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江西省抚州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷
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这是一份江西省抚州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省抚州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 珍爱生命，遵守交通规则，下列标志既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. 禁止掉头 B. 禁止车辆长时间停放
C. 环岛行驶 D. 立交直行和左转行驶
2. 若xmy D. x2>y2
3. 某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是( )
A. 50° B. 60° C. 65° D. 80°
4. 下列因式分解正确的是( )
A. 2-8a2=2(1+2a)(1-2a) B. x2+4y2=(x+2y)2
C. a2-b2=(a-b)2 D. x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
5. 如图，直线y=kx+b交x轴于点A(-2,0)，直线y=mx+n交x轴于点B(5,0)，这两条线相交于点C(1,p)，则不等式kx+b
B. -2
D. x<1
6. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG//AC；⑤EF=FG.其中正确的结论有个．( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 将3x2y-27y因式分解为______ ．
8. 已知点M(3a-9,1-a)，将M点向左平移3个单位长度后落在y轴上，则M的坐标是______．
9. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为______°.
10. 如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是______ ．
11. 已知关于x的方程x-4x-3-m-4=m3-x有增根，则m的值为______ ．
12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC=30°，AC=4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是______．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)分解因式：6xy2-9x2y-y3；
(2)解不等式：5(x+5)≤32+2x．
14. (本小题6.0分)
解不等式组x
15. (本小题6.0分)
先化简(3a+1-a+1)÷a2-4a+4a+1，然后从-2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
16. (本小题6.0分)
如图，已知AB=AC，AE=CE，四边形BECF是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图：
(1)在图1中作△ABC的高AH；
(2)在图2中AB边上作一点M，使EM=12BC．
17. (本小题6.0分)
如图，已知∠C=∠D=90°，BC与AD交于点E，AC=BD，求证：AE=BE．
18. (本小题8.0分)
某学校为了预防甲型流感，需要购买甲、乙两种消毒液，已知购买3桶甲消毒液和2桶乙消毒液，需费用390元：4桶甲消毒液比5桶乙消毒液的费用多60元．
(1)求甲、乙两种消毒液每桶各多少元？
(2)若学校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，且甲消寄液的桶数不少于乙消毒液桶数的一半，甲、乙两种消海液的总费用不超过2170元，该校共有哪几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
19. (本小题8.0分)
“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA=OC=PC.∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB=13∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA=OC=PC．
求证：∠APB=13∠AOB．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF=DE．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
21. (本小题9.0分)
定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+-5x+1，则x+1x-1和2x-3x+1都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______(填序号)；
①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2
(2)将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2-2a+3a-1=______+______；
(3)应用：先化简3x+6x+1-x-1x÷x2-1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
22. (本小题9.0分)
如图①，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD=AE，BE与CD交于点O．
(1)填空：∠BOC=______度；
(2)如图②，以CO为边作等边△OCF，AF与BO相等吗？并说明理由；
(3)如图③，若点G是BC的中点，连接AO、GO，判断AO与GO有什么数量关系？并说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF．
(1)思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，如图1，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线.易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为______ ；
