第四章 指数函数与对数函数（单元检测）-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列出使函数有意义的不等式组，进而即得.
【详解】要使函数有意义，则,
解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
2．（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由即可求出，则可求出的值.
【详解】当时，，无解，
当时，，
所以，
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习）设，，则是（ ）
A．奇函数且在上单调递减B．偶函数且在上单调递减
C．奇函数且在上单调递减D．偶函数且在上单调递减
【答案】D
【分析】由，可知是偶函数，当时，，则在上单调递减，由此即可选出答案.
【详解】依题意，得，且，所以是偶函数．
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增．
故选：D.
4．（2022·全国·高一课时练习）设函数则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论：①当时和②当时，由单调性解不等式即可.
【详解】①当时，，此时，不合题意；
②当时，，可化为，所以，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：B．
5．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））已知函数是定义在上的偶函数，且当时，对任意的不相等实数总有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得函数当时为减函数，再根据偶函数的对称性，结合的大小关系判断即可
【详解】因为当时，对任意的不相等实数总有成立，故当时为减函数，又偶函数，且，，故，故
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性及单调性即得.
【详解】因为的定义域为R，
又，
所以函数是偶函数，
又函数在是增函数，
所以函数在是增函数，
由，可得．
所以.
故选：A．
7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 在上单调递减，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果.
【详解】因为函数 在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
故选：B
8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即可得选项.
【详解】由题意知函数，
令，则，
∴的定义域为，，∴函数为奇函数．
又，∴在上单调递增．
由，得，即，∴，
∴，即．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．定义域为（－1，4）B．最大值为2
C．最小值为－2D．单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】令，解不等式可判断A；在定义域内求出的值域，可求出的值域可判断B，C；根据复合函数的单调性可判断D.
【详解】令，得，
即函数的定义域为，故A正确；
∵，∴，
∴，故B错误，C正确；
令，则其在，上单调递增，在上单调递减，
又在（0，＋∞）上单调递减，
由复合函数的单调性得的单调递增区间为，
故D正确．
故选：ACD．
10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
【答案】AB
【分析】由已知，选项A可将图象上的点代入所给的函数关系中求解即可；选项B，利用求解出的函数解析式，令求解出浮萍蔓延的面积即可做出判断；选项C，分别求出浮萍和浮萍所对应的时间，然后作差与1.5比较大小即可；选项D，分别算出从第一个月开始，每个月增加的面积，通过比较即可做出判断.
【详解】由题意，函数图像满足的关系，由图象可知，当时，，
所以，解得，当时，，满足，
当时，，满足，故，选项A正确；
当时，，故浮萍蔓延的面积就会超过，选项B正确；
由题意，，所以，，所以，所以增加的时间为
，而，所以，故选项C错误；
由题意可知，当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以从第一个开始，每个月增加的面积分别为、、、，
所以增加的面积不相等，故选项D错误.
故选：AB.
11．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】BC
【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项.
【详解】函数的定义域满足 ，即，
即函数的定义域是，
∵，
设，则函数在单调递增，在单调递减，
又函数单调递增，
由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；
因为,,
所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；
又，，
所以，所以D错误．
故选：BC．
12．（2022·云南玉溪·高二期末）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A、D可依据待证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形式子进行推理判断；对于B，利用分析法来判断；对于C，观察式子结构特征，利用对数运算法则，将真数化为积的形式，利用基本不等式得出命题的真假.
【详解】对于A，，，且，
，即，
当且仅当时，等号成立，A正确；
同理对于D，，即，
当且仅当时，等号成立，D正确；
对于B，利用分析法：要证，只需证：，
即证，
，，且，
，，B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，C错误；
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（文））计算：__________
【答案】1
【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出．
【详解】原式＝．
故答案为：1．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.
