专题15 圆锥曲线常考题型03——定点问题（解析版）

这是一份专题15 圆锥曲线常考题型03——定点问题（解析版），共23页。试卷主要包含了已知抛物线，设，和，是抛物线上的两点，且等内容，欢迎下载使用。
专题15 圆锥曲线常考题型03——定点问题
圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点．求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
1．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，，，两点，且，，为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线过定点．

【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为：，
再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，
所以由题意可得，解得，
所以抛物线的方程为：；
（2）证明：设直线的方程为，，
联立，整理可得：，
可得：，，
，，
解得，
所以直线的方程为：，
所以直线恒过定点．
2．已知抛物线．
（1）若与圆在第一象限内交于，两点，求直线的方程；
（2）直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点．
【解答】解：（1）联立，解得或，
故，可得直线的方程为，即，
（2）证明：由题意，可设直线方程为，，，，，，，
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，
由题意，可设直线方程为，
，化简整理可得，，
，解得，
方程为，
直线必过点，
为定点，即得证．
3．设，和，是抛物线上的两点，且．
（Ⅰ）若，求直线的方程；
（Ⅱ）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点．
【解答】解：（Ⅰ），和，是抛物线上的两点，且，
由，可得，，，
则，或，
可得直线的方程为，
即为；
或，即为；
（Ⅱ）证明：由题意可得，，
相减可得，
可得的斜率，
，可得中点的横坐标为5，
可得的垂直平分线方程为，
即为，
可得，，
则线段的垂直平分线过定点，．
4．已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点．
【解答】解：（Ⅰ）因为曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1，
所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，
所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，
所以曲线的方程为．
（Ⅱ）证明：根据题意当的斜率部位0时，设直线方程为，，，，，
联立，可得，
所以，，
，
因为以线段为直径的圆过点，
所以，
所以，，，即（舍去）或，
所以直线的方程为，即，
所以直线经过定点．
当的斜率为0时，由对称性知，，此时也过，
所以直线经过定点．
综上直线经过定点．
5．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点．
（1）求抛物线的标准方程和准线方程；
（2）若，证明：直线恒过定点．

【解答】（1）解：设抛物线的方程为，则
代入，可得，
抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）证明：设，，，，则直线方程，
方程，
联立直线方程与抛物线方程，消去，得，
①
同理②
而直线方程为，③
，
由①②③，整理得．
由且，得，，故直线经过定点．
6．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心，，过点作 轴，垂足为，则，
，
，化为．
当时，也满足上式．
动圆圆心的轨迹的方程为．
（Ⅱ）设，，，
由题意可知，，．
轴是的角平分线，，
，，化为．
直线的方程为，
，化为，
化为，
，令，则，
直线过定点

7．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为．
（1）求；
（2）已知直线与相交于，两点，过点作平行于轴的直线交直线于点．问：直线是否过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，
圆可得圆心，半径，
到圆的最大距离为：，
由题意可得，，
解得：；
（2）由（1）得抛物线的方程为：，
设，，，，
联立，整理可得：，
，，
由题意可得，，
所以直线的方程为：，
令，可得，
所以直线恒过轴上的一定点．
8．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．
【解答】解：（1）设，，，，
联立，整理可得：，
所以可得，，
进而可得，
由，可得：，
即，可得，
所以抛物线的方程为：；
（2）证明：设，，，，，，
由，，三点共线可得，，即，
整理可得：，
所以，
同理可得，，三点共线，，
所以直线的方程：，
整理可得：，
将，的值代入直线方程可得：，
所以解得：，
所以直线过定点．
9．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，，，四点，且线段、线段的中点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1）因为动点到点的距离为，到直线距离为，且，
则动点到点的距离等于到直线的距离，
所以点的轨迹为抛物线，其焦点坐标为，
故曲线的方程为；
（2）设，的方程分别为，，
联立方程组，可得，
所以，
则，同理可得，
所以，
由，
所以，
则直线的方程为，
整理可得，
故直线恒过定点．
10．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
【解答】解：（1）设，根据题意可得，
化简得曲线的方程为．
（2）证明：设，，，，
①若直线，都存且不为零，
设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得，
当时，这个方程变为只有一解，
直线与曲线只有一个交点，不合题意，
当时，△，
直线与曲线恒有两个交点，
由韦达定理，，
故线段的中点为，，
同理，线段的中点为，，
若，则，
直线的方程为，
即，
此时，直线恒过点．
若，则，或，，直线的方程为，
此时直线过点，
②若直线，中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在，
不妨设的斜率为0，则直线，，
此时，直线的方程为，
此时，直线也过点，
综上，直线也过点．
11．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且．求证：直线过定点．
【解答】（Ⅰ）解：因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故曲线的方程为；
（Ⅱ）证明：设直线，，，，，
联立方程组，可得，
所以，，
所以，，，
因为线段为直线的圆过点，
所以为直角三角形，
故有，
所以，
化简可得，
又因为，，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，解得或，
因为直线不过原点，所以，
故，
所以直线，
令，则，
所以直线恒过定点．
12．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由离心率为，且，得，，
即双曲线方程为．
又点在双曲线上，，
解得，，
双曲线的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，
设，，，，
则由，得，
即，解得，不符合题意，故直线的斜率存在．
不妨设直线的方程为，代入，
整理得，△．
设，，，，则，
由，得，即，
整理得，
，
整理得：，即，
或．
当时，直线的方程为，经过定点；
当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意．
综上，直线过定点．
13．设是椭圆上异于长轴顶点，的任意一点，过作的切线与分别过，的切线交于，两点．已知，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）以为直径的圆是否过轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由．
【解答】解：（1）由题可知，
解得，，
所以，
所以的方程为．
（2）设，，由于是异于长轴顶点，的任意一点，故切线斜率存在．
设过的椭圆的切线为，联立方程，
得，△，
结合，解得过点的切线方程为．
由于分别过，的切线分别为，，
解得，的坐标为，，
在轴上取点，则，，
所以，
当时，，
所以，以为直径的圆过轴上的定点为，．
14．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
【解答】解：（1）椭圆的焦距为，离心率为，
，即，
又椭圆离心率为，
，
，
，
故椭圆的方程为：．
（2）设，，，，
联立，消去整理得：，
所以△，，
所以，，
因为，
所以，，，
所以，
整理得：，
解得：或（舍去），
所以直线过定点．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，设点，在△中，，周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】（1）解：由，
，①
又△的周长为，
，②
联立①②，解得，
椭圆方程为；
（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，，，，
由，，，
得，此时，重合，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程：，
交点，，，，
由．
，
依题：，
，，
，
．
直线方程为：，
则过定点．

