人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教课内容课件ppt

这是一份人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教课内容课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了导入新课，情景引入，待定系数法，探究归纳，讲授新课，归纳总结，试一试，即a−1，解得a-1，当堂练习等内容，欢迎下载使用。

给我几个点的坐标，我就能求出对应的二次函数解析式，你会吗？
那有什么难的？不就和求一次函数解析式一样的吗？
看到下面的对话，你还记得求一次函数解析式的方法吗？
1. 一次函数 y = kx + b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
2. 求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
(1) 设：解析式(2) 代：坐标代入(3) 解：方程(组)(4) 还原：写出解析式
问题 (1) 由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
由两点 (连线不与坐标轴垂直) 的坐标，可以确定一次函数的解析式；类似地，由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式.
(2) 如果一个二次函数的图象经过 (−1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
故所求二次函数解析式为 y = 2x2 − 3x + 5.
(2) 解：设所求二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c.
由函数图象经过 (−1，10 )，(1，4)，(2，7) 三点，得关于 a，b，c 的三元一次方程组
想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上，其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴.
例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10) 三点，求这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是 y = ax2 + bx + c，由于这个函数经过点 (0，1)，可得 c = 1.又由于其图象经过 (2，4)、(3，10) 两点，可得
∴ 所求的二次函数的解析式是
这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是：① 设函数解析式为 y = ax2 + bx + c；② 代入已知的三点的坐标后得到一个三元一次方程组；③ 解方程组得到 a，b，c 的值；④ 把待定系数用所求得的值换掉，写出函数解析式.
一般式法求二次函数解析式的方法
练一练：下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分：
试求出这个二次函数的解析式.
① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 三点，试求出这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式是 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 代入 y = ax2 + bx + c 得
∴所求的二次函数的解析式是 y = -x2 - 4x - 3.
待定系数法步骤:1.设：解析式2.代：坐标代入3.解：方程(组)4.还原：写出解析式
已知二次函数 y = a(x − 1)2 + 4 的图象经过点 (−1，0)，求这个二次函数的解析式.
则函数解析式为 y = −(x − 1)2 + 4，即 y = −x2 + 2x + 3.
解：把 (−1，0) 代入二次函数解析式得 4a + 4 = 0，
例2 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的解析式.
解：∵ 这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，∴ 可设其解析式为 y = a(x - 8)2 + 9.
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法. 其步骤是：① 设函数解析式是 y = a(x - h)2 + k；② 先代入顶点坐标，得到只含一个参数 a 的解析式；③ 将另一点的坐标代入解析式求出 a 的值；④ 将 a 用所求得的值换掉，写出函数解析式.
练一练 已知一个二次函数有最大值 4，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＜5 时，y 随 x 的增大而增大，且该函数图象经过点 (2，1)，求该函数的解析式．
解：由题意得该二次函数图象的顶点坐标为 (5，4)，
设解析式为 y = a(x − 5)2 + 4，把 (2，1) 代入，得 1 = 9a + 4，
解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴的交点，∴ 可设这个抛物线解析式为 y = a(x + 3)(x + 1).
再把点 (0，-3) 代入上式得
∴ a(0 + 3)(0 + 1) = -3，
∴ 二次函数的解析式是 y = -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3.
问题 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的解析式.
交点法求二次函数解析式的方法
这种已知抛物线与 x 轴的交点，求解析式的方法叫做交点法. 其一般步骤是：① 设函数解析式为 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)；② 将抛物线经过的第三点的坐标代入到解析式中，得到关于 a 的一元一次方程；③ 解方程得出 a 值；④ 将 a 用所求得的数值换掉，写出函数解析式.
例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．(1) 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2；
解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2，
∴ 图象经过另一点 (3，0).
故可设该二次函数的解析式为 y = a(x − 1)(x − 3).
将点 (0，−3)代入，得
−3 = a(0 − 1)(0 − 3)，
∴ 该二次函数的解析式为 y = −(x − 1)(x − 3) = −x2 + 4x − 3.
(2) 图象顶点坐标是 (−2，3)，且过点 (1，−3)；
解：∵ 图象的顶点为 (−2，3)，且经过点 (1，−3)，
∴ 可设抛物线的解析式为 y = a(x + 2)2 + 3.
把 (1，−3) 代入，得 a(1 + 2)2 + 3 = −3.
(3) 如图，图象经过 A，B，C 三点．
解：根据图象可知抛物线 y = ax2 + bx + c经过 A(−1，0)，B(0，−3)，C(4，5) 三点，
∴ 该二次函数的解析式为 y = x2 − 2x − 3.
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是
y = ax2、y = ax2 +k、y = a(x -h)2 与 y = a(x -h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
2. 若抛物线过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其解析式为 .
y = -2x2 + 4x + 4
3. 已知二次函数的图象经过点 (－1，－5)，(0，－4) 和 (1，1)．求这个二次函数的解析式．
解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2 ＋bx＋c.依题意得
∴ 这个二次函数的解析式为 y＝2x2＋3x－4.
4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的解析式．
解：∵ 点 A(－1，0)，B(1，0) 是抛物线与 x 轴的交点，∴ 可设此函数的解析式为 y＝ a(x＋1)(x－1)．又∵抛物线过点 M(0，1)，∴ 1＝ a(0＋1)(0－1)，解得 a＝ －1.∴ 所求抛物线的解析式为 y＝ －(x＋1)(x－1)，即 y＝－x2 ＋1.
5. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的解析式；
解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c，得 16－4b＋c ＝－3，即 c＝4b－19.∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3，即 b＝6. ∴ c＝5.∴ 抛物线的解析式是 y ＝ x2＋6x＋5.
(2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积．
解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称．∵ 点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，∴ 点 C 的横坐标为－7.∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵ 点 B 的坐标为 (0，5)，∴ △BCD 中 CD 边上的高为 12－5＝7.∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28.