(2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABC的边CB，DC的延长线上，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明；
(3)联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2.【答案】B
【解析】解：∵x
由不等式的性质1，得x-2
∴nx与my的大小不能确定，
故选：B．
根据不等式的性质进行运算辨别即可．
此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质．
3.【答案】C
【解析】解：∵等腰三角形的顶角50°，
∴每个底角=12×(180°-50°)=65°，
故选：C．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、2-8a2=2(1+2a)(1-2a)，故A选项符合题意；
B、x2+4y2不能进行因式分解，故B选项不符合题意；
C、a2-b2=(a-b)(a+b)，故C选项不符合题意；
D、x2-4y2=(x+2y)(x-2y)，故D选项不符合题意．
故选：A．
运用平方差和完全平方公式分解因式，然后判断即可．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差和完全平方公式，能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍；要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
5.【答案】D
【解析】解：根据函数图象，当x<1时，kx+b
结合函数图象，写出直线y=kx+b不在直线y=mx+n的上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法．
6.【答案】B
【解析】解：连接EG，如图所示：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．
∴∠BAD=∠C，
故①选项符合题意；
∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，
∴∠ABF=∠EBD．
∵∠AFE=∠BAD+∠ABF，∠AEB=∠C+∠EBD，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
故②选项符合题意；
③假设∠EBC=∠C，
则有∠C=12∠ABC，
∵∠BAC=90°
∴∠C=30°，
但∠C≠30°，
故③选项不符合题意；
④∵AG是∠DAC的平分线，AE=AF，
∴AN⊥BE，FN=EN，
∴∠ANB=∠BNG=90°，
在△ABN与△GBN中，
∠ABN=∠GBNBN=BN∠ANB=∠BNG，
∴△ABN≌△GBN(ASA)，
∴AN=GN，
∵FN=EN，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴GF//AE，
即GF//AC，
故④选项符合题意；
⑤∵AE=AF，AE=FG，
而△AEF不是等边三角形，
∴EF≠AE，
∴EF≠FG，
故⑤选项不符合题意，
故正确的选项有：①②④，
故选：B．
连接EG，根据等角的余角相等可判断①选项；根据BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，∠BAD=∠C，可得到∠AFE=∠AEF，进一步即可判断②选项；假设∠EBC=∠C，根据三角形内角和定理可得∠C=30°，但∠C≠30°，可判断③选项；④证明△ABN≌△GBN(ASA)，可得AN=GN，从而证出四边形AFGE是平行四边形，可判断④选项；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等边三角形，得到EF≠AE，于是EF≠FG，可判断⑤选项．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
7.【答案】3y(x+3)(x-3)
【解析】解：原式=3y(x2-9)=3y(x+3)(x-3)，
故答案为：3y(x+3)(x-3)．
先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
8.【答案】(3,-3)
【解析】解：根据题意，得，3a-9-3=0，
解得a=4，
∴M(3,-3)，
故答案为(3,-3)．
根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”构建方程求解即可．
此题考查了平移时，点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
9.【答案】72
【解析】解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴正多边形的一个外角=360÷5=72°．
故答案为：72．
根据多边形的内角和公式(n-2)⋅180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
10.【答案】30
【解析】解：如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC=12×20×3=30．
故答案为：30．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质及判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
11.【答案】-3或1
【解析】解：去分母，可得：x-4-(m+4)(x-3)=-m，
整理，可得：(m+3)x=4m+8①，
(1)方程①无实数根，即m+3=0且4m+8≠0，
解得：m=-3．
(2)方程①的根x=4m+8m+3是增根，则4m+8m+3=3，
解得：m=1．
综上，可得：m=-3或1．
故答案为：-3或1．
根据题意，可得：关于x的方程x-4x-3-m-4=m3-x去分母后所得整式方程有增根，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，据此求出m的值是多少即可．
此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
12.【答案】433或3或2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=2，AB//CD，AD//BC，
∴∠OCD=∠BAC，∠BCO=∠DAC=30°，∠BAD=180°-∠ABC=180°-105°=75°，
∴∠OCD=∠BAC=75°-30°=45°，