16．已知斜率为的直线经过点与抛物线，为常数）交于不同的两点，，当时，弦的长为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1）斜率为的直线经过点，
直线方程为，
联立，得，
△，即（舍或．
设，，，，则，，
弦的长为，
，
整理，得，
解得或（舍，
抛物线的标准方程为．
（2）设的方程为，代入抛物线的方程，可得
设，，，，，，则，
由，
直线的方程为，
，
可得，
，

直线的方程为
可得，
，，
直线过定点．
17．过点的动直线与抛物线相交于、两点，已知当的斜率为时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设圆，已知，是抛物线上的两动点，且直线，都与圆相切是坐标原点），求证：直线经过一定点，并求出该定点坐标．
【解答】解：（1）由题意可得直线的方程为，
设，，，，
联立，整理可得，
所以，，
所以，①
，②
因为，所以，，，
所以③
由①②③可得，
所以抛物线的方程为；
（2）证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
设，，，，
联立直线与抛物线的方程可得，
所以，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
因为直线，都与圆相切，圆心到直线，的距离相等，
所以，整理可得，
代入可得，所以，
所以直线的方程为，
所以直线恒过定点．
18．从抛物线上任意一点向轴作垂线段，垂足为，点是线段上的一点，且满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与轨迹交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1）设，，，则点的坐标为，．
因为，
所以，，，（2分）
即，（3分）
因为点在抛物线上，
所以，即．
所以点的轨迹的方程为．（5分）
（2）以为直径的圆过轴上的定点和．
理由如下：
设直线与曲线的交点坐标为，，
由得．
由韦达定理得，．（7分）
设点，则．
所以直线的方程为．
令，得点的坐标为．（9分）
同理可得点的坐标为．（10分）
如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．
因为．
所以．
即，解得或．
故以为直径的圆过轴上的定点和．（12分）
19．已知椭圆的右焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆的右焦点为，且经过点．
可得，，
则椭圆方程为；
（Ⅱ）证明：与椭圆方程联立，可得，
设，，，，
△，，，
的方程为，令，可得，即，；
的方程为，令，可得．即，．

，
，即为，
即有，由，解得，满足△，
即有直线方程为，恒过原点．
20．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上，
又的横坐标为1，椭圆必不过，
，，三点在椭圆上．
把，代入椭圆，得：
，解得，，
椭圆的方程为．
证明：（2）证法一：①当斜率不存在时，设，，，
直线与直线的斜率的和为，
，
解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设，，，，，，
联立，整理，得，
，，
则
，又，
，此时△，存在，使得△成立，
直线的方程为，
当时，，
过定点．
证法二：将坐标系向上平移一个单位，如图：

椭圆方程化为，即，
设直线对应的直线为，
则化齐次联立，得：，
整理得，
结合两直线斜率之和为，得，
，
直线恒过点，
在原坐标系中，直线过点．
21．已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左，右焦点，过斜率不为零的直线交椭圆于，两点，△的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于，两点，试判断以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意，，因为，所以，
而，所以，
故椭圆的方程为：，
（2）由（1）知，设的方程为：，代入得：，
设，，，，则，，
因为，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，
所以，
同理可得，
若以为直径的圆过长轴上定点，则，
设，，则，，
于是对任意实数恒成立，
所以，
而
所以，
解得或，
因为，所以，
以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，且定点为．
22．已知平面内的两点，，，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为．
（1）求的方程．
（2）设是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，，若直线，斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【解答】解：（1）设，由直线与直线的斜率乘积为，
可得，
化为，
即为；
（2）证明：设直线，
则，
即，
设，，，，而，
，，
则由，
得，
则，
即，
整理得，解得或（舍去），
所以直线，
知直线恒过点，．
23．已知的两个顶点，的坐标分别是，，且直线，的斜率之积是．
（1）是否存在定点，，使得为定值？
（2）设点的轨迹为，点，，是上互异的三点，且，关于轴对称，．求证：直线恒过定点．
【解答】解：（1）设，由已知得，，，，
则，得，
化简得：，
由椭圆的定义可知，存在定点定点，，使得为定值．
（2）证明：由于，，是上互异的三点，所以，，斜率存在，
由条件，．得．
设的方程为，，，，，
将代入，
消去得，即，
得，，
由，
展开，
整理得，
解得（舍去）或．
所以过定点，．