专题02 立体几何中存在性问题的向量解法（高考真题专练）（解析版）

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专题02 立体几何中存在性问题的向量解法
题型一 与平行有关的存在性问题
1．如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明．

【解答】（1）解：设正方体的边长为单位长度，建立如图直角坐标系，
则，，0，，，1，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
又因为平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为；
（2）棱（包含端点）上不存在点，使平面．
证明如下：设的坐标为，1，，
因为的坐标为，1，，
所以，
若在棱（包含端点）上存在点，使平面，
则，
所以，即，这与矛盾，
所以棱（包含端点）上不存在点，使平面．

2．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
（1）若平面，求二面角的大小；
（2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由．

【解答】解：（1）连接，，设交点为，连接，
为正方形，
点为与的中点，
由题意可知，，故，同理，，且，
平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，
，
，
平面，所以平面的一个法向量为，
平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的平面角为锐角，则，则，
二面角的大小为；
（2），设，故，
于是，
平面的一个法向量为，且平面，
，解得，即点为线段的三等分点且靠近点．

3．已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为，试问：在线段上是否存在点，使二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：连接，
四边形为菱形，，
又平面，平面，，
又，平面，
又平面，平面平面；
（2）解：平面，为在平面上的射影，
为直线与平面所成角，则，得，
令，则，
又四边形为菱形，，为等边三角形，得，
取的中点，连接，可得，且，，
以为原点，分别以，，所在直线为，，，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，2，，，0，，，，，2，，
，设，，，
，，三点共线，，则，，，，，
解得，，，，，，
，，，
由（1）知平面，平面的法向量，取，
令平面的法向量为，
则，令，则，
二面角为，，
，解得，
，当时，点与点重合，
存在点即为点时，二面角为．


4．如图：平面，四边形为直角梯形，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

【解答】（Ⅰ）证明：取中点，连接，
因为四边形为直角梯形，，，，
所以四边形为正方形，，因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
于是平面平面．
（Ⅱ）解：因为平面，所以、，
又因为，所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，1，，，，，
设平面的法向量为，，，
，令，，1，，
平面的法向量为，0，，
所以二面角的余弦值为．
（Ⅲ）解：不存在，理由如下：
假设在棱上存在点，使得平面，
令，则，0，，
，0，，由（Ⅱ）知平面的法向量为，1，，
因为平面，所以，解得，与，矛盾，
所以在棱上不存在点，使得平面．

5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）证明：因为四边形为菱形，所以，
又因为，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以．
（Ⅱ）连结．因为，为的中点，所以．
由（Ⅰ）可知平面，所以，．
设，则．如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
则．
所以，．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，，，
则，所以令，则，，得，
所以．
由题知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
（Ⅲ）当点是线段的中点时，平面．理由如下：
因为点平面，所以在线段上存在点，使得平面，等价于．
假设线段上存在点使得平面．
设，则．
所以．
由，解得．
所以当点是线段的中点时，平面，且．


6．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍chú甍méng者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．
（1）求二面角的大小；
（2）求三棱锥的体积；
（3）点在直线上，满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）过点分别作，，分别交，于，，连接，

则为二面角的平面角，
因为四边形为正方形，，
所以，，
由已知得，
所以．
（2）过点作，垂足为．

因为，平面，平面，
所以平面．
因为，，
所以．
因为，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，，平面，
所以平面，
所以为三棱锥的高，．
因为，
所以．
（3）方法一：
假设存在点．
①当点在线段上时，连接交于，

则，
所以．
因为平面，平面，
平面平面，
所以，
所以．
②当点在延长线上时，连接交于，

则，
所以．
因为平面，平面，
平面平面，
所以，
所以．
综上，在直线上存在点，使平面，的值为或．
方法二：
当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点，
因为，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以．
当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点．
因为，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以．
所以．
综上，在上存在点使得平面，此时或．


题型二 与垂直有关的存在性问题
7．如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面．
（1）求二面角的正弦值；
（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在图1中，设，，
，，是的中点，则四边形为正方形，
，
在图2中，设中点为，，平面平面，平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，，，，，，
则有，0，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，1，，
，
则二面角的正弦值为．

（2）假设在直线上是存在点，使平面，且，
则，，，0，，，，
平面的法向量，1，，
，，方程无解，
假设不成立，
在直线上不存在点，使平面．
8．如图所示，在长方体中，，分别是，的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，1，，，0，，，2，，
，1，，，2，，
，，
又平面，平面，
平面．
（2）解：，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，1，，
又，0，是平面的一个法向量，
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
（3）解：假设线段上是否存在点，使得平面，则，
不妨设，则，，，又，0，，，，，
，故存在实数使得，，方程组无解，
故线段上不存在点，使得平面．

