安徽省宿州市砀山县第五中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份安徽省宿州市砀山县第五中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

安徽省宿州市砀山五中2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．中国古代四大艺术——琴棋书画，棋，指的是围棋，如图是截取棋谱中的四个部分（　　）
A． B．
C． D．
2．若a＞b，则下列各式正确的是（　　）
A．a﹣2＞b﹣2 B．2﹣a＞2﹣b C．﹣a＞﹣b D．
3．在平面直角坐标系中，若点P（2m，3）与点Q（﹣4，n），则m﹣n的值为（　　）
A．2 B．﹣5 C．5 D．﹣8
4．计算的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
5．如图，直线AB∥CD，等边三角形EFG的顶点F在直线CD上，∠BHE＝40°，则∠CFG的度数为（　　）
​

A．10° B．20° C．30° D．40°
6．甲、乙两人加工某种机械零件，已知甲每小时比乙多加工4个，甲加工50个所用的时间与乙加工40个所用的时间相等．设甲每小时加工x个零件（　　）
A． B． C． D．
7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣ac＝b2﹣bc，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝58°，若∠EAC＝21°，则∠ACD的度数是（　　）
​

A．92° B．82° C．72° D．62°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD＝3（　　）
​

A．9 B．10 C．12 D．6
10．如图，点D是等边三角形ABC边AC的中点，点E是线段BC上一动点，并绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，CF．若AB＝2，则运动过程中CF的最小值为（　　）
​

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
12．（5分）若不等式组无解，则实数a的取值范围是 　 　．
13．（5分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，E分别为AB，AC的中点　 　．

14．（5分）已知关于x的不等式组的解集为x≥4，请解决下列问题：
（1）实数a的取值范围是 　 　；
（2）在（1）的条件下，若关于y的分式方程﹣，则所有满足条件的整数a的和是 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：﹣2＝．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣3，0），C（0，2）．（每个小正方形的边长均为1个单位长度）
（1）先将△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2．
​

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，BC于点D，E，BF⊥AC
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠C＝30°，求∠ABC的度数．
​

18．（8分）王老师在黑板上写了三个等式．
第1个等式：32﹣12＝8×1；
第2个等式：52﹣32＝8×2；
第3个等式：72﹣52＝8×3；
⋯
请你结合以上等式的规律，解答问题：
（1）请你写出第5个等式：　 　；
（2）设两个连续奇数分别为2n+1，2n﹣1（n为正整数），试说明其平方差是8的倍数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ABC的平分线BF交AD于点F，BF，CG交于点P，连接PE，且PE＝BE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝5，PE＝4，求FG的长．

20．（10分）炎炎夏日是冰淇淋的狂欢季．某冷饮店购进某种冰淇淋销售，第一次用1200元购进若干桶，并以8元/桶的价格出售，第二次购进时，每桶的进价比第一次提高了20%，并以9元/桶的价格售出100桶后，由于气温下降
（1）求第一次购进时每桶冰淇淋的进价；
（2）该冷饮店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
六、（本题满分12分）
21．（12分）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解．如m2﹣2mn+n2﹣25，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式
解题过程如下：m2﹣2mn+n2﹣25＝（m﹣n）2﹣25＝（m﹣n+5）（m﹣n﹣5）．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：x2﹣8xy+16y2﹣9；
（2）因式分解：x2+x﹣6x﹣6；
（3）若a，b为非零实数，c＝（﹣1）2021，且（a﹣b）2＝（c﹣b）（a﹣c），求a+b的值．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某便利店准备购进甲、乙两种日用品．已知购进3件甲种日用品和4件乙种日用品需要270元；购进5件甲种日用品和2件乙种日用品需要310元．该便利店将甲种日用品每件的售价定为80元，乙种日用品每件的售价定为45元．
（1）甲、乙两种日用品每件的进价分别是多少元？
（2）便利店计划用不超过1560元的资金购进甲、乙两种日用品共40件，其中甲种日用品的数量不低于乙种日用品数量的一半，该便利店有几种进货方案？
（3）端午节期间，便利店开展优惠促销活动，决定对每件甲种日用品按九折优惠（2）的条件下，若购进的甲、乙两种日用品全部售完，所获利润最大？最大利润是多少元？
八、（本题满分14分）
23．（14分）在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上

（1）如图1，连接BF，DE；
（2）如图2，若DE＝DC，∠CBD＝45°，垂足为G，CP与BD，P．
①当DC＝，CE＝2时，求BE的长；
②探究BH与CE的数量关系，并说明理由．​