分三种情况：
①当点P在BC上，∠POC=90°时，如图1所示：
∵∠BCO=30°，
∴OP=33OC=233，CP=2OP=433；
②当点P在BC上，∠OPC=90°时，如图2所示：
∵∠BCO=30°，
∴OP=12OC=1，CP=3OP=3；
③当点P在CD上，∠OPC=90°时，如图3所示：
∵∠OCD=45°，
∴△OPC是等腰直角三角形，
∴CP=22OC=2；
综上所述，若△OPC是直角三角形，则CP的长是433或3或2，
故答案为：433或3或2．
由平行四边形的性质得OA=OC=12AC=2，AB//CD，AD//BC，求出∠BCO=∠DAC=30°，∠OCD=∠BAC=45°，分三种情况：①当点P在BC上，∠POC=90°时；②当点P在BC上，∠OPC=90°时；③当点P在CD上，∠OPC=90°时；由直角三角形的性质分别求出CP即可．
本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】解：(1)原式=-y(y2-6xy+9x2)
=-y(y-3x)2；
(2)5(x+5)≤32+2x，
去括号，得：5x+25≤32+2x，
移项，得：5x-2x≤32-25，
合并同类项，得：3x≤7，
系数化为1，得：x≤73．
【解析】(1)直接提取公因式-y，再利用完全平方公式分解因式即可；
(2)直接利用一元一次不等式的解法，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、一元一次不等式的解法，正确运用公式法分解因式是解题关键．
14.【答案】解：x
解不等式②得：x≥-3，
∴原不等式组的解集为：-3≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
15.【答案】解：原式=[3a+1-(a-1)(a+1)a+1]⋅a+1(a-2)2
=3-a2+1a+1⋅a+1(a-2)2=4-a2(a-2)2=(2-a)(2+a)(2-a)2
=a+22-a，
由分式有意义的条件可知：a≠-1，a≠2，
∴故a可取，a=0，
∴原式=22=1．
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
16.【答案】解：(1)AH即为所求；
(2)点M即为所求．
【解析】(1)根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质作图；
(2)根据平行四边形的性质及三角形三条中线的特点作图．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
AB=BAamp;AC=BDamp;，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AE=BE．
【解析】由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC=∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意可得：3x+2y=3904x-5y=60，
解得x=90y=60，
答：每桶甲消毒液价格为90元，每桶乙消毒液的价格为60元；
(2)设购买甲消毒液a桶，乙消毒液(30-a)桶，
由题意得：90a+60(30-a)≤2170a≥13(30-a)，
解得10≤a≤1213，
∴a=10、11、12，共三种购买方案，
方案一：购买甲消海液10桶，乙消毒液20桶．
方案二：购买甲消毒液11桶，乙酒毒液19桶，
方案三：购买甲消毒液12桶，乙消毒液18桶，
设总费用为w元
w=90a+60(30-a)=30a+1800，
∵30>0，
∴当a=10时，w数得最小值，此时w=2100，
答：购买甲消毒液10桶，乙消毒液20桶总费用最低，最低费用是2100元．
【解析】(1)设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，根据“购买3桶甲消毒液和2桶乙消毒液，需费用390元：4桶甲消毒液比5桶乙消毒液的费用多60元”列方程组，解方程组即可；
(2)设购买甲消毒液a桶，根据“消寄液的桶数不少于乙消毒液桶数的一半，甲、乙两种消海液的总费用不超过2170元”求出a的取值范围，再根据a为整数确定出购买方案；再总费用=两种消毒液费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最小值即可．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
19.【答案】证明：如图所示：
∵OC=PC，
∴∠P=∠1，
∵∠2=∠P+∠1，
∴∠2=2∠P，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠3=2∠P，
∵∠AOB=∠P+∠3，
∴∠AOB=3∠P，
即∠APB=13∠AOB．
【解析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及应用设计与作图，正确运用等腰三角形的性质分析是解题关键．
20.【答案】(1)证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，又AE平分∠BAC，
∴AG=AC，
∴GE=EC．
∵点D为边BC的中点，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE//AB．
∵DE=BF，
∴四边形BDEF是平行四边形．
(2)解：BF=12(AB-AC)．
理由如下：
由(1)可得BF=DE=12BG．
∵AG=AC，
∴BF=12(AB-AG)=12(AB-AC)．
【解析】(1)根据等腰三角形“三线合一”得到AG=AC，再利用三角形的中位线定理证明DE//AB，再加上条件DE=BF可证出结论；
(2)先证明BF=DE=12BG，再由AG=AC，可得到BF=12(AB-AG)=12(AB-AC)．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE=EC，再利用三角形中位线定理证明DE//AB是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)①③④
(2) a-1， 2a-1
(3)原式=3x+6x+1-x-1x⋅x(x+2)(x+1)(x-1)
=3x+6x+1-x+2x+1
=2x+4x+1
=2(x+1)+2x+1
=2+2x+1，
∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，
此时x=0或-2或1或-3，
又∵分式有意义时，x≠0、1、-1、-2，
∴x=-3．
【解析】
【解答】