9．如图，在直三棱柱中、．，是中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
是的中点，又是的中点，
，又平面，平面，
平面．
（Ⅱ）解：以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，0，，，2，，，1，，
，0，，，，，
，，即，，故，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，，
又，1，为平面的一个法向量，
，，
平面与平面夹角的余弦值为．

10．如图，在长方体中，，，为中点，为中点．
（1）求证：平面；
（2）若线段上存在点使得，求与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：因为为的中点，，则，
又，故，
可得，则有，即，
由为的中点，为的中点，可得底面，又平面，
所以，又，，，平面，所以平面；
（2）解：在长方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，
所以，
设，则，
又，则，
因为，，解得，所以，
故，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，，则，故，
所以，
故与平面所成角的正弦值．

11．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点．已知，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

【解答】（Ⅰ）证明：连接交于，连接．

因为底面是矩形，所以是线段的中点．
又因为是线段的中点，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）解：因为底面，底面，底面，
所以，．
因为底面是矩形，所以，．
如图建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，．
因为是线段的中点，故，1，．
所以，．
设平面的法向量为，
则．
令，则，．
于是．
因为底面，所以为平面的法向量．
因为，所以．
由题知二面角是锐角，所以其余弦值为．

（Ⅲ）解：因为为直线上一点，所以，，，其中．
所以．
又因为，．
所以与垂直等价于．
所以存在点，，，使得与垂直，
此时，，的长为．
12．如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小为，设平面与平面的交线为．
（1）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由；
（2）若点在上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

【解答】解：（1）因为底面为矩形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，平面，
所以，从而．
取中点，连接，，
因为，所以，
因为、分别为矩形对边中点，所以，
所以平面，
因为，所以平面，
故当在点时，平面．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知为二面角的平面角，其大小为，
因为侧面为等腰直角三角形，，
所以，所以，，，，2，，，0，，，2，，
设，，，则，，，，2，，，，，
设平面的法向量为，，，
，令，，0，，
直线与平面所成角的正弦值为，
解得，
所以线段的长为．


题型三 与距离有关的存在性问题
13．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？

【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，
假设在线段上存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为．
可设，则，，，
，0，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则由，得，即有①
，得，即有②
由①②可取，，，
则，由于点到平面的距离可看作在上投影的绝对值，
则为，
解得，，成立．
则在线段上存在一点（不与端点重合），且，
使得点到平面的距离为．

14．如图，长方体中，，为棱中点，为棱中点．
（1）求二面角平面角的大小；
（2）线段上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）取中点，连结、，
在中，为中点，所以，
又侧面底面，平面平面，
平面，所以平面，又平面，
所以，
因为，，，
所以为正方形，所以，又，所以平面，
则为二面角的平面角，
在中，，所以，
所以二面角平面角的大小为；
（2）假设线段上存在点，使得它到平面的距离为，
设，则，
在中，，
在中，，
所以，
由，即，
解得，
所以存在点满足题意，此时．

15．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．
（1）求平面和平面夹角的余弦值；
（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．

【解答】解：（1）取的中点，连接，，则，，
平面，平面，
，，两两垂直，
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，2，，，2，，，2，，，0，，
，2，，，2，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
设平面和平面的夹角为，由图知为锐角，
则，
平面和平面夹角的余弦值为．
（2）假设在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为，
设，，，，则，，，
点到平面的距离为，，
解得（舍或，
在线段上存在点（端点处），使点到平面的距离为．


题型四 与角度有关的存在性问题
16．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为棱上一点，与交于点，且，，，．
（1）证明：；
（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且，
所以为等腰直角三角形，（2分）
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以，（4分）
又因为平面，平面，，
所以平面，
因为平面，
所以．（5分）
（2）因为，，，
所以，即，
因为，平面，平面，，
所以平面，（6分）
如图，以为原点，，，分别为，，，轴建立空间直角坐标系，
由（1）知，故，0，，，，，，，，，（8分）

假设在棱上存在一点满足题意，设，，．
所以，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，
令，解得，故，（9分）
易得平面的一个法向量为，0，，
设二面角为，可知二面角为锐二面角，（11分）
解得，
所以存在满足题意的点，位置在靠近点的三等分点处．（12分）
17．如图1，在直角梯形中，，，，．将沿折起，折起后点的位置为点，得到三棱锥如图2所示，平面平面，直线与平面所成角的正切值为．
（1）求线段的长度；
（2）试判断在线段上是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为平面平面，平面平面，
又平面，，
所以平面，则与平面所成的角为，
又，所以，
因为在直角梯形中，，，
所以，
故，令，
则，解得，
所以，即；
（2）以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
设，0，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
取平面的一个法向量为，
则，
因为二面角的平面角的余弦值为，
故，解得或（舍，
当时，，
故为的四等分点，且．