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．中国古代四大艺术——琴棋书画，棋，指的是围棋，如图是截取棋谱中的四个部分（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形．
2．若a＞b，则下列各式正确的是（　　）
A．a﹣2＞b﹣2 B．2﹣a＞2﹣b C．﹣a＞﹣b D．
【分析】根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，
故A符合题意；
B、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴3﹣a＜2﹣b，
故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
故C不符合题意；
D、∵b＜a＜0，
∴＞，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，若点P（2m，3）与点Q（﹣4，n），则m﹣n的值为（　　）
A．2 B．﹣5 C．5 D．﹣8
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由点P（2m，3）与点Q（﹣5，得：
2m＝4，n＝﹣8，
所以m＝2，n＝﹣3，
则m﹣n＝4+3＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．计算的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】根据分式的运算法则，先通分再加减，最后化简即可．
【解答】解：原式＝﹣＝＝＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减运算，分母不同时，先通分再加减．
5．如图，直线AB∥CD，等边三角形EFG的顶点F在直线CD上，∠BHE＝40°，则∠CFG的度数为（　　）
​

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】过G作GM∥AB，得到GM∥CD，推出∠MGH＝∠BHE＝40°，∠CFG＝∠MGF，由△EFG是等边三角形，得到∠EGF＝60°，求出∠MGF的度数，即可得到∠CFG的度数．
【解答】解：过G作GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴GM∥CD，
∴∠MGH＝∠BHE＝40°，∠CFG＝∠MGF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠EGF＝60°，
∴∠MGF＝∠EGF﹣∠MGE＝20°，
∴∠CFG＝20°．
故选：B．

【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是过G作GM∥AB，得到GM∥CD，由平行线的性质即可解决问题．
6．甲、乙两人加工某种机械零件，已知甲每小时比乙多加工4个，甲加工50个所用的时间与乙加工40个所用的时间相等．设甲每小时加工x个零件（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据甲、乙工作效率间的关系，可得出乙每小时加工（x﹣4）个零件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲加工50个所用的时间与乙加工40个所用的时间相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵甲每小时加工x个零件，且甲每小时比乙多加工4个，
∴乙每小时加工（x﹣4）个零件．
根据题意得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣ac＝b2﹣bc，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【分析】依据题意，由a2﹣ac＝b2﹣bc得a2﹣b2﹣ac+bc＝0，从而（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，由两边之和大于第三边可得a+b＞c，即a+b﹣c＞0，进而a﹣b＝0，故可得解．
【解答】解：由题意，∵a2﹣ac＝b2﹣bc，
∴a6﹣b2﹣ac+bc＝0．
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝4．
又∵a+b＞c，即a+b﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b．
∴△ABC是等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时需要熟练掌握并能理解．
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝58°，若∠EAC＝21°，则∠ACD的度数是（　　）
​

A．92° B．82° C．72° D．62°
【分析】根据平行四边形的邻角互补、对边平行求出∠BAD＝122°，AB∥CD，根据角平分线定义及角的和差求出∠BAC＝82°，根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠BAD＝180°，AB∥CD，
∵∠B＝58°，
∴∠BAD＝122°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝61°，
∵∠EAC＝21°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝82°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝82°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD＝3（　　）
​

A．9 B．10 C．12 D．6
【分析】先根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，再根据垂直定义可得∠DAC＝90°，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得CD＝2AD，∠ADC＝60°，然后利用三角形的外角性质可得∠B＝∠BAD＝30°，从而可得BD＝AD＝3，进而可得CD＝6，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴CD＝2AD，∠ADC＝90°﹣∠C＝60°，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∴BD＝AD＝8，
∴CD＝2AD＝6，
∴BC＝BD+CD＝7，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
10．如图，点D是等边三角形ABC边AC的中点，点E是线段BC上一动点，并绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，CF．若AB＝2，则运动过程中CF的最小值为（　　）
​

A． B． C． D．
【分析】当点E与点C重合时，得等腰直角三角形CDF1；当点E与点B重合时，得等腰直角三角形BDF2，利用SAS证明△BDC≌△F2DF1，得∠DBC＝∠DF2F1，则当点E在线段BC上运动时，点F的运动轨迹为线段 F2F1，当CF⊥F1F2 时，CF的值最小，利用含30°角的直角三角形的性质求出答案即可．
【解答】解：如图，