解：(1)①x+1x=1+1x，是和谐分式；③x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式；④y2+1y2=1+1y2，是和谐分式；
故答案为：①③④；
(2)a2-2a+3a-1=a2-2a+1+2a-1=(a-1)2+2a-1=a-1+2a-1，
故答案为：a-1；2a-1．
(3)见答案．
【分析】
(1)由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；
(2)由原式=a2-2a+1+2a-1=(a-1)2+2a-1=a-1+2a-1可得；
(3)将原式变形为2x+4x+1=2+2x+1，据此得出x+1=±1或x+1=±2，即x=0或-2或1或-3，又x≠0、1、-1、-2，据此可得答案．
本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解．
22.【答案】(1)120
(2)解：结论：AF=BO．
理由：如图②中，
∵△FCO，△ACB都是等边三角形，
∴CF=CO，CA=CB，∠FCO=∠ACB=60°，
∴∠FCO-∠ACD=∠ACB-∠ACD
即∠FCA=∠OCB，
在△FCA和△OCB中，
CF=CO∠FCA=∠OCBCA=CB，
∴△FCA≌△OCB(SAS)，
∴AF=BO．
(3)解：如图③中，结论：AO=2OG．
理由：延长OG到R，使得GR=GO，连接CR，BR．
∵点G是BC的中点，
∴GC=GB
在△CGO和△BGR中，
GC=GB∠CGO=∠BGRGO=GR，
∴△CGO≌△BGR(SAS)，
∴CO=BR=OF，∠GCO=∠GBR，
∴CO//BR，
∵△FCA≌△OCB，
∴∠AFC=∠BOC=120°，AF=BO，
∵∠CFO=∠COF=60°，
∴∠AFO=∠COF=60°，
∴AF//CO，
∴AF//BR，
∴∠AFO=∠RBO，
在△AFO和△OBR中，
AF=OB∠AFO=∠OBRFO=BR，
∴△AFO≌△OBR(SAS)，
∴OA=OR，
∵OR=2OG，
∴OA=2OG．
【解析】解：(1)如图①中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠CBD=60°，
在△EAB和△DBC中，
AE=BD∠EAB=∠DBCAB=BC,
∴△EAB≌△DBC(SAS)，
∴∠ABE=∠BCD，
∴∠BOD=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
(2)见答案；
(3)见答案；
(1)证明△EAB≌△DBC(SAS)，可得结论．
(2)结论：AF=BO，证明△FCA≌△OCB(SAS)，可得结论．
(3)证明△AFO≌△OBR(SAS)，推出OA=OR，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23.【答案】EF=BE+DF
【解析】解：(1)结论：EF=BE+DF．
理由：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，
∵∠BAE=∠DAG，∠EAF=12∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AFG和△AFE中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AFG≌△AFE(SAS)，
∴EF=FG=FD+FG=FD+BE，
故答案为：EF=BE+DF；
(2)结论：EF=DF-BE．
理由：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，
则△ABE≌ADE'，
∴∠DAE'=∠BAE，AE'=AE，DE'=BE，∠ADE'=∠ABE，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∠ADE'=∠ADC，即E'，D，F三点共线，
又∠EAF=12∠BAD
∴∠E'AF=∠BAD-(∠BAF+∠DAE')=∠BAD-(∠BAF+∠BAE)
=∠BAD-∠EAF=12∠BAD．
∴∠EAF=∠E'AF，
在△AEF和△AE'F中，
AE=AE'∠EAF=∠E'AFAF=AF，
∴△AFE≌△AFE'(SAS)，
∴FE=FE'，
又∵FE'=DF-DE'，
∴EF=DF-BE；
(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，
由(1)得，△AED≌AED'，
∴DE=D'E．
∵∠ACB=∠B=∠ACD'=45°，
∴∠ECD'=90°，
在Rt△ECD'中，ED'=EC2+D'C2=5，即DE=5．
(1)将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，证明△AFE≌△AFE'，据全等三角形的性质解答；
(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，根据全等三角形的性质、勾股定理计算．
本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2022-2023学年江西省抚州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 珍爱生命，遵守交通规则，下列标志既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. 禁止掉头 B. 禁止车辆长时间停放
C. 环岛行驶 D. 立交直行和左转行驶
2. 若x
3. 某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是( )
A. 50° B. 60° C. 65° D. 80°
4. 下列因式分解正确的是( )
A. 2-8a2=2(1+2a)(1-2a) B. x2+4y2=(x+2y)2
C. a2-b2=(a-b)2 D. x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
5. 如图，直线y=kx+b交x轴于点A(-2,0)，直线y=mx+n交x轴于点B(5,0)，这两条线相交于点C(1,p)，则不等式kx+b
B. -2
D. x<1
6. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG//AC；⑤EF=FG.其中正确的结论有个．( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 将3x2y-27y因式分解为______ ．
8. 已知点M(3a-9,1-a)，将M点向左平移3个单位长度后落在y轴上，则M的坐标是______．
9. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为______°.
