第26讲 三角函数的图象与性质-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第26讲 三角函数的图象与性质
【题型目录】
题型一：五点法作图
题型二：解三角不等式
题型三：求三角函数的周期
题型四：三角函数对称性
题型五：三角函数的奇偶性
题型六：三角函数的单调性
题型七：三角函数的值域
【典例例题】
题型一：五点法作图
【例1】（2022上海高一课时练习）用五点法作下列函数的图象：
（1）；
（2）．
【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析.
【解析】(1)列表：
x


0


y=sinx
0
-1
0
1
0
描点，连线，画图如下：

(2)列表：
x
0




y=cosx
1
0
-1
0
1






描点，连线，画图如下：


【例2】（2022·全国·高一单元测试）已知函数．

用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像
【答案】作图见解析
【分析】通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出草图，
【详解】列表：

0













1
2
0

0
1
描点，连线，画出在上的大致图像如图：

【例3】（2023·全国·高三专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】答案见解析
【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出；
（2）作出图象，根据图象观察即可解出；
（3）作出图象，根据图象观察即可解出．
【详解】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.

（2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.

（3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.


【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)画出函数在上的图象.
(2)这个函数是周期函数吗？若是，求出最小正周期；若不是，请说明理由.
(3)指出函数的单调区间.
【答案】(1)答案见解析
(2)是周期函数，最小正周期为
(3)单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）去绝对值化简函数，即可画出函数在上的图象；
（2）由图象可以得到函数的最小正周期；
（3）由图象可以得到函数的单调区间；
（1）.
函数在上的图象如下：

（2）由图象，可知该函数是周期函数，最小正周期为.
（3）由图象，可知单调递增区间为，
单调递减区间为.
【例5】（2022·四川·成都外国语学校高一开学考试）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：


















请根据上表数据，求函数的解析式；
【答案】；

【分析】由表格中的数据可得出的值，根据表格中的数据可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出函数的解析式；
(1)解：由表格数据知，，由，解得，
所以.
【题型专练】
1.小赵同学用“五点法”画函数，（，）在某一个周期内的图象，列表并填入了部分数据，如表：

0



2







0
2
0
－2
0
请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式．
【答案】表格见解析，.
【分析】根据正弦函数的图象即得；
【详解】表中数据补充完整为：

0



2







0
2
0
－2
0
由表格可得.
2.（2022江苏·高一单元测试）作出函数，的大致图像．
【答案】图见解析
【分析】将其表示为分段函数的形式，再画出图象即可.
【详解】函数，
其图如下所示：


3．（2022上海·高一课时练习）分别作出函数和的图像．
【答案】见解析
【分析】利用函数图像的翻折变换可作图．
【详解】的图像为将在轴下方的图像沿轴翻折所得；
的图像为在轴右方的图像不变，再将轴右方的图像沿轴翻折所得，故有：
       
【点睛】本题主要考查了根据绝对值有关的函数图像翻折问题，属于基础题.
4．（2022·河南南阳·高一期末）与图中曲线对应的函数可能是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断各选项中函数在区间或上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；
对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；
对于C选项，当时，，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
当时，，D选项满足条件.
故选：D.
题型二：解三角不等式
【例1】（2023全国高一课时练习）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，函数图象如下所示：

，不等式的解集为：．故选：．
【例2】（2023江西新余高三专题训练）已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】的定义域是，故由可得，
解得，

因此，函数的定义域为.
故选：A.
【例3】（2022全国高一专训练）若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】在上，，因此在上，的解是，．
故选：C．
【例4】（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的对称性，得到的取值情况，原不等式等价于或，根据正弦函数的性质，分别求出的取值范围，即可得解；
【详解】解：因为为偶函数，所以函数图象关于轴对称，
由图可得时，时，时；
又当时，时，时，时，
不等式等价于或，
所以或或，即不等式的解集为；
故选：A
【例5】（2021·全国高一课时练习）函数的定义域是________.
【答案】
【解析】由得，
作出的图象和直线，

由图象可知的解集为，
故答案为：.
【题型专练】
1.（2022陕西省洛南中学高一月考）在上，满足的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出和在的函数图象，
根据函数图象可得满足的的取值范围为.
故选：C.