∵线段ED绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，
∴当点E与点C重合时，得等腰直角三角形CDF1；
当点E与点B重合时，得等腰直角三角形BDF2，
∵DB＝DF4，∠BDC＝∠F2DF1，DC＝DF2，
∴△BDC≌△F2DF1（SAS），
∴∠DBC＝∠DF6F1，
∴当点E在线段BC上运动时，点F的运动轨迹为线段 F2F7，
∵点D是等边三角形ABC边AC的中点，AB＝2，
∴＝30°，
∴BC＝2，CD＝1，
∴∠DF7F1＝30°，
∴，
∴．
当CF⊥F1F5 时，CF的值最小．
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，动点的运动路径等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≠2　．
【分析】根据分式的分母不能为零求解即可．
【解答】解：要使代数式有意义，
∴x≠8，
则实数x的取值范围是x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解答的关键．
12．（5分）若不等式组无解，则实数a的取值范围是 　a≤2　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到及不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由x﹣2＞0得：x＞4，
又x＜a且不等式组无解，
∴a≤2，
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（5分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，E分别为AB，AC的中点　　．

【分析】首先依据勾股定理求得BC的长，然后再依据三角形的中位线定理求解即可．
【解答】解：在Rt△BCF中，
由勾股定理可知：BC＝＝，
∵点D、E分别为AB，
∴DE＝BC＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查的是勾股定理、三角形的中位线定理，根据勾股定理求得BC的长是解题的关键．
14．（5分）已知关于x的不等式组的解集为x≥4，请解决下列问题：
（1）实数a的取值范围是 　a＜3　；
（2）在（1）的条件下，若关于y的分式方程﹣，则所有满足条件的整数a的和是 　﹣3​　．
【分析】（1）解出不等式组的解，根据解集为x≥4分析a的取值范围；
（2）解出关于y的方程，根据a的范围进行分类解析可得a值，最后相加即可．
【解答】解：（1）
解不等式①，得 x≥4，
解不等式②，得 ，
∵关于x的不等式组的解集为 x≥4，
∴，
∴a＜4．
（2）解关于y的分式方程 ，
得 ．
∵a＜3，分式方程的解是正整数，
∴，且y≠8，
∴y＝2或3或2．
当y＝2 时，，解得 a＝﹣3；
当 y＝6 时，，解得a＝﹣1；
当 y＝4 时，，解得 a＝7，
∴所有满足条件的整数a的和为﹣3﹣1+5＝﹣3．
【点评】本题考查了分式方程的解，解分式方程时一定要考虑到有意义和检验．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：﹣2＝．
【分析】方程两边都乘x﹣2得出x﹣2（x﹣2）＝﹣3，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：﹣2＝，
方程两边都乘x﹣2，得x﹣7（x﹣2）＝﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝7时，x﹣2≠5，
所以x＝7是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x＝7．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣3，0），C（0，2）．（每个小正方形的边长均为1个单位长度）
（1）先将△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2．
​

【分析】（1）先根据点的坐标的平移规律平移求出点A1（3，3），B1（1，﹣1），C1（4，1），然后作△A1B1C1即可；
（2）先求出点A，B，C关于原点对称的点A2（1，﹣4），B2（3，0），C2（0，﹣2），然后作△A2B2C2即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，4），8），2），
∴将点A，B，C向下平移1个单位长度4，B1，C1，
则A7（3，3），B2（1，﹣1），C5（4，1），
过点A4，B1，C1作△A7B1C1为所求，如图：

（2）∵A（﹣3，4），0），5），
∴点A，B，C关于原点对称的点A2（1，﹣3），B2（3，4），C2（0，﹣2），
过点A2，B2，C4作△A2B2C5为所求，如图：

【点评】此题主要考查了点的坐标平移，关于原点对称的点的坐标，解答（1）题的关键是熟练掌握点的坐标平移的规律：向左平移横坐标减去移动的单位长度，纵坐标不变，向右平移横坐标加上移动的单位长度，纵坐标不变；向上平移纵坐标加上移动的单位长度，横坐标不变，向下平移纵坐标减去移动的单位长度，横坐标不变．简记为：左移横相减，右移横相加，纵不变；上移纵相加，下移纵相减，横不变；解答（2）的关键是理解关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，BC于点D，E，BF⊥AC
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠C＝30°，求∠ABC的度数．
​

