湖北省咸宁市咸安区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份湖北省咸宁市咸安区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省咸宁市咸安区八年级（下）期末数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）（2023春•咸安区期末）下列运算错误的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）（2023春•咸安区期末）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发现之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家　　
A．赵爽 B．祖冲之 C．刘徽 D．杨辉
3．（3分）（2020•怀化）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（3分）（2023春•咸安区期末）平行四边形的对角线和交于点，，，则的长度可能是　　
A．1 B．3 C．5 D．7
5．（3分）（2023春•咸安区期末）在一组数据：2，2，4，4中加入一个新数3之后，新数据组与原数据组相比，下列说法正确的是　　
A．中位数不变，方差变小 B．中位数变大，方差不变
C．中位数变小，方差变小 D．中位数不变，方差不变
6．（3分）（2023春•咸安区期末）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，图中阴影部分的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则矩形的面积为　　

A．11 B．15 C．22 D．24
7．（3分）（2023春•咸安区期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式组的整数解有　　个．

A．4 B．5 C．6 D．7
8．（3分）（2023春•咸安区期末）下面几组数：①7、8、9；②12、9、15；③、、；④、、、均为正整数，．其中能组成直角三角形的三边长的是　　
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）（2022•德城区一模）若，，则　　．
10．（3分）（2023春•咸安区期末）纳米是一种长度单位：1纳米米，已知某植物花粉的直径为1360纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为　　．
11．（3分）（2023•兴化市一模）因式分解：　　．
12．（3分）（2023春•咸安区期末）若关于的分式方程无实数根，则实数的值为　　．
13．（3分）（2023春•咸安区期末）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝（a﹣1）x+1图象上不同的两个点，若，则实数a的取值范围为　　．
14．（3分）（2023春•咸安区期末）如图，一梯子斜靠在竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动，梯子到的位置，则梯子的长度为　　．

15．（3分）（2023春•咸安区期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为　　．

16．（3分）（2023春•咸安区期末）如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，点为中点，则有下列结论：
①与一定互补；
②可以平分；
③当运动到中点时，；
④当时，四边形的面积是．
其中正确的有　　（填写序号）

三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分，请认真读题，冷静思考，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）（2023春•咸安区期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（7分）（2023•涟水县一模）先化简，再从，2，3中选择一个合适的数代入求值．
19．（8分）（2023春•咸安区期末）为倡导节能理念，国家实施了中央财政补贴条例，以支持高效节能电器的推广使用．条例实施后，某款节能空调扇每购买一台，客户可获得财政补贴80元，若用6万元去购买此款空调扇，所购买的台数比条例实施前多，求条例实施前，此款空调扇每台的售价为多少元？
20．（8分）（2023春•咸安区期末）如图，已知的三个顶点在格点上．
（1）作出与关于轴对称的图形△；
（2）中，边上的高的长为　　；
（3）点是轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．

21．（9分）（2023春•咸安区期末）甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图表．

班级
平均数
中位数
众数
甲
7


乙

7
7
（1）写出表格中，，的值：　　，　　，　　；
（2）已知甲班选手进球数的方差为2.6，求乙班选手进球数的方差；
（3）如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球团体第一名，你认为应该选择哪个班比较合适？就你的选择说明理由．
22．（12分）（2023春•咸安区期末）某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业x天累计生产服装的数量为y件，y与x之间的关系如图所示．
（1）这批服装一共有　　件，点A的实际意义是　　；
（2）求增加工人后y与x的函数表达式；
（3）已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70元，从第6天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去成本）

23．（10分）（2023春•咸安区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．

理解：（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是　　（填写序号）；
（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且连接，，求证：四边形是等角线四边形；
运用：（3）如图2，中，已知，，，点为线段的垂直平分线上的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．
24．（12分）（2023春•咸安区期末）如图，已知直线交轴于点，交轴于点，点，是直线上的一个动点，以为边在上方作正方形．
（1）如图1，若顶点恰好落在点处．请直接写出：
①的长为　　；
②点的坐标为　　；
（2）在（1）的条件下，求出直线的函数表达式；
（3）如图2，请画出当正方形的另一顶点也落在直线上的图形，并求出此时点的坐标．