2.（2022银川三沙源上游学校高一月考（理））函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
解得．
所以函数的定义域是.
3.（2022上海高一专题练习）利用图象，不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】函数图象如下所示：


令，则，解得；
令，则，解得，
因为，所以，即原不等式的解集为，
故答案为：.
4．（2022·陕西省安康中学高一期末）函数的定义域为_______________．
【答案】
【分析】由题可知，解不等式即可得出原函数的定义域.
【详解】对于函数，有，
即，解得，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
题型三： 求三角函数的周期
【例1】（2023全国高三专题训练）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，最小正周期，故错误；
对于B，最小正周期，故正确；
对于C，最小正周期，故错误；
对于D，最小正周期，故错误.
故选：B
【例2】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小正周期为的函数的个数是（       ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】结合函数的图像与性质逐项分析即可.
【详解】对于①，由正弦函数的图像和性质可知其周期为；对于②，，其周期；对于③，其周期为；对于④，，其周期．所以共有2个函数的周期为．
故选：B．
【例3】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
但不是周期函数，排除①；

②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期是，②正确；

③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期为，③正确；

④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④.

故选：B.
【例4】设函数，则的最小正周期(　　)
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【解析】因的最小正周期为，的最小正周期为
所以当时，的最小正周期为；当时，的最小正周期为；
【例5】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））函数的最小正周期为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由周期求出，从而可求出，进而可求出.
【详解】因为函数的最小正周期为，，所以，
得，
所以．
故选：A
【题型专练】
1.（2023全国高三题型专练）在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【解析】∵=，∴==；
图象是将=在轴下方的图象对称翻折到轴上方得到，
所以周期为，由周期公式知，为，为，故选：C.
2.（2022上海市进才中学高一期中）已知函数的最小正周期为，则_____.
【答案】
【解析】因为函数的最小正周期为，所以，所以.故答案为：
3.（2022全国）若函数的周期不大于1，则正整数k的最小值为___________．
【答案】19
【解析】因为函数的周期不大于1，所以，解得，
所以正整数k的最小值为19，故答案为：19
4.（2022江苏·苏州市吴中区苏苑高级中学高一阶段练习）函数的最小正周期为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出的周期，进一步利用的周期为的周期的一半求出结论．
【详解】函数的周期为：
由于的周期为的周期的一半.
所以的周期为：
故选：A
5．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是（       ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】由的最小正周期为 直接可得结论.
【详解】因为，
所以函数的最小正周期．
故选：C
题型四：三角函数对称性
【例1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列直线中，函数的对称轴是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的性质可得对称轴方程为且，进而判断各项是否为对称轴即可.
【详解】
令且，则对称轴方程为且，
显然时对称轴为，不存在有对称轴为、、.
故选：B.
【例2】（2022全国高一课时练习）函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】D
【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，，
当时，，易知C错误，D正确；故选：D
【例3】(2023江西省高三月考)若函数 (ω∈N+)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】当时，，即，，
解得，，故当时，取最小值.
【例4】（2020·江苏卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】
【解析】

当时
故答案为：
【例5】【2017·天津卷】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，
由得，故选A．
【例6】（2022·陕西省商洛中学高一期末）已知函数的图象关于直线对称，则___________．
【答案】##
【分析】代入满足余弦函数对称轴的表达式，再根据求解即可
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以．
故答案为：
【题型专练】
1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数则函数的图象的对称轴方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知，，令，得.故选：C.
2.【2018·江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】
【解析】由题意可得，所以，
因为，所以
3.（2022北京高一期中）设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的最小正周期为，所以，解得
所以，所以当时，，不是函数的对称轴，故错误；
当时，，是函数的对称轴，故正确；
当时，，不是函数的对称轴，故错误；
当时，，不是函数的对称轴，故错误；
故选：B
4.（2023奉新县第一中学）函数图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正弦函数的对称轴为 ，求函数的对称轴，即令，解得：，当时，，是其中一条对称轴，所以D选项正确
故选：D
5.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.
6.（2022山东威海·高一期末）如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，则，解得，
∴当时，的最小值为.
故选：B
7.（2022全国高一）函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，可得．
所以当时，，故满足条件，
当时，，故满足条件；故选：D
8．（2023山西省高三其他（文））已知的图象关于直线对称，把的图象向左平移个单位后所得的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的图象向左平移个单位后所得的图象关于点对称，
所以关于点对称，
又的图象既关于直线对称，
设的最小正周期为，则，
即，
所以，取，得，
题型五：三角函数的奇偶性
【例1】（2022上海高一）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】四个函数的最小正周期都是，
是奇函数，
是偶函数，
，时，，函数图象不过原点，也不关于轴对称，既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数．故选：A．
【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数，，，，下列说法错误的是（       ）
A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心
B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴
C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴
D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心
【答案】D
【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，如下图所示：