【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BD、BD＝CD，等量代换证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBD＝∠C＝30°，根据三角形的外角性质求出∠ADB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵BF⊥AC，F为线段AD的中点，
∴BF垂直平分AD，
∴AB＝BD．
∵DE是边BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴AB＝CD；
（2）解：∵BD＝CD，∠C＝30°，
∴∠CBD＝∠C＝30°，
∴∠ADB＝∠CBD+∠C＝30°+30°＝60°，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（8分）王老师在黑板上写了三个等式．
第1个等式：32﹣12＝8×1；
第2个等式：52﹣32＝8×2；
第3个等式：72﹣52＝8×3；
⋯
请你结合以上等式的规律，解答问题：
（1）请你写出第5个等式：　112﹣92＝8×5　；
（2）设两个连续奇数分别为2n+1，2n﹣1（n为正整数），试说明其平方差是8的倍数．
【分析】（1）根据题目所给的规律推出即可；
（2）利用平方差公式进行化简即可．
【解答】解：（1）112﹣94＝8×5，
故答案为：114﹣92＝5×5．
（2）由两个连续奇数分别为 2n+3，2n﹣1（n 为正整数）
（7n+1）2﹣（5n﹣1）2
＝（5n+1+2n﹣5）（2n+1﹣3n+1）
＝4n×2＝8n．
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【点评】本题考查了因式分解的应用，公式法分解因式是常用的方法．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ABC的平分线BF交AD于点F，BF，CG交于点P，连接PE，且PE＝BE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝5，PE＝4，求FG的长．

