专题13 圆锥曲线常考题型01——直线与圆锥曲线的位置关系中的常见问题及求解策略（解析版）

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专题13 直线与圆锥曲线的位置关系中的常见问题及求解策略
直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、求最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法．
题型一 交点个数问题
1．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为　　
A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个
【解答】解：由题意可得：，即，
点是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，
椭圆的长半轴3，短半轴为2，
圆内切于椭圆，
点是椭圆内的点，
过点的一条直线与椭圆的公共点数为2，
故选：．
2．直线与曲线　　
A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点
【解答】解：当时，曲线方程可化为：①
将代入①得：，解得或，，
即此时直线与曲线有两个交点；
当时，曲线方程可化为：①
将代入①得：，解得（舍去）或，，
即此时直线与曲线有一个交点；
综上所述直线与曲线有三个交点
故选：．
3．直线与双曲线的交点个数最多为　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个的交点，与双曲线的渐近线不平行时有2个交点．
故选：．
4．给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是　　
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【解答】解：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点，在椭圆内，对照选项故选．
5．直线与曲线交点的个数为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：若，由，可得，
解得或，均满足题意，
所以直线与半椭圆有两个交点；
若，由，可得，
解得，满足题意，
所以直线与半双曲线有一个交点．
综上所述，直线与曲线交点的个数为3个．
故选：．
6．给定四条曲线中与直线仅有一个交点的曲线是　　
A． B． C． D．
【解答】解：圆心到直线的距离为等于半径，故满足题意．
联立方程，整理得，．△，故不满足题意．
联立方程．整理得，．△，故满足题意．
联立方程，整理得，，△．故满足题意．
故选：．
7．直线与曲线交点的个数为　2　．
【解答】解：当时，曲线方程化为，双曲线的渐近线方程为：，
与直线没有交点．
当，曲线方程化为，直线过，，，
所以当时，直线与曲线的交点个数为2个．
所以，直线与曲线的交点个数共2个．
故答案为：2．


题型二 与位置关系有关的求参问题
8．直线与双曲线没有交点，则的取值范围为　　
A．， B． C．， D．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为：，
根据双曲线的性质可知直线与双曲线没有交点，满足．
故选：．
9．在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线与圆没有交点，则双曲线离心率的取值范围是　　．
【解答】解：双曲线渐近线为，与圆没有公共点，
圆心到渐近线的距离大于半径，即，
，
由．
．
故答案为：．
10．已知双曲线的左焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：已知双曲线的右焦点为，
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
，离心率，
，
故选：．
11．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是　，　．
【解答】解：根据题意得抛物线的准线为，
当时，曲线为椭圆在轴及上方一部分，
所以，
因为抛物线的准线与曲线只有一个交点，
所以，解得，
当时，曲线为双曲线在轴上方一部分，
此时，
所以符合题意，
综上所述，的取值范围为，．
故答案为：，．
12．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为，直线，由题意可得，即；
又因为，所以；
又因为双曲线离心率，所以双曲线离心率，，
故选：．
13．过点（1，2）且与双曲线没有交点的直线l斜率的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣2，+∞）
【解答】解：由题意l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），
与双曲线方程联立，
消去y，并整理得（4﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣8＝0，
若4﹣k2＝0，即k＝±2，
当k＝2时，方程即为﹣4＝0，方程无解，直线l与双曲线无交点，符合题意；
当k＝﹣2是，方程即为16x﹣20＝0，方程有一个解，此时直线l与双曲线有一个交点，不符合题意；
若4﹣k2≠0，∵过点P（1，2）直线l与双曲线没有交点，
∴△＝[2（k2﹣2k）]2﹣4（4﹣k2）（﹣k2+4k﹣8）＝64（﹣k+2）＜0，
解得k＞2．
综上所述，直线l斜率的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
14．若线段与椭圆没有交点，则实数的取值范围是　或　．
【解答】解：线段与椭圆没有交点，
线段在椭圆的内部或外部，
线段在椭圆的内部时，，；
线段在椭圆的外部时，代入可得，
△，，．
综上所述，或．
故答案为：或．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为坐标原点）．若直线与的左支有交点，则的离心率的取值范围为 　，　．
【解答】解：如图所示，连接，因为，所以，所以，
当直线与过第二、四象限的渐近线平行时为临界状态，此时，
，
又在直角三角形中，，所以，，
由双曲线的定义可得，即，即，
所以，所以当直线与的左支有交点时，即，
所以的离心率的取值范围是，．
故答案为：，．