由图可知，函数不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心，A对；
对于B选项，如下图所示：

由图可知，是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴，B对；
对于C选项，如下图所示：

由图可知，不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C对；
对于D选项，如下图所示：

由图可知，函数是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错.
故选：D.
【例3】（2022全国高一课时练习）已知函数是奇函数，当时的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】函数是奇函数，故，对照选项只有k =0时，选项B符合题意故选：B
【例4】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（       ）
A．最小正周期为 B．奇函数
C．偶函数 D．
【答案】D
【分析】根据平移变换和周期变换的原则求出函数，再根据余弦函数的性质及诱导公式逐一判断各个选项即可.
【详解】解：把函数的图象向右平移个单位长度，
得，
再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，
得，即，
则最小正周期为，故A错误；
因为，所以函数是非奇非偶函数，故BC错误；
，故D正确.
故选：D.
【例5】（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））下列函数中为奇函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义对选项一一判断即可．
【详解】对A，由，不是奇函数；
对B，由，不是奇函数；
对C，由，不是奇函数；
对D，由，又的定义域为关于原点对称，所以D正确．
故选：D
【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数平移关系求出，再由的对称性，即得.
【详解】由题可知图象关于原点对称，
所以，因为，
所以．
故选：C.
【例7】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则下列等式正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据余弦函数的奇偶性，对称中心即可选出答案.
【详解】由，则，故A正确，B错误；
令，，得，，即对称中心为，C选项描述的对称中心为，故C正确，令，，得，，即为对称轴，而D选项描述的对称轴是，故D错误.
故选：AC.
【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用余弦函数的性质，结合已知函数性质写出满足要求的函数解析式即可.
【详解】由余弦函数性质知：为偶函数且为常数，
又最小正周期为3，则，即，
所以满足要求.
故答案为：(答案不唯一)
【例9】（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①；②的函数______（注：不是常数函数）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的周期性以及特殊值求得正确答案.
【详解】由知函数以为周期，又，
所以满足条件．
（其他符合题意的答案均可，如，等．）
故答案为：（答案不唯一）
【题型专练】
1．（湖北省新高考协作体2023学年高三上学期起点考试数学试题）如果函数是奇函数，则的值为______.
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值.
【详解】函数是奇函数，
，即，
或恒成立，
解得：，
又，.
故答案为：.
2.（2022上海市实验学校高一期中）函数（ ）
A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数；
C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
因为的图象将的图象在轴左边的去掉，轴右边的关于对称后与轴右边的共同组成的图象，如图所示，不具有周期性，故选：D

3.（2021·广东（多选））下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图象是由的图象在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图象共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，

对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，故选：AC
4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据周期求，根据平移可得，根据为偶函数，满足即可求解.
【详解】，∴
∵函数为偶函数，∴，即
∵，∴
故选:C
5.（2022长宁·上海市延安中学高一期中）已知函数是偶函数，若，则_________
【答案】
【解析】因为函数是偶函数，，
又， 故答案为：
6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数______．
【答案】
【解析】因为函数的周期为，所以函数的周期为1.
故答案为：.（答案不唯一）
7.（2023全国·高一专题练习）下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用三角函数图象，结合奇偶性和周期性，即可得出结果.
【详解】解：①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
但不是周期函数，排除①；

②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期是，②正确；

③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期为，③正确；

④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④.

故选：B.
8．（2022·河南·高二开学考试）将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是______．
【答案】
【分析】利用三角函数的图像变换以及奇偶性的性质求解.
【详解】由题意，得，
因为为偶函数，所以，，
解得，，又，
所以当时，取得最小值．
故答案为：.
9．（2022·江西上饶·高一阶段练习）函数的图象关于原点对称，则的最大负值为______．
【答案】
【分析】利用三角函数的奇偶性，诱导公式，得出结论．
【详解】函数的图象关于原点对称，
，，
令，可得的最大负值为，
故答案为：．
题型六：三角函数的单调性
【例1】（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．为偶函数 B．在单调递减
C．的最小正周期为 D．在有且仅有2个零点
【答案】ACD
【分析】对于A：代入整理结合诱导公式得即可判断；对于C：代入；对于B、D：先求的范围，结合正弦函数图像理解判断．
【详解】是偶函数，A正确；
的最小正周期，C正确；
∵，则，显然正弦函数在不是递增函数，B不正确；
∵，则，正弦函数在有且仅有2个零点，D正确；
故选：ACD．
【例2】（2022长宁·上海市延安中学高一期中）函数单调减区间为_________
【答案】
【解析】正弦函数的单调递减区间为，
由，得，
记，则，故答案为：.
【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由单调性判断出A选项，由奇偶性判断B选项，C选项可画出函数图象进行判断，D选项，先判断出的最小正周期，单调性及奇偶性，进而作出判断.
【详解】在上不单调，故A错误；
为奇函数，故B错误；
图象如下图：

故最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，故C正确；
最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，则也是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.
【例4】（2022上海高一期中）函数的单调递增区间为________
【答案】，
【解析】由，，
解得，，
故函数的单调增区间为，，
【例5】（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）函数的单调增区间为________．
【答案】 ，
【分析】整体法求解函数单调区间.
【详解】设，的大致图象如图所示，函数的周期是π.

