专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）（解析版）

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专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）
题型一 直线与平面所成的角
1．（2020•海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
（2）解：如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
，为上的点，，
，，

则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，作，则为平面与平面的交线为，因为，是等腰直角三角形，所以，0，，
则，0，，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，，取，可得，0，，
，，
与平面所成角的正弦值为．
2．（2020•山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．

【解答】解：（1）证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
（2）如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，
设，0，，，0，，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，，取，可得，0，，
，，
与平面所成角的正弦值为
，当且仅当取等号，
与平面所成角的正弦值的最大值为．
3．（2020•天津）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，
（Ⅰ）证明：依题意，，1，，，，，
，；
（Ⅱ）依题意，，0，是平面的一个法向量，
，2，，，0，，
设，，为平面的法向量，
则，即，不妨设，则，，，
，，
，，
二面角的正弦值；
（Ⅲ）依题意，，2，，
由（Ⅱ）知，，，为平面的一个法向量，
，，
直线与平面所成角的正弦值为．
4．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：在平行四边形中，由已知可得，，
，，
由余弦定理可得，
，
则，即，
又，，平面，
而平面，，
，；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，
又平面，平面平面，
且平面平面，
，且平面，平面，
连接，则，
在中，，，，
可得，
又，在中，求得，
取中点，连接，则，可得、、两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，2，，，0，，，
又为的中点，，，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．

5．（2018•浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．

【解答】证明：平面，平面，
，
，，，
，
又，，
，
同理可得：，
又，
平面．
解：取中点，过作平面的垂线，交于，
，，
，，，，
以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，0，，，0，，，，，
，，，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，
，令可得，1，，
．
设直线与平面所成的角为，则．
直线与平面所成的角的正弦值为．


题型二 二面角的平面角及求法
6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：中，，，，所以，所以；
又，，平面，平面，所以平面；
又平面，所以平面平面．
（Ⅱ）解：取的中点，在平面内作，
以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，0，，，，，，1，，，0，，
因为平面，所以平面的一个法向量为，0，，
设平面的一个法向量为，，，
由，2，，，，，
得，即，
令，得，，所以，2，；
所以，，
所以二面角的平面角的余弦值为．
7．（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）不妨设圆的半径为1，，，，，
，
在中，，故，
同理可得，又，
故平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，1，，
故，
设平面的法向量为，
则由，得，取，则，，
所以平面的法向量为，
由（1）可知平面，不妨取平面的法向量为，
故，即二面角的余弦值为．

8．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．

【解答】证明：（1）长方体中，平面，
，，
，平面．
解：（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，平面，，
，，
，，
则，1，，，1，，，1，，，0，，，0，，
，面，
故取平面的法向量为，0，，
设平面的法向量，，，
由，得，取，得，，，
，
二面角的正弦值为．

9．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的正弦值．

【解答】（1）证明：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，1，，，2，，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
又，2，，，2，，
所以，
则，又平面，
故平面；
（2）解：由（1）可知，，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：由（1）可知，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
所以，
故二面角的正弦值为．

10．（2021•北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）求证：点为中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求．

【解答】（1）证明：连结，
在正方体中，，平面，平面，
则平面，因为平面平面，
所以，则，
故，又因为，
所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
所以，，
而点为的中点，所以，
故，则点为的中点；
（2）解：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体边长为2，设点，0，，且，
则，2，，，1，，，1，，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
所以，，故，
设平面的法向量为，
则，即，
所以，，故，
因为二面角的余弦值为，
则，
解得，又，
所以，
故．


11．（2021•乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．

【解答】解：（1）连结，因为底面，且平面，
则，又，，，平面，
所以平面，又平面，则，
所以，又，
则有，所以，
则，所以，解得；
（2）因为，，两两垂直，故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，0，，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．


12．（2021•甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？

【解答】（1）证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，

，，
，即，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，
设，则，0，，
，2，，，1，，
，即．

（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，，
由（1）知，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，，，
，，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小．

13．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．

【解答】（1）证明：如图，过作，则，且，
又，，四边形为平行四边形，则，
由，为中点，得为中点，而为中点，
，，则四边形为平行四边形，则，
，
平面，平面，
平面；
（2）解：以为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，1，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
又平面的一个法向量为，
．
二面角的正弦值为．

14．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

【解答】解：（1）证明：因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）方法一：
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，1，，
设，0，，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
过作，交于点，过作于点，连结，
由题意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以．


15．（2020•江苏）在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．

【解答】解：（1）如图，连接，，为的中点，．

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
，，则．
，0，，，0，，，2，，，0，，
是的中点，，1，，
，．
设直线与所成角为，
则，
即直线与所成角的余弦值为；
（2），，
设，，，则，，，，，，，．
，，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
．
．
16．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．

【解答】（1）证明：在上取点，使得，连接，，，，
在长方体中，有，且．
又，，，．
四边形和四边形都是平行四边形．
，且，，且．
又在长方体中，有，且，
且，则四边形为平行四边形，
，且，
又，且，，且，
则四边形为平行四边形，
点在平面内；
（2）解：在长方体中，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
，，，，，
，1，，，0，，，1，，，1，，
则，，．
设平面的一个法向量为．
则，取，得；
设平面的一个法向量为．
则，取，得．
．
设二面角为，则．
二面角的正弦值为．

17．（2019•天津）如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．

【解答】（Ⅰ）证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．
设，则，2，．
则是平面的法向量，又，可得．
又直线平面，平面；
（Ⅱ）解：依题意，，，．
设为平面的法向量，
则，令，得．
．
直线与平面所成角的正弦值为；
（Ⅲ）解：设为平面的法向量，
则，取，可得，
由题意，，解得．
经检验，符合题意．
线段的长为．

18．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．

（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的二面角的大小．
【解答】证明：（1）由已知得，，，
，确定一个平面，
，，，四点共面，
由已知得，，面，
平面，平面平面．
解：（2）作，垂足为，
平面，平面平面，
平面，
由已知，菱形的边长为2，，
，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，
则，1，，，0，，，0， ，
，0，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，6，，
又平面的法向量为，1，，
，
二面角的大小为．

19．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：在半圆中，，
正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，
平面，则，
，
平面，
平面，
平面平面．
（2）的面积为定值，
要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，
此时为圆弧的中点，
建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
正方形的边长为2，
，，，，1，，，0，，
则平面的法向量，0，，
设平面的法向量为，，
则，2，，，1，，
由，，
令，
则，，即，0，，
则，，
则面与面所成二面角的正弦值．

20．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：连接，
，是的中点，
，且，
又，
，，
则，
则，
，
平面；
（2）建立以坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
，，，，0，，，2，，，0，，
，2，，
设，，，
则，，，，，，，
则平面的法向量为，0，，
设平面的法向量为，，，
则，，，
则，
令，则，，
即，，，
二面角为，
，
即，
解得或（舍，
则平面的法向量，，，
，2，，
与平面所成角的正弦值，．

21．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．

【解答】证明：（Ⅰ）平面，，
，，
平面．
解：（Ⅱ）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，
为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，，，
，0，，，，，
，1，，，
平面的法向量，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
（Ⅲ）直线在平面内，理由如下：
点在上，且．，，，
，，，
平面的法向量，1，，
，
故直线在平面内．