10. 如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是______ ．
11. 已知关于x的方程x-4x-3-m-4=m3-x有增根，则m的值为______ ．
12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC=30°，AC=4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是______．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)分解因式：6xy2-9x2y-y3；
(2)解不等式：5(x+5)≤32+2x．
14. (本小题6.0分)
解不等式组x
15. (本小题6.0分)
先化简(3a+1-a+1)÷a2-4a+4a+1，然后从-2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
16. (本小题6.0分)
如图，已知AB=AC，AE=CE，四边形BECF是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图：
(1)在图1中作△ABC的高AH；
(2)在图2中AB边上作一点M，使EM=12BC．
17. (本小题6.0分)
如图，已知∠C=∠D=90°，BC与AD交于点E，AC=BD，求证：AE=BE．
18. (本小题8.0分)
某学校为了预防甲型流感，需要购买甲、乙两种消毒液，已知购买3桶甲消毒液和2桶乙消毒液，需费用390元：4桶甲消毒液比5桶乙消毒液的费用多60元．
(1)求甲、乙两种消毒液每桶各多少元？
(2)若学校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，且甲消寄液的桶数不少于乙消毒液桶数的一半，甲、乙两种消海液的总费用不超过2170元，该校共有哪几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
19. (本小题8.0分)
“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA=OC=PC.∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB=13∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA=OC=PC．
求证：∠APB=13∠AOB．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF=DE．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
21. (本小题9.0分)
定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+-5x+1，则x+1x-1和2x-3x+1都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______(填序号)；
①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2
(2)将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2-2a+3a-1=______+______；
(3)应用：先化简3x+6x+1-x-1x÷x2-1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
22. (本小题9.0分)
如图①，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD=AE，BE与CD交于点O．
(1)填空：∠BOC=______度；
(2)如图②，以CO为边作等边△OCF，AF与BO相等吗？并说明理由；
(3)如图③，若点G是BC的中点，连接AO、GO，判断AO与GO有什么数量关系？并说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF．
(1)思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，如图1，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线.易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为______ ；
(2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABC的边CB，DC的延长线上，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明；
(3)联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2.【答案】B
【解析】解：∵x
由不等式的性质1，得x-2
∴nx与my的大小不能确定，
故选：B．
根据不等式的性质进行运算辨别即可．
此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质．
3.【答案】C
【解析】解：∵等腰三角形的顶角50°，
∴每个底角=12×(180°-50°)=65°，
故选：C．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、2-8a2=2(1+2a)(1-2a)，故A选项符合题意；
B、x2+4y2不能进行因式分解，故B选项不符合题意；
C、a2-b2=(a-b)(a+b)，故C选项不符合题意；
D、x2-4y2=(x+2y)(x-2y)，故D选项不符合题意．