2022-2023学年湖北省咸宁市咸安区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）（2023春•咸安区期末）下列运算错误的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的加法，除法，幂的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、与不能合并，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（3分）（2023春•咸安区期末）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发现之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家　　
A．赵爽 B．祖冲之 C．刘徽 D．杨辉
【答案】
【分析】在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”．
【解答】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．
故选：．

【点评】本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过．
3．（3分）（2020•怀化）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
【分析】首先设这个多边形的边数为，由边形的内角和等于，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：．
故选：．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
4．（3分）（2023春•咸安区期末）平行四边形的对角线和交于点，，，则的长度可能是　　
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】
【分析】由平行四边形的性质得，，根据三角形的三边关系得，则，于是可得到问题的答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点，
，，
，，
，，
，，
，
，
在1、3、5、7四个数值中，可能等于3，
故选：．

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的三边关系等知识，由平行四边形的性质求得，，再根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．
5．（3分）（2023春•咸安区期末）在一组数据：2，2，4，4中加入一个新数3之后，新数据组与原数据组相比，下列说法正确的是　　
A．中位数不变，方差变小 B．中位数变大，方差不变
C．中位数变小，方差变小 D．中位数不变，方差不变
【答案】
【分析】根据中位数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的中位数和方差，从而做出判断．
【解答】解：原数据的中位数是，平均数为，
方差为；
新数据的中位数为3，平均数为，
方差为，
新数据组与原数据组相比，中位数不变，方差变小．
故选：．
【点评】本题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义．
6．（3分）（2023春•咸安区期末）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止．设点运动的路程为，图中阴影部分的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则矩形的面积为　　

A．11 B．15 C．22 D．24
【答案】
【分析】根据图2可得：当时，点与点重合，，当时，点与点重合，，进而可求得矩形的面积．
【解答】解：由图2可知：
当时，点与点重合，，
当时，点与点重合，，
所以矩形的面积为．
故选：．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解决问题的关键是动点变化过程中根据函数图象得矩形的边长．
7．（3分）（2023春•咸安区期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式组的整数解有　　个．

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】先把点代入函数求出的值，再根据函数图象即可直接得出结论．
【解答】解：点在函数的图象上，
，解得，
，
把点代入，可得：，解得：，
所以解析式为：，
把代入，可得：，
所以点，
由函数图象可知，当时，函数和都在轴的上方，且的图象在图象的上方，
不等式组的解集为：，
整数解有4，5，6，7，8共5个．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式组的解集是解答此题的关键．
8．（3分）（2023春•咸安区期末）下面几组数：①7、8、9；②12、9、15；③、、；④、、、均为正整数，．其中能组成直角三角形的三边长的是　　
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【分析】判短一组数能否成为直角三角形的三边长，就是看是不是满足两较小的平方和等于最大边的平方，将题目中的各题一一做出判断即可．
【解答】解：①，
不能成为直角三角形的三边长；
②，
能成为直角三角形的三边长；
③


不能成为直角三角形的三边长；
④



能成为直角三角形的三边长．
②④正确．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时应该是两较短边的平方和等于最长边的平方．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）（2022•德城区一模）若，，则　6　．
【分析】先根据同底数幂的乘法法则把代数式化为已知的形式，再把已知代入求解即可．
【解答】解：，
．
【点评】解答此题的关键是熟知同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即．
10．（3分）（2023春•咸安区期末）纳米是一种长度单位：1纳米米，已知某植物花粉的直径为1360纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为　　．
【答案】．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：那么用科学记数法表示该种花粉的直径为米．
故答案为：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．（3分）（2023•兴化市一模）因式分解：　　．
【答案】．
【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
【解答】解：

