专题04 直线的倾斜角与斜率（高考真题专练）（解析版）

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专题04 直线的倾斜角与斜率

题型一 概念理解（多选）
1．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有　　
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【解答】解：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故正确；
但由于和轴垂直的直线倾斜角等于，故它的斜率不存在，故错误；
若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为不一定是，如时，此时，直线的倾斜角为．
若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故正确，
故选：．
2．下列叙述正确的是　　
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
【解答】解：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故错误．
由于直线倾斜角的取值范围是，故正确．
若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为，故正确．
与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，故正确，
故选：．
3．三条直线，，构成三角形，则的取值可以是　　
A． B．1 C．2 D．5
【解答】解：三条直线，，构成三角形，
故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．
而直线和交于原点，无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以，，
故选：．
4．如果，，那么直线经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：如果，，
所以、、都不等于0，
所以整理得，
所以该直线经过第一，二，三象限，
故选：．

题型二 求值问题
5．已知直线，则该直线的倾斜角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线，即，
则该直线的斜率为，故直线的倾斜角为，
故选：．
6．直线绕点逆时针旋转至直线，则直线的斜率为　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：如图示：
，
设直线的倾斜角是，则，
设直线的倾斜角是，则，
故，解得：，
故选：．
7．已知点为直线上一动点，点，当取得最小值时为坐标原点），直线的斜率为　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：当取得最小值时，直线的方程与直线垂直，
则过点与直线垂直的直线方程为，
由，
解得，，
，
，
故选：．
8．若正三角形的一条角平分线所在直线的斜率为2，那么这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为　　，　　．
【解答】解：正三角形的一条角平分线所在直线的斜率为2，那么设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为、，且，
则，解得，，
故答案为：．
9．直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的直线方程　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线直线的斜率等于，设倾斜角等于，即，
绕它与轴的交点，逆时针旋转，
所得到的直线的倾斜角等于，故所求直线的斜率为，，
故所求的直线方程为，即，
故选：．
10．已知两条直线，，为何值时，与
（1）相交？
（2）平行？
（3）垂直？
【解答】解：（1）由，解得，．
，时，两条直线相交．
（2）由，解得，．
经过验证：时两条直线重合，舍去．
时，两条直线平行．
（3）时，两条直线不垂直．
时，由两条直线相互垂直可得：，解得．
时两条直线相互垂直．
11．已知直线和，问实数为何值时，分别有：
（1）与相交？（2）？（3）与重合？
【解答】解：（1）直线和，
与相交，
，
解得，．
（2）直线和，
与平行，
，
解得．
（3）直线和，
与重合，
，
解得．

题型三 直线中的最值问题
12．一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线的方程：
（1）它的倾斜角的正弦值为；
（2）与、轴的正半轴交于、两点，且的面积最小为坐标原点）．
【解答】解：（1）设直线的倾斜角为，，，
由，得，
，
即，
直线方程为，即或，
（2）设直线在，轴上的截距为，，可设直线方程为，
由题意得，
，当且仅当时，即，取等号，
，
的面积．
直线方程为，即．
13．已知，直线与互相垂直，则的最小值为　4　．
【解答】解：由题意，，即

当时，的最小值为4．
14．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：正的顶点，且顶点在第一象限，
顶点的坐标为，，
可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率，
当运动到点时，直线的斜率最大，
的最大值为
故选：．
15．已知点，，直线与线段有公共点，则的最大值为　　．
【解答】解：由得，
在的几何意义是过定点的直线斜率，
由图象知，的斜率最大，
则的斜率，
即的最大值为，
故答案为：