故选：A．
运用平方差和完全平方公式分解因式，然后判断即可．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差和完全平方公式，能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍；要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
5.【答案】D
【解析】解：根据函数图象，当x<1时，kx+b
结合函数图象，写出直线y=kx+b不在直线y=mx+n的上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法．
6.【答案】B
【解析】解：连接EG，如图所示：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．
∴∠BAD=∠C，
故①选项符合题意；
∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，
∴∠ABF=∠EBD．
∵∠AFE=∠BAD+∠ABF，∠AEB=∠C+∠EBD，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
故②选项符合题意；
③假设∠EBC=∠C，
则有∠C=12∠ABC，
∵∠BAC=90°
∴∠C=30°，
但∠C≠30°，
故③选项不符合题意；
④∵AG是∠DAC的平分线，AE=AF，
∴AN⊥BE，FN=EN，
∴∠ANB=∠BNG=90°，
在△ABN与△GBN中，
∠ABN=∠GBNBN=BN∠ANB=∠BNG，
∴△ABN≌△GBN(ASA)，
∴AN=GN，
∵FN=EN，
∴四边形AFGE是平行四边形，
∴GF//AE，
即GF//AC，
故④选项符合题意；
⑤∵AE=AF，AE=FG，
而△AEF不是等边三角形，
∴EF≠AE，
∴EF≠FG，
故⑤选项不符合题意，
故正确的选项有：①②④，
故选：B．
连接EG，根据等角的余角相等可判断①选项；根据BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，∠BAD=∠C，可得到∠AFE=∠AEF，进一步即可判断②选项；假设∠EBC=∠C，根据三角形内角和定理可得∠C=30°，但∠C≠30°，可判断③选项；④证明△ABN≌△GBN(ASA)，可得AN=GN，从而证出四边形AFGE是平行四边形，可判断④选项；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等边三角形，得到EF≠AE，于是EF≠FG，可判断⑤选项．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
7.【答案】3y(x+3)(x-3)
【解析】解：原式=3y(x2-9)=3y(x+3)(x-3)，
故答案为：3y(x+3)(x-3)．
先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
8.【答案】(3,-3)
【解析】解：根据题意，得，3a-9-3=0，
解得a=4，
∴M(3,-3)，
故答案为(3,-3)．
根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”构建方程求解即可．
此题考查了平移时，点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
9.【答案】72
【解析】解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴正多边形的一个外角=360÷5=72°．
故答案为：72．
根据多边形的内角和公式(n-2)⋅180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
10.【答案】30
【解析】解：如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC=12×20×3=30．
故答案为：30．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质及判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
11.【答案】-3或1
【解析】解：去分母，可得：x-4-(m+4)(x-3)=-m，
整理，可得：(m+3)x=4m+8①，
(1)方程①无实数根，即m+3=0且4m+8≠0，
解得：m=-3．
(2)方程①的根x=4m+8m+3是增根，则4m+8m+3=3，
解得：m=1．
综上，可得：m=-3或1．
故答案为：-3或1．
根据题意，可得：关于x的方程x-4x-3-m-4=m3-x去分母后所得整式方程有增根，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，据此求出m的值是多少即可．
此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
12.【答案】433或3或2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=2，AB//CD，AD//BC，
∴∠OCD=∠BAC，∠BCO=∠DAC=30°，∠BAD=180°-∠ABC=180°-105°=75°，
∴∠OCD=∠BAC=75°-30°=45°，
分三种情况：
①当点P在BC上，∠POC=90°时，如图1所示：
∵∠BCO=30°，
∴OP=33OC=233，CP=2OP=433；
②当点P在BC上，∠OPC=90°时，如图2所示：
∵∠BCO=30°，
∴OP=12OC=1，CP=3OP=3；
③当点P在CD上，∠OPC=90°时，如图3所示：
∵∠OCD=45°，
