一个解，即方程有且仅有一个解，D正确.
故选：AD.
题型四：根据函数零点的存在情况求参数
【例1】（2022云南丽江·）已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作出函数的图象，
关于x的方程有四个实数根，则函数与有四个交点，则，故选：C.
【例2】（2022年重庆南开高一）已知函数，若方程有四个不同实数解，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】，画出的图像，如图所示
由图可知当时有一个根，所以只需有三个根即可，所以
【例3】定义域为的偶函数满足对，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，令得，所以，所以的周期为2，令，得，画出和的图像，如图所示
由图可知若函数在上至少有三个零点，只需且即可，所以
【例4】（2022年重庆巴蜀高一上）函数，若函数有6个不同零点，则的取值范围为（ ）
B. C. D.
【答案】D
【解析】令，得，设，则，画出的图像，如图所示
只需有三个零点且，所以
【例5】（2022年重庆巴蜀高一上）已知函数，，若存在唯一的整数，满足，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】画出和的图像，如图所示
若存在唯一的整数，满足，需或，即
，解得
【例6】设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得，设，则，画出的图像，如图所示
若关于的方程恰好有六个不同的实数解，即在内有两个不同得实数根，所以，解得
【题型专练】
1.（2022广东潮州·）已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是，
故选D．
2.（2022全国）已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．（0，1）D．
【答案】 C
【解析】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．故选：C．
3.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是
A．m≤－1B．－1≤m