16．已知直线．
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【解答】解：（1）直线，即，
它不经过第四象限，
，求得，即的取值范围为，．
（2）直线交轴的负半轴于点，，交轴的正半轴于点，，
为坐标原点，设的面积为，则，
当且仅当时，即时，取等号，故的最小值为16，此时，，直线．
17．已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为，当时，的最小值是　8　．
【解答】解：直线中，令，得，
令，得，
所以直线与坐标轴的交点为，，其中，
所以的面积为，
当且仅当，即时取等号．
所以的最小值是8．
故答案为：8．
18．过点且与点距离最大的直线方程是　　．
【解答】解：过点且与点距离最大的直线满足：．
，
．
直线的方程 为：，化为．
故答案为：．
19．直线过点且斜率为，将直线绕点按逆时针方向旋转得直线，若直线和分别与轴交于，两点．
（1）用表示直线的斜率；
（2）当为何值时，的面积最小？并求出面积最小时直线的方程．
【解答】解：（1）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
，
直线的方程为，
（2）直线的方程为
令，得，

，

由得舍去），
当时，
的面积最小，最小值为，
此时直线的方程是．

题型四 直线斜率的取值范围问题
20．已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是　　
A． B．，，
C．， D．，，
【解答】解：点，，过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
的斜率为，的斜率为，
直线的斜率或，
故选：．

21．直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值为　　
A．0 B．1 C． D．2
【解答】解：直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值．
故选：．
22．设点，，若直线与线段有交点，则的取值范围是　　
A．， B．， C．，， D．，，
【解答】解：直线，经过定点，它与线段有交点，
而的斜率为，的斜率为，
故直线的斜率 满足 或，
求得 或，
故选：．
23．已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是　，　．
【解答】解：直线与坐标轴的交点为、，
的斜率为，的斜率为，
过点的直线与直线的交点位于第一象限，
故直线的斜率的取值范围是，，
故答案为：，．
24．直线与相交于第二象限，则的斜率的取值范围是　　．
【解答】解：直线与相交于第二象限，
由，可得，，求得，
故答案为：．
25．已知线段的端点，，直线过原点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 　，，　．
【解答】解：如图示：

或，
，，或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
26．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．或
【解答】解：由直线可知直线过定点，
又，，如图，

，，
直线和以，为端点的线段相交，
则的取值范围为，，，
的取值范围是：，，，
故选：．
27．已知点在直线上，点在直线上，，为的中点，且，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：直线与平行，
点的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，
其方程为，
即点，满足，而满足不等式的点在直线的上方，
易得直线与的交点为，，
故问题转化为求射线（不含端点）上的点，与坐标原点连线斜率．
即的取值范围，故，．
故选：．
28．已知点，，直线过点且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为　，，　．
【解答】解：如图，

，．
直线的斜率的取值范围为，，．
故答案为：，，．

29．已知直线及两点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是　　．
【解答】解：直线，可得直线经过定点，
，．
若直线与线段有公共点，，或，
解得或．
则的取值范围是．
故答案为：是．
30．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，，且，则的取值范围是　，，　．
【解答】解：点在直线上，点在直线上，线段的中点为，，
直线与平行，
点的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，
其方程为，图中直线．
即点，满足，而且满足不等式，
故的轨迹是一条线段，如图：
则，即线段上的点与原点连线的斜率．
由，可得，；
由，可得，，
的斜率为2，的斜率为，故则的范围为，，，
故答案为：，，．

31．直线的倾斜角的取值范围为　　．
【解答】解：①当时，斜率不存在，即倾斜角为；
②当时，直线的斜率
，或，
即直线的倾斜角的取值范围为，，
综上，直线的倾斜角的取值范围为．
故答案为．
32．直线的斜率为，若，则直线的倾斜角的范围是　，，　．
【解答】解：直线的斜率为，倾斜角为，若，
所以，
所以，，．
故答案为：，，．
33．已知，满足直线．
（1）求原点关于直线的对称点的坐标；
（2）当，时，求的取值范围．
【解答】解：（1）设原点关于直线的对称点的坐标为，
则满足，解得，，故；
（2）当，时，的几何意义为到点的斜率的取值范围．
当时，，当时，，
由可得，，
从而，，
的范围为，，