初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质授课ppt课件

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角的平分线的判定 三角形的角平分线
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图，由 于点 D ， 于点E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上.
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
特别提醒1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2. 角的平分线的判定是由两个条件( 垂线，线段相等) 得到一个结论( 角平分线).3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知 条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．
证明角平分线的“两种方法”(1)定义法：应用角平分线的定义.(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线 上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件： “垂直”和“相等”.
1． 解决课时导入提出的问题.2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q
3．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距 离相等，则点P是(　　) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的 垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
4．如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的 外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正 确的是(　　) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
5．(中考•永州)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD， BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝ S△PCD，则满足此条件的点P(　　) A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的平分线 D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂 直于 AB，BC, CA，垂足分别 为D, E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴ PD=PE. 同理PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
探究思考： 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形得三条角平分线有什么关系？
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心.
1．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(　　) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点O，则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ______________.
3．如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与 ∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到 三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线 AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H. 因为BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线，点 P在BD上， 所以PG＝PH(角的平分线上 的点到角的两边的距离相等)． 同理PF＝PH， 所以PG＝PH＝PF，即点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等．