第24讲 三角函数概念及定义5种题型总结-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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知识点一：三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
记忆口诀 INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET :三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
【题型目录】
题型一：与角终边相同的角的集合的表示
题型二：判断等分角的象限问题
题型三：扇形的弧长、面积公式的计算
题型四：任意角三角函数的定义
题型五：三角函数值的正负判断
【典例例题】
题型一：与角终边相同的角的集合的表示
【例1】（2022·全国·高一课时练习）将－1485°化成的形式是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2022·陕西渭南·高一期末）与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例4】（2022·河南南阳·高一期末）已知角，则角的终边落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例5】（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【例6】（2022·全国·高三专题练习（多选题））如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【例7】（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角
B．若，则为第一或第二象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．三角形的内角是第一或第二象限角
【例8】（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022·河南安阳·高一期末）把表示成，的形式，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）下列各角中，与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）
4.（2022·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
5.（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
6．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）的角化为角度制的结果为_______．
7.（2022·全国·高三专题练习（多选题））下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全国·高一课时练习）若，，则角与角的终边一定（ ）
A．重合B．关于原点对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
10．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A．B．C．D．
题型二：判断等分角的象限问题
【例1】（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
【例2】（2022·江西上饶·高一阶段练习多选）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角D．是第三或第四象限角
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）
A．sinB．csC．sin 2θD．cs 2θ
3.（2022·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
题型三：扇形的弧长、面积公式的计算
【例1】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知扇形的圆心角为，弦长，则扇形的弧长等于（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．
【例5】（2022·全国·高一课时练习多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
【题型专练】
1．（2022·上海市松江二中高一期末）已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________.
2.（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1B．4C．2D．3
3.（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
6.（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.
7.（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
题型四：任意角三角函数的定义
【例1】（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数的图象恒过定点，若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且点在角的终边上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
【题型专练】
1.（2022·陕西渭南·高一期末）已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．－2
3.（2022·江苏省如皋中学高一期末多选）已知函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）
A．2B．3C．D．
4.（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边上有一点，且，则m的值为______．
5.（2023·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆的交点为P，则＝______．
题型五：三角函数值的正负判断
【例1】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例2】（2022·全国·高一课时练习）若角是第四象限角，则______．
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ在第二象限，且，则角在（ ）
A．第一象限或第三象限
B．第二象限或第四象限
C．第三象限
D．第四象限
【例4】（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）
A．B．C．D．
【例5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角满足，，则在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例6】（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点在第三象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022河南开封·高一期末）已知点在第三象限，则角在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.（2022全国高一课时练习）在中，A为钝角，则点（ ）
A．在第一象限B．在第二象限
C．在第三象限D．在第四象限
4.（2021·全国高一课时练习）“角是第一或第三象限角”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.（2022·全国·高三专题练习）如果，且，则的化简为_____.
6.（2022·浙江·模拟预测）已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－