∴△OPC是等腰直角三角形，
∴CP=22OC=2；
综上所述，若△OPC是直角三角形，则CP的长是433或3或2，
故答案为：433或3或2．
由平行四边形的性质得OA=OC=12AC=2，AB//CD，AD//BC，求出∠BCO=∠DAC=30°，∠OCD=∠BAC=45°，分三种情况：①当点P在BC上，∠POC=90°时；②当点P在BC上，∠OPC=90°时；③当点P在CD上，∠OPC=90°时；由直角三角形的性质分别求出CP即可．
本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】解：(1)原式=-y(y2-6xy+9x2)
=-y(y-3x)2；
(2)5(x+5)≤32+2x，
去括号，得：5x+25≤32+2x，
移项，得：5x-2x≤32-25，
合并同类项，得：3x≤7，
系数化为1，得：x≤73．
【解析】(1)直接提取公因式-y，再利用完全平方公式分解因式即可；
(2)直接利用一元一次不等式的解法，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、一元一次不等式的解法，正确运用公式法分解因式是解题关键．
14.【答案】解：x
解不等式②得：x≥-3，
∴原不等式组的解集为：-3≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
15.【答案】解：原式=[3a+1-(a-1)(a+1)a+1]⋅a+1(a-2)2
=3-a2+1a+1⋅a+1(a-2)2=4-a2(a-2)2=(2-a)(2+a)(2-a)2
=a+22-a，
由分式有意义的条件可知：a≠-1，a≠2，
∴故a可取，a=0，
∴原式=22=1．
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
16.【答案】解：(1)AH即为所求；
(2)点M即为所求．
【解析】(1)根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质作图；
(2)根据平行四边形的性质及三角形三条中线的特点作图．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
AB=BAamp;AC=BDamp;，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AE=BE．
【解析】由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC=∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意可得：3x+2y=3904x-5y=60，
解得x=90y=60，
答：每桶甲消毒液价格为90元，每桶乙消毒液的价格为60元；
(2)设购买甲消毒液a桶，乙消毒液(30-a)桶，
由题意得：90a+60(30-a)≤2170a≥13(30-a)，
解得10≤a≤1213，
∴a=10、11、12，共三种购买方案，
方案一：购买甲消海液10桶，乙消毒液20桶．
方案二：购买甲消毒液11桶，乙酒毒液19桶，
方案三：购买甲消毒液12桶，乙消毒液18桶，
设总费用为w元
w=90a+60(30-a)=30a+1800，
∵30>0，
∴当a=10时，w数得最小值，此时w=2100，
答：购买甲消毒液10桶，乙消毒液20桶总费用最低，最低费用是2100元．
【解析】(1)设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，根据“购买3桶甲消毒液和2桶乙消毒液，需费用390元：4桶甲消毒液比5桶乙消毒液的费用多60元”列方程组，解方程组即可；
(2)设购买甲消毒液a桶，根据“消寄液的桶数不少于乙消毒液桶数的一半，甲、乙两种消海液的总费用不超过2170元”求出a的取值范围，再根据a为整数确定出购买方案；再总费用=两种消毒液费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最小值即可．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
19.【答案】证明：如图所示：
∵OC=PC，
∴∠P=∠1，
∵∠2=∠P+∠1，
∴∠2=2∠P，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠3=2∠P，
∵∠AOB=∠P+∠3，
∴∠AOB=3∠P，
即∠APB=13∠AOB．
【解析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及应用设计与作图，正确运用等腰三角形的性质分析是解题关键．
20.【答案】(1)证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，又AE平分∠BAC，
∴AG=AC，
∴GE=EC．
∵点D为边BC的中点，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE//AB．
∵DE=BF，
∴四边形BDEF是平行四边形．
(2)解：BF=12(AB-AC)．
理由如下：
由(1)可得BF=DE=12BG．
∵AG=AC，
∴BF=12(AB-AG)=12(AB-AC)．
【解析】(1)根据等腰三角形“三线合一”得到AG=AC，再利用三角形的中位线定理证明DE//AB，再加上条件DE=BF可证出结论；
(2)先证明BF=DE=12BG，再由AG=AC，可得到BF=12(AB-AG)=12(AB-AC)．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE=EC，再利用三角形中位线定理证明DE//AB是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)①③④