16．已知曲线及直线．
（1）若与左支交于两个不同的交点，求实数的取值范围；
（2）若与交于、两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值．
【解答】解：（1）由消去，得．
与左支交于两个不同的交点
且，
的取值范围为，
（2）设，、，，
由（1）得，．
又过点，
．
，即．
或．
17．在平面直角坐标系中，已知点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由已知可得，
由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，焦距长为，长轴长为4的椭圆，
所以，，则，
所以轨迹的方程为；
（2）联立方程，消去整理可得：，
因为直线与椭圆有公共点，则△，
解得，
故实数的取值范围为．

题型三 与中点弦有关问题
18．（1）若双曲线的一条渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．
（2）一组平行直线与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．
【解答】解：（1）若焦点在轴上，易得双曲线的标准方程为
若焦点在轴上，双曲线的标准方程为
（2）设与椭圆的两交点，，， 的中点为，
则，
两式相减得：
即即
又，消去得
所以弦的中点的轨迹方程为
19．已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若斜率为1的直线交双曲线于，两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程．
【解答】解：（1）由题意可设双曲线的标准方程为：，．
椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为．
，，，
联立解得，，．
双曲线的标准方程为．
（2）设直线的方程为：，，，，．
设线段的中点坐标为，，
则，，．
由，，相减可得：，
代入可得：，解得．
代入直线的方程为：，解得．
故直线的方程为：．
20．直线与抛物线交于，两点，且．
（1）证明经过的焦点，并求的值；
（2）若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．
【解答】解：（1）证明：由抛物线的方程可得焦点坐标为，，且直线经过，
所以可证直线过抛物线的焦点，
设，，，，
联立，整理可得：，
则，
所以，
可得；
（2）由（1）可得的方程，
设，，，则，
两式相减得：，
因为，
所以的斜率为：．
21．已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为2．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程．
【解答】解：（1）设，
直线，相交于，且它们的斜率之积为2，
，
则动点的轨迹方程为；
（2）由（1）得的轨迹方程为，
设点，，，，则有①，②，
①②得：，
，为的中点，
，，
直线的斜率，
直线的方程为，即．
22．设，为双曲线上的两点，中点为，求
（1）直线的方程；
（2）的面积为坐标原点）．
【解答】解：（1）方法一：设，，，，
则，
两式相减可得，
，
中点为，
，，
，
，
直线方程为，即
方法二：依题意，设，，，，
可设直线的方程为，
代入，整理得①
，则是方程①的两个不同的根，
，且，
由是的中点得，
，
解得，
直线的方程为；
（2）由（1）可知直线的方程为，
代入，整理得，解得，，
，，
，
点到直线的距离，
．

题型四 与弦长有关的问题
23．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，因为圆的圆心，半径为2，
双曲线的一条渐近线被圆所截弦长为2，
所以圆的圆心到直线的距离为，整理可得，
所以双曲线的离心率为：．
故选：．
24．椭圆被直线截得的弦长为　　．
【解答】解：将直线代入椭圆的方程，整理得
设直线与椭圆的交点为，，，．
，
椭圆被直线截得的弦长为
故答案为：．
25．已知，分别为椭圆的左、右焦点，，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于，两点，若，则弦长　　．
【解答】解：因为，所以，即，
因为，
所以，
所以，
因为过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于，两点，
所以，
故答案为：．
26．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，，线段的中点为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）经过坐标原点的直线与轨迹交于，两点，与抛物线交于点，若，求直线的方程．
【解答】解：（1）由题意知过焦点的直线的斜率不为0，由题意，，设直线的方程为
由得，即，
设，，，，则，，
设，则，，
消去参数得，动点的轨迹方程为．
（方法二）设，，，，，则，，，
当时，，即，
依题意，，，
所以，，
当时，的中点为也满足上式，
所以，动点的轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，
由，得，或，即，
由，得，，
设，，，，则，，，
由，得，
解得，，直线的方程为．
27．已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图，已知为抛物线上过焦点的任意一条弦，弦的中点为，垂直与抛物线准线交于点，若，求直线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线定义得，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抛物线方程为，
设直线的方程：，与抛物线联立，消去，整理得，
设，，，，则，，
由弦长公式，
弦中点，，
故弦的垂直平分线方程为，令，得，则，
故点到直线的距离，
所以，
解得，
所以直线方程为．