【详解】当时，，解得，于是得：，
当时，，解得，于是得，
所以的解集为．
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若且，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】画出的图象如图：
∵，且，
∴且，，
∴，即，∴，，
由图象得在上为减函数，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
16．（2022·上海中学高一期末）若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）
【答案】
【分析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
【详解】在上严格增，所以 ，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为．
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·山东省滕州市第五中学高三阶段练习）（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则，进行运算求解；
（2）根据对数的运算法则，求解即可.
【详解】(1)原式；
(2)原式.
18．（2022·四川攀枝花·高一期末）已知函数，函数．
(1)求函数的值域；
(2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）化简后由对数函数的性质求解
（2）不等式恒成立，转化为最值问题求解
(1)．故的值域为．
(2)∵不等式对任意实数恒成立，∴．
．
令，∵，∴．
设，，当时，取得最小值，即．
∴，即
故的取值范围为
19．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)判断并证明在其定义域上的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增；证明见解析，(2)
【分析】（1）设，可整理得到，由此可得结论；
（2）利用奇偶性定义可证得为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为，由单调性可求得，由此可得的取值范围.
（1）在上单调递增，证明如下：
设，；
，，又，，，
在上单调递增.
（2），为上的奇函数，
由得：，
由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；
当时，，在上恒成立；
令，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，，，
即实数的取值范围为.
20．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可；
（2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.
（1）由的值域为R，可得能取内的一切值，故函数的图象与x轴有公共点，所以，解得或．故实数m的取值范围为．
（2）因为在内单调递增，所以在内单调递减且恒正，所以，解得．故实数m的取值范围为．
21．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数，为非零常数．
(1)当时，求的值；
(2)当时，试判断函数的单调性，并说明理由；
(3)当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)单调增函数，理由见解析，(3)
【分析】（1）将代入解析式，利用对数恒等式可求得函数值；
（2）利用函数单调性定义判断，解决该问题的关键是正确化简的式子，从而判断正负，得到函数的单调性；
（3）依题意不等式对恒成立，根据函数的单调性与奇偶性，将问题转化为对恒成立，则，解得即可．
(1)解：， ，，
时，的值为；
(2)解：函数在定义域上为单调增函数．
理由如下：时，对恒成立，函数的定义域为，
任取且，，，，

，，，，
，，，，，
函数在为单调增函数．
(3)解：当时， ，由（2）知函数在为单调增函数，
函数的定义域为，关于原点对称， 又
，
函数为上的奇函数，由不等式对恒成立得，
等价于 对恒成立，对恒成立，
对恒成立，解得 ．
实数的取值范围是 ．
22．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数（，）是奇函数.
(1)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设（，），若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据定义域为R及奇函数性质求参数t，可得的解析式并判断出单调性，根据，将不等式转化为在恒成立，即可求范围；
（2）先用表示函数，根据求得的解析式，根据单调性利用换元法求得的值域，结合对数的定义域求的范围，根据对数型复合函数的单调性判断在的取值范围内能否取到最大值0.
(1)由题设，，解得，故，
而，解得，
所以在R上单调递减且，
所以等价于，即，
所以在恒成立，整理可得，
由对勾函数的性质知：，所以.
(2)不存在实数，理由如下：
，
因为，代入得，解得或(舍)，
所以，易知在R上为单调递增函数，
令，当时，，
所以，
对于，在上恒成立，即在上，
令，，所以，即，
又，所以 ，
对于二次函数：开口向上且对称轴为，
所以对称轴位于的左侧，即在内单调递增，
所以，，
假设存在满足条件的实数且，则
当时，为减函数，，即，解得舍去，
当时，为增函数，，即，解得舍去，
综上，不存在实数满足条件成立.
【点睛】关键点点睛：
（1）由奇函数性质求出参数t，再由，将问题转化为在恒成立；
（2）根据已知条件求出解析式并求出值域，结合对数函数的性质：在上求m的范围，最后讨论m的范围，利用二次函数、对数复合函数的单调性判断m的存在性.