【分析】（1）结合平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质得出判断得出BE＝EC；
（2）结合平行四边形的性质以及等腰三角形的性质得出AF，BC的长，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，
∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BF，CG分别平分∠ABC 和∠BCD，
∴∠CBF＝∠ABC∠BCD，
∴∠CBF+∠BCG＝（∠ABC+∠BCD）＝90°，
∴∠BPE+∠CPE＝∠BPC＝90°，
∵PE＝BE，
∴∠CBF＝∠BPE，
∴∠CPE＝∠BCG，
∴PE＝CE，
∴BE＝CE；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠CBF＝∠AFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
又∵AB＝5，
∴AF＝5．
同理：DG＝CD＝AB＝3，
∵PE＝4，BE＝PE＝CE，
∴BE＝CE＝4，
∴AD＝BC＝BE+CE＝6，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝8，
∴FG＝DG﹣DF＝5﹣3＝7．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确掌握等腰三角形的性质是解题关键．
20．（10分）炎炎夏日是冰淇淋的狂欢季．某冷饮店购进某种冰淇淋销售，第一次用1200元购进若干桶，并以8元/桶的价格出售，第二次购进时，每桶的进价比第一次提高了20%，并以9元/桶的价格售出100桶后，由于气温下降
（1）求第一次购进时每桶冰淇淋的进价；
（2）该冷饮店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【分析】（1）设第一次购进时每桶冰淇淋的进价为x元，则第二次购进时每桶冰淇淋的进价为（1+20% ）x 元，利用进货数量＝进货总价÷进货单价，结合第二次比第一次多进货20桶，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出第一次购进时每桶冰淇淋的进价；
（2）利用进货数量＝进货总价÷进货单价，可求出第一次及第二次购进冰淇淋的数量，再利用销售利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出结论．
【解答】解：（1）设第一次购进时每桶冰淇淋的进价为x元，则第二次购进时每桶冰淇淋的进价为（1+20% ）x 元，
根据题意得：﹣＝20，
解得：x＝4，
经检验，x＝6是所列方程的解．
答：第一次购进时每桶冰淇淋的进价为6元；
（2）第一次购进冰淇淋的数量为1200÷4＝200（桶），
第二次购进冰淇淋的数量为1584÷[（1+20%）×6]＝220（桶），
6×200﹣1200+9×100+9×8.6×（220﹣100）﹣1584
＝8×200﹣1200+2×100+9×0.5×120﹣1584
＝1600﹣1200+900+648﹣1584
＝364（元）．
答：该冷饮店在这两次销售中，总体上是盈利．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解．如m2﹣2mn+n2﹣25，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式
解题过程如下：m2﹣2mn+n2﹣25＝（m﹣n）2﹣25＝（m﹣n+5）（m﹣n﹣5）．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：x2﹣8xy+16y2﹣9；
（2）因式分解：x2+x﹣6x﹣6；
（3）若a，b为非零实数，c＝（﹣1）2021，且（a﹣b）2＝（c﹣b）（a﹣c），求a+b的值．
【分析】（1）先分组，再根据完全平方公式进行变形，最后根据平方差公式分解因式即可；
（2）先分组，再提取公因式，再分解因式即可；
（3）求出c的值，再代入（a﹣b）2＝（c﹣b）（a﹣c），整理后得出（a+b+2）2＝0，再求出答案即可．
【解答】解：（1）x2﹣8xy+16y7﹣9
＝（x﹣4y）3﹣9
＝（x﹣4y+2）（x﹣4y﹣3）；
（2）x6+x﹣6x﹣6
＝（x3+x）﹣（6x+6）
＝x（x+5）﹣6（x+1）
＝（x+2）（x﹣6）；
（3）∵c＝（﹣1）2021＝﹣4，
又∵，
∴（a﹣b）6＝（﹣1﹣b）（a+1），
（a﹣b）6＝4（﹣a﹣1﹣ab﹣b），
整理得：a5+2ab+b2+7a+4b+4＝5，
（a+b）2+4（a+b）+2＝0，
（a+b+2）8＝0，
即a+b+2＝7，
∴a+b＝﹣2．
【点评】本题考查了分解因式，能熟记分解因式的方法是解此题的关键，注意：分解因式的方法有提取公因式法，公式法，因式分解法，分组分解法等．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某便利店准备购进甲、乙两种日用品．已知购进3件甲种日用品和4件乙种日用品需要270元；购进5件甲种日用品和2件乙种日用品需要310元．该便利店将甲种日用品每件的售价定为80元，乙种日用品每件的售价定为45元．
（1）甲、乙两种日用品每件的进价分别是多少元？
（2）便利店计划用不超过1560元的资金购进甲、乙两种日用品共40件，其中甲种日用品的数量不低于乙种日用品数量的一半，该便利店有几种进货方案？
（3）端午节期间，便利店开展优惠促销活动，决定对每件甲种日用品按九折优惠（2）的条件下，若购进的甲、乙两种日用品全部售完，所获利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设购进每件甲商品需要x元，每件乙商品需要y元，根据“购进3件甲种日用品和4件乙种日用品需要270元；购进5件甲种日用品和2件乙种日用品需要310元”可得关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进甲商品a件，购进乙商品（40﹣a）件，总价等于单价×数量结合购买这些商品的资金不多于1560元，同时甲种日用品的数量不低于乙种日用品数量的一半，可得出关于a的一元一次不等式组解之即可，求得a的取值范围为整数可得出各种进货方案；
（3）利用销售每件甲乙获利的数量关系，找出进货方案获利最大的方案，再根据总利润等于单件利润×数量即可求出获得最大利润．
【解答】解：（1）设甲种日用品每件的进价为x元，乙种日用品每件的进价为y元．
由题意，得 ，
解得：
答：甲种日用品每件的进价为50元，乙种日用品每件的进价为30元；
（2）设购进甲种日用品a件，则购进乙种日用品 （40﹣a） 件．
由题意得：，
解得 ．
又∵a为整数，
∴a可以为14，15，17，
∴该便利店有5种进货方案．
（3）设购进的甲、乙两种日用品全部售完所获利润为w元，
则w＝（80×90%﹣50）a+（45﹣30）（40﹣a）＝5a+600．
∵7＞0，∴w随a的增大而增大，
∴当a＝18时，w取得最大值．
答：购进甲种日用品18件时所获利润最大，最大利润为726元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确的列出一元一次不等式组；（3）有两种商品利润间的关系，找出获利最大的进货方案．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上

（1）如图1，连接BF，DE；
（2）如图2，若DE＝DC，∠CBD＝45°，垂足为G，CP与BD，P．
①当DC＝，CE＝2时，求BE的长；
②探究BH与CE的数量关系，并说明理由．​
【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝3，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH，然后证明△HMC≌△CND（AAS），得HM＝CN，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠CBD＝∠ADB．
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE．
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图2，过点D作DN⊥CE于点N，
∵DE＝DC＝，DN⊥CE，
∴EN＝CN＝1，
∴DN＝＝＝6，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝3，
∴BE＝BN﹣EN＝3﹣6＝2；

②，理由如下：
如图3，过点H作HM⊥BC于点M，
∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠DHC＝∠CDB，
∴CD＝HC，
又∵∠HMC＝∠CND＝90°，∠HCM＝∠CDN，
∴△HMC≌△CND（AAS），
∴HM＝CN，
∵HM⊥BC，∠DBC＝45°，
∴∠BHM＝∠DBC＝45°，
∴BM＝HM，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴BH＝MH，
∴，
又∵CE＝2CN，
∴．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．