期中模拟测试 （范围：第一至三章）-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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期中测试
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
2．命题：，的否定为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】，的否定为：，，
故选：D
3．已知集合，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求集合A，由函数定义域求集合B，最后应用集合交运算求结果.
【详解】由，
，
所以.
故选：C
4．如果，那么下列不等式中一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质逐一分析即可.
【详解】A.当时满足，但此时，故A选项错误；
B.当时满足，但此时，故B选项错误；
C.当时满足，但此时，故C选项错误；
D.由得：，即，故D选项正确.
故选：D.
5．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））若函数的定义域为，则的范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，可得，再分类讨论求解作答.
【详解】依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，
所以的范围是.
故选：A
6．（2022·辽宁营口·高二期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用基本不等式，求出 的最小值即可.
【详解】 ，当且仅当 时等号成立，
， ，当且仅当 时等号成立，
；
故选：B.
7．（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（       ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，
所以当或时，，当时，．
所以等价于或 ，
解得或，所以不等式的解集为，
故选：B．
8．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断的大小，即可判断出答案.
【详解】依题意，，，，
即，所以函数在上单调递增．
又，，所以函数是R上的偶函数，
所以,则有，所以，
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2022·全国·高一单元测试）图中阴影部分所表示的集合是（       ）


A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据Venn图，由集合运算的概念，即可得出结果.
【详解】阴影部分所表示的集合中的元素属于N，不属于M，故其表示集合或．
故选:AC．
10．（2022·全国·高一课时练习）若“，”真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据假命题的否定为真命题可知“，”是真命题，又“，是真命题，求出命题成立的条件，进而求交集即可知M满足的条件．
【详解】∵“，”为假命题，
∴“，”为真命题，可得，
又“，”为真命题，可得，
所以，
故选：AB．
11．（2022·全国·高一课时练习）已知，，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以A正确，
对于B，因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误，
对于C，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确，
对于D，因为，，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确，
故选：ACD
12．（2022·山东德州·高二期末）对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：，，则下列命题中的真命题是（       ）
A．，
B．，
C．函数的值域为［0，1）
D．方程有两个实数根
【答案】BCD
【分析】根据高斯函数的定义逐个分析判断即可
【详解】对于A，当时，，所以A错误，
对于B，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以B正确，
对于C，由选项B可知，所以，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以，所以函数的值域为［0，1），所以C正确，
对于D，由，得，令，则方程的解转化为两函数图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，由图象可知两函数图象只有两个交点，所以方程有两个实数根，所以D正确，

故选：BCD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·广西玉林·高二期末（文））集合，则M的子集个数为___________.
【答案】4
【分析】根据题意解出M，进而求出子集的个数.
【详解】，则M的子集个数为.
故答案为：4.
14．（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意可得函数在为减函数，且再写出即可.
【详解】因为对任意，都有，所以函数在上减函数.又，故函数可以为.（注：满足题目条件的函数表达式均可.）
故答案为：（答案不唯一）
15．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知实数a､b满足，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以，
即，即，当且仅当，
即，时取等号，
故的最大值为.
故答案为：
16．（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一期中）已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据分段函数的两段都单调递增，时最大值小于或等于时的下界列不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】当时，对称轴为，
因为函数在上是增函数，
则，解得，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，集合，集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)若，，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，由，得到，由此能求出a的值，再注意检验即可；
（2）求出集合，由，，得，由此能求出a，最后同样要注意检验．
（1）
因为集合，
集合，且，
所以，所以，即，
解得或．
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
综上，实数a的值为．
（2）
因为，，
，且，，
所以，
所以，即，解得或．
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
综上，实数a的值为．
18．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）设集合， ．
(1)当m=4时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式可得到集合A,B,根据集合的交集运算即可求得答案；
（2）由题意可推得，分类讨论，确定集合B，列出不等式，可求得实数m的取值范围．
（1）
由解得．∴．
当m＝4时，,
∴．
（2）
∵，∴．
即．
当时，m＝－1,符合题意；
当时，若，，则 ,
显然，不符合题意；
若，即，则,
∵，∴，解得,∴．
综上，实数m的取值范围为 ．
19．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）定义一种新的集合运算：,且．
若集合 ， ，．
(1)求集合M；
(2)设不等式的解集为P，若是的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）解不等式求得集合A,B，根据集合新定义即可求得答案;
（2）由是的必要条件可得，分类讨论，列出不等式组，求得实数a的取值范围.
（1）
由题意解不等式得： ，
解,即，得 ，
故， ，
故 且
或 ，
（2）
若是的必要条件，则．
①当即时，，则 ，即；
②当即时，，则 ，即；
③当2a=2-a即时，，此时不满足条件，
综上，所求实数a的取值范围为或．
20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式：.
【答案】(1)；
(2)函数在上单调递增，证明见解析；
(3).

【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
（2）
证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）
解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
21．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）武清政府为增加农民收入，根据本区区域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器维修等原因，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.
(1)求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；
(2)求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值.
【答案】(1)；
(2)加工（吨），利润的最大值6万元.

【分析】（1）根据已知条件及投入成本函数，讨论、对应利润函数式，即可得其分段函数形式；
（2）分别求出不同分段上的最值，并比较大小，即可得结果.
（1）
当时，.
当时，.
故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式为：
.
（2）
当时，，
所以时，取得最大值5万元；
当时，因为，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取得最大值6万元，
因为，故当时，取得最大值6万元.
22．（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）设函数对任意，都有，且当时，.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：为减函数，
(3)若，试求关于的不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）利用特殊值求出的值，进而令，则有，然后由奇函数的定义可得结论，
（2）设，分析可得，再由单调性的定义可得结论，
（2）由已知可得，所以不等式可转化为，再由函数的单调性可得，从而可求出结果
(1)
证明：因为函数对任意，都有，
所以令，则，得，
令，则有，
所以，即，
所以为奇函数
(2)
证明：设，则，而时，有，则
，
所以，
所以为减函数
(3)
因为为奇函数，，所以，
所以，
所以，
所以不等式可转化为
，
因为为减函数，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为