当，时，函数递增．即，解得：，，所以函数的单调递增区间是，.
故答案为：，.
【题型专练】
1．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）设函数，则（       ）
A．在区间上是单调递减的 B．是周期为的周期函数
C．在区间上是单调递增的 D．对称中心为，
【答案】A
【分析】先当时，，又是偶函数，由此可判断命题的真假.
【详解】当时，，在上是单调递减的，故A正确；
是偶函数，无周期性，故B错误；
是偶函数，在单调递减，故C错误；
是偶函数，无对称中心，故D错误；
故选：A
故选：CD
2.（2022上海杨浦·复旦附中高一期中）函数的单调递增区间为_________
【答案】
【解析】，所以，
解得，所以单调递增区间为
故答案为：
3.（2022六盘山高级中学）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的单调递增区间为，
所以，解得，
所以函数的单调增区间为.故选：B
4.（2022镇雄县第四中学高一月考）已知函数.则函数的单调递减区间是___________.
【答案】
【解析】∵的减区间是，
∴，
得出，
∴的递减区间是.
故答案为：

5.（2021·北京海淀·）下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A，，，
由余弦函数的单调递增区间可得，
解得，当时，，故A正确；
B，，，
由余弦函数的单调递增区间可得，
解得，显然在区间上不单调，故B错误；
C，，，故C错误；
D，，，故D错误；故选：A
6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数，给出下列结论：
①的一个周期为
②的图象关于直线对称
③的图象关于点对称
④在单调递减
其中所有正确结论的编号是( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【解析】对于①， ，故①正确；
对于②，时，，函数取得最大值，故②正确；
对于③，时，，故③正确；
对于④，，当时，，函数取得最小值，
在有增有减，故④不正确.故选：C．
题型七：三角函数的值域
【例1】（2022全国高一课时练习）函数的最大值为________．
【答案】
【详解】令，则可得，函数化为，
当时，.故答案为：.

【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是__________．
【答案】##-0.25
【解析】
【详解】
=，
所以当 时，有最大值．
故答案为.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得,令,
可得,利用二次函数的性质可求f(x)的最大值．
【详解】
解:,
令,可得,
当时,y取得最大值为,
故答案为:．
【例4】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高一期中）函数在区间上的值域是___________．
【答案】
【解析】当时，，
∴，故，
即的值域为.
故答案为：.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平移先得出的解析式，由题意的值中一个为1，另一个为，结合，即可进行求解．
【详解】试题分析：向右平移个单位后，得到，
又，由，
所以的值中一个为1，另一个为
则不妨设
则，，，则，
又，所以，
故选： D．
【例6】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用正弦函数的图象和性质，求出，结合五点法作图，即可求出.
【详解】由题意知，函数的最小正周期为，
因为函数在上单调，且恒成立，
所以，即，解得，
又是函数的最大值点，是函数的最小值点，
由五点法作图可知，，解得.
故选：B.
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过换元，转化为二次函数求最小值问题.
【详解】
令，则，所以，
所以当，即时，函数取最小值.
故答案为：.
2.（2022上海徐汇·位育中学高一期中）函数的值域为________．
【答案】
【解析】设，则，

，
当时，；当时，；
因此，函数的值域是，．
故答案为：，．

3.【2018·北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，ω取最小值为.
4.【2018·全国Ⅲ】函数在的零点个数为________．
【答案】
【解析】，，由题可知，或，解得，或，故有3个零点.
5.（2022上海市奉贤中学高一期中）函数在区间上的 最小值是，则的最大值为________．
【答案】
【解析】函数
若在区间，上的最小值为，
则由，
解得，
又，
，
故答案为：．
6.(2023陕西省定边高三)已知函数，则函数的值域为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，则，所以，
故，故选：B.
7.（2021·北京四中）已知函数，若不等式在区间上有解，则的最小值为______.
【答案】
【解析】∵函数，若不等式在区间上有解，
∴≥1在区间上有解，
即当时，≥1能成立
∵，∴，∴则m的最小值为.
故答案为: .