(2) a-1， 2a-1
(3)原式=3x+6x+1-x-1x⋅x(x+2)(x+1)(x-1)
=3x+6x+1-x+2x+1
=2x+4x+1
=2(x+1)+2x+1
=2+2x+1，
∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，
此时x=0或-2或1或-3，
又∵分式有意义时，x≠0、1、-1、-2，
∴x=-3．
【解析】
【解答】
解：(1)①x+1x=1+1x，是和谐分式；③x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式；④y2+1y2=1+1y2，是和谐分式；
故答案为：①③④；
(2)a2-2a+3a-1=a2-2a+1+2a-1=(a-1)2+2a-1=a-1+2a-1，
故答案为：a-1；2a-1．
(3)见答案．
【分析】
(1)由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；
(2)由原式=a2-2a+1+2a-1=(a-1)2+2a-1=a-1+2a-1可得；
(3)将原式变形为2x+4x+1=2+2x+1，据此得出x+1=±1或x+1=±2，即x=0或-2或1或-3，又x≠0、1、-1、-2，据此可得答案．
本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解．
22.【答案】(1)120
(2)解：结论：AF=BO．
理由：如图②中，
∵△FCO，△ACB都是等边三角形，
∴CF=CO，CA=CB，∠FCO=∠ACB=60°，
∴∠FCO-∠ACD=∠ACB-∠ACD
即∠FCA=∠OCB，
在△FCA和△OCB中，
CF=CO∠FCA=∠OCBCA=CB，
∴△FCA≌△OCB(SAS)，
∴AF=BO．
(3)解：如图③中，结论：AO=2OG．
理由：延长OG到R，使得GR=GO，连接CR，BR．
∵点G是BC的中点，
∴GC=GB
在△CGO和△BGR中，
GC=GB∠CGO=∠BGRGO=GR，
∴△CGO≌△BGR(SAS)，
∴CO=BR=OF，∠GCO=∠GBR，
∴CO//BR，
∵△FCA≌△OCB，
∴∠AFC=∠BOC=120°，AF=BO，
∵∠CFO=∠COF=60°，
∴∠AFO=∠COF=60°，
∴AF//CO，
∴AF//BR，
∴∠AFO=∠RBO，
在△AFO和△OBR中，
AF=OB∠AFO=∠OBRFO=BR，
∴△AFO≌△OBR(SAS)，
∴OA=OR，
∵OR=2OG，
∴OA=2OG．
【解析】解：(1)如图①中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠CBD=60°，
在△EAB和△DBC中，
AE=BD∠EAB=∠DBCAB=BC,
∴△EAB≌△DBC(SAS)，
∴∠ABE=∠BCD，
∴∠BOD=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
(2)见答案；
(3)见答案；
(1)证明△EAB≌△DBC(SAS)，可得结论．
(2)结论：AF=BO，证明△FCA≌△OCB(SAS)，可得结论．
(3)证明△AFO≌△OBR(SAS)，推出OA=OR，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23.【答案】EF=BE+DF
【解析】解：(1)结论：EF=BE+DF．
理由：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，
∵∠BAE=∠DAG，∠EAF=12∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AFG和△AFE中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AFG≌△AFE(SAS)，
∴EF=FG=FD+FG=FD+BE，
故答案为：EF=BE+DF；
(2)结论：EF=DF-BE．
理由：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，
则△ABE≌ADE'，
∴∠DAE'=∠BAE，AE'=AE，DE'=BE，∠ADE'=∠ABE，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∠ADE'=∠ADC，即E'，D，F三点共线，
又∠EAF=12∠BAD
∴∠E'AF=∠BAD-(∠BAF+∠DAE')=∠BAD-(∠BAF+∠BAE)
=∠BAD-∠EAF=12∠BAD．
∴∠EAF=∠E'AF，
在△AEF和△AE'F中，
AE=AE'∠EAF=∠E'AFAF=AF，
∴△AFE≌△AFE'(SAS)，
∴FE=FE'，
又∵FE'=DF-DE'，
∴EF=DF-BE；
(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，
由(1)得，△AED≌AED'，
∴DE=D'E．
∵∠ACB=∠B=∠ACD'=45°，
∴∠ECD'=90°，
在Rt△ECD'中，ED'=EC2+D'C2=5，即DE=5．
(1)将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，证明△AFE≌△AFE'，据全等三角形的性质解答；
(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，根据全等三角形的性质、勾股定理计算．
本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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