，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（3分）（2023春•咸安区期末）若关于的分式方程无实数根，则实数的值为　　．
【答案】．
【分析】根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：方程两边同乘得：，
解得：，
关于的分式方程无实数根，
，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程的解，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
13．（3分）（2023春•咸安区期末）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝（a﹣1）x+1图象上不同的两个点，若，则实数a的取值范围为　a＜1　．
【答案】a＜1．
【分析】首先根据已知条件判断出y1﹣y2与x1﹣x2异号，进一步可知函数的增减性，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵，
∴y1﹣y2与x1﹣x2异号，
∴在一次函数y＝（a﹣1）x+1中，y随x的增大而减小，
∴a﹣1＜0，
解得a＜1，
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
14．（3分）（2023春•咸安区期末）如图，一梯子斜靠在竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动，梯子到的位置，则梯子的长度为　　．

【答案】．
【分析】设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，然后由勾股定理求出的长度．
【解答】解：设，
由题意得：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得：，
，
即梯子的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15．（3分）（2023春•咸安区期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为　20　．

【答案】20．
【分析】由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
是斜边上的中线，
，
菱形的面积，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．
16．（3分）（2023春•咸安区期末）如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，点为中点，则有下列结论：
①与一定互补；
②可以平分；
③当运动到中点时，；
④当时，四边形的面积是．
其中正确的有　①③④　（填写序号）

【答案】①③④．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，正方形性质，得出，且其对应角相等，又根据与互补，推出与互补，判断①；假设平分，得出，这显然不可能，以此判断②；当运动到中点时，根据有股定理求得，根据为中点，可判断③，根据，可得到，当，根据完全平方公式，可得，可求面积判断④．
【解答】解：①由题意可知，，，，
，
，
与互补，
与互补，
故①正确．
②，
且由①知，，
，
，
假设平分，
，
，
，这显然不可能，
不可能平分，
故②不正确．
③当运动到中点时，点是的中点，
，
在中，由勾股定理得，，
在中，为的中点，
，
故③正确．
④，
，
，
，
，
又，
，
，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，关键是能根据正方形的性质找到全等的条件，利用三角形全等的性质和勾股定理解决问题．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分，请认真读题，冷静思考，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）（2023春•咸安区期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0；
（2）．
【分析】（1）先矩形同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再进行同底数幂的除法运算，然后合并即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式

；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．也考查了整式的运算．
18．（7分）（2023•涟水县一模）先化简，再从，2，3中选择一个合适的数代入求值．
【答案】，．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出的值，最后代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式



，
当时，
原式
．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．（8分）（2023春•咸安区期末）为倡导节能理念，国家实施了中央财政补贴条例，以支持高效节能电器的推广使用．条例实施后，某款节能空调扇每购买一台，客户可获得财政补贴80元，若用6万元去购买此款空调扇，所购买的台数比条例实施前多，求条例实施前，此款空调扇每台的售价为多少元？
【答案】880元．
【分析】设条例实施前此款空调扇每台的售价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可．
【解答】解：6万元元，
设条例实施前此款空调扇每台的售价为元，
由题意，得：，
解得：；
经检验：是原方程的解；
答：求条例实施前，此款空调扇每台的售价为880元．
【点评】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键．
20．（8分）（2023春•咸安区期末）如图，已知的三个顶点在格点上．
（1）作出与关于轴对称的图形△；
（2）中，边上的高的长为　　；
（3）点是轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．

【答案】（1）作图见解析部分；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用面积法求解；
（3）连接交轴于点，连接，求出直线的解析式，可得点坐标．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）设边上的高的长为．
则有，
．
故答案为：；
（3）如图，点即为所求．

设直线的解析式为，则有，
解得，
．
【点评】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题，一次函数的应用等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
21．（9分）（2023春•咸安区期末）甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图表．