18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为线段的中点，为线段上的动点．
（1）求证：平面；
（2）是否存在点，使平面与平面所成的锐二面角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1），，
，，又，
平面，平面，，
为正方形，，
又，，平面，平面，
平面，
，为线段的中点，，
又，，平面，平面，
（2）存在定点，使平面与平面所成的锐二面角为
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方形的边长为2，
则，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，
，
设，2，，则，
设平向的一个法向量为，
则，
令，，
设平面的一个法向量为
，
令，则，
平面与平面所成的锐二面角为，
，解得，
当点为中点时，平面与平面所成的锐二面角为．

19．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点．
（1）证明：，，三线共点；
（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面，所成角的正弦值为，若存在，请旨出点的位置，并求二面角的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：且，，共面．设，
则，而面，面；
同理可得面，点在面与面的公共直线上，
即，，三线共点．
（2）解：根据题意可知，，，两两垂直，
以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系：，0，，，0，，，2，，，1，，
故，．
假设满足条件的点存在，
设，2，，，
则，
设平面的法向量为，
则由，
得，
不妨取，则，．
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面的平面角为，
则，
得设平面的法向量为，
则
平面的一个法向量为，
二面角的平面角的余弦值．

20．如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，与平行并且相等，．
（1）证明：；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）证明：，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
；
（2）由（1）可知，平面，且，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，0，，，4，，
，，
设是平面的法向量，
则，令，则，
设，
，，
，
设是平面的法向量，
则，
令，则，，
二面角的平面角余弦值为，
，
，，
故在线段上是否存在点，且．

21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：平面平面，平面平面，，
平面，
平面，，
在直角梯形中，，
，
，，，即，
又，、平面，
平面．
（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，1，，，4，，
，0，，，1，，，4，，
设，，，则，0，
，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，1，，
与平面所成角的正弦值为，
，，
化简得，解得，
故线段上存在点满足题意，且．

22．如图，在四棱锥中，，，，．
（1）证明：平面；
（2）设平面平面，平面，，在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明由．

【解答】（1）证明：在底面中，，，，
所以，，
所以，
故，又，，，平面，
故平面；
（2）解：延长，相交于点，连结，则即为交线，
取的中点，连结，则，
过点在平面内作的垂线，则平面，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
设，，，，则，
故，
所以，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
因为二面角的余弦值为，
所以，
化简整理可得，解得或（舍，
故在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，此时的值为．

23．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是和的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求异面直线与之间的距离；
（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，，，0，，，2，，
则，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为
（2）取的中点，连结，，
因为，分别为，的中点，则，
又平面，平面，
所以平面，
则点到平面的距离即为异面直线与之间的距离，
设点到平面的距离为，
在中，，，所以，
在中，，
由等体积法，，
所以，即，
解得，
故异面直线与之间的距离为；
（3）假设存在点，2，满足条件，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
平面的一个法向量为，
由题意可知，二面角的大小为，
所以，
解得或（舍，
所以棱上存在一点，使得二面角的大小为，此时的长为．

24．如图，三棱柱所有的棱长为2，，是棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在线段是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）证明：连接，
，，是中点，
，
又，，，
，，平面，
平面．
（2）由（1）知，，两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，1，，，，，，0，，，1，，
，2，，
假设，，
，
取平面的法向量，0，，直线与平面所成角为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
整理得，
由，解得．

25．如图，四棱锥的底面为菱形，，平面，且，分别为，的中点，点为棱上一动点．
（1）证明：平面平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，试确定的位置；若不存在，说明理由．

【解答】（1）证明：连接
底面为菱形，，为等边三角形，
为的中点，，
又，，
平面，平面，，
，、平面，
平面，而平面，
平面平面；
（2）解：由（1）知，、、两两垂直，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．
设，则，0，，，，，，1，，
，2，，，0，，，1，，，0，，
，，，，
设，，
则，
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
二面角的正弦值为，二面角的余弦值为．
即，
整理得：，解得或．
故为线段的中点或为线段靠近点的五等分点．

26．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点．
（1）求证：；
（2）棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：取的中点，连接、、，
，且，△为等边三角形，
得，
四边形为正方形，且、分别是、的中点，
，
，、平面，平面，
平面，；
（2）解：平面平面，
且平面平面，
，平面，平面，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，2，，，0，，，0，，，2，，
设为平面的一个法向量，
由，取，得；
假设棱上（除端点外）存在点满足题意，
令，得，，，
设为平面的一个法向量，
则由，取，得．
由，解得或，
点为棱的中点，或者为棱的八等分点（靠近端）．