班级
平均数
中位数
众数
甲
7


乙

7
7
（1）写出表格中，，的值：　7　，　　，　　；
（2）已知甲班选手进球数的方差为2.6，求乙班选手进球数的方差；
（3）如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球团体第一名，你认为应该选择哪个班比较合适？就你的选择说明理由．
【答案】（1）7；7；7；
（2）1.4；
（3）要进入学校个人前3名，应选甲班．
【分析】（1）利用加权平均数、中位数和众数的定义直接求出；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据方差和个人发挥的最好成绩进行选择．
【解答】解：（1）甲班10名同学进球数从小到大排列为：5、5、5、7、7、7、7、8、9、10，故中位数，众数；
乙班10名同学进球平均数为：（个，故．
故答案为：7；7；7；
（2）乙班；
（3）甲方差乙方差，
要争取夺取总进球团体第一名，应选乙班．
甲班有一位百发百中的出色选手，
要进入学校个人前3名，应选甲班．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
22．（12分）（2023春•咸安区期末）某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业x天累计生产服装的数量为y件，y与x之间的关系如图所示．
（1）这批服装一共有　800　件，点A的实际意义是　前5天累计生产的200件服装　；
（2）求增加工人后y与x的函数表达式；
（3）已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70元，从第6天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去成本）

【答案】（1）800，前5天累计生产的200件服装；（2）y＝60x﹣100；（3）前10天的总利润恰好为13500元．
【分析】（1）根据函数图象，即可得出一共有多少件以及A点的意义；
（2）设解析式为y＝kx+b，用待定系数法解之即可；
（3）设前x天总利润为13500，根据题意列出方程即可求解．
【解答】解：（1）根据图象可知，这批服装一共有800件，
点A表示前5天累计生产200件服装，
故答案为：800，前5天累计生产的200件服装．
（2）设增加工人后函数解析式为y＝kx+b，
将A（5，200），B（15，800）代入可得：
，
解得：，
∴y＝60x﹣100．
（3）设前x天总利润恰好为13500，
当x≤5时，y＝40x，
总利润为：（100﹣70）×40x≤6000＜9600，不符合题意；
当x＞5时，
总利润为：6000+（60x﹣100﹣200）（100﹣70﹣5）＝13500，
解得：x＝10．
答：前10天的总利润恰好为13500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，找准等量关系是解题关键．
23．（10分）（2023春•咸安区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．

理解：（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是　②④　（填写序号）；
（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且连接，，求证：四边形是等角线四边形；
运用：（3）如图2，中，已知，，，点为线段的垂直平分线上的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．
【答案】（1）②④；
（2）见解答；
（3）或．
【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理求出的长，即可求解．
【解答】（1）解：矩形、正方形的对角线相等，
矩形和正方形是“等角线四边形”，
故答案为：②④；
（2）证明：连接，，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四边形是等角线四边形；
（3）解：当点在的上方时，如图，

是的中垂线，
，
，，，
，
四边形为等角线四边形，
，
，
；
当点在的下方时，如图，过点作，交的延长线于，

四边形为等角线四边形，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
综上所述：这个等角线四边形的面积为或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，理解等角线四边形的定义并运用是解题的关键．
24．（12分）（2023春•咸安区期末）如图，已知直线交轴于点，交轴于点，点，是直线上的一个动点，以为边在上方作正方形．
（1）如图1，若顶点恰好落在点处．请直接写出：
①的长为　　；
②点的坐标为　　；
（2）在（1）的条件下，求出直线的函数表达式；
（3）如图2，请画出当正方形的另一顶点也落在直线上的图形，并求出此时点的坐标．


【答案】（1）①，②；
（2）直线解析式为；
（3）点的坐标为，或，．
【分析】（1）①，，可得；
②过作轴于，过作轴于，证明，得，，即知，，故；
（2）设直线解析式为，将，代入可得直线解析式为，由设直线解析式为，将代入得直线解析式为；
（3）①当在直线上时，过作轴于，过作轴于，过作于，证明，得，，设，则，，可得，从而，即得，；②当在直线上时，过作轴于，过作轴于，由，得，，设，则，，可得，有，故，．
【解答】解：（1）①，，
，
故答案为：；
②过作轴于，过作轴于，如图：

四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（2）设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
由设直线解析式为，将代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（3）①当在直线上时，过作轴于，过作轴于，过作于，如图：

四边形是正方形，
，，
轴，轴，，
，
，
，
又，
，
，，
设，则，，
，，
，
在直线上，
，
解得，
，；
②当在直线上时，过作轴于，过作轴于，如图：

四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，，
设，则，，
，
，
把代入得：
，
解得，
，，
综上所述，点的坐标为，或，．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．