专题17 圆锥曲线常考题型05——圆锥曲线中的存在性问题与面积问题（解析版）

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专题17 圆锥曲线中的存在性问题与面积问题
题型一 圆锥曲线中的存在性问题
1．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，
可得右焦点，即，
由题意可得，解得，，
即有椭圆的方程为；
（Ⅱ）假设椭圆上存在关于直线对称的两点、，
可设的方程为，
代入椭圆方程，可得
，
即有△，即，
解得，
设，，，，
可得，
即有的中点坐标为，，
代入直线，可得，
即有，，
则存在，，且的方程为．
2．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：，
证明如下：
假设存在符合条件的圆，且此圆为，
当直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，整理可得：，
因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，
所以△，
即，
由方程组得，
则△，
设，，，，
则，，
设直线，直线的斜率为，，
所以

，
将，代入上式得
，
要使得以为定值，则，即，
所以当圆的方程为时，
圆与的斜率不存在时，由题意知的方程为，
此时圆与的交点，也满足以为定值，
综上，当圆的方程为时，圆与的交点，满足定值．
3．已知抛物线，为坐标原点，抛物线上是否存在，两点关于点对称，若存在，求的面积；若不存在，说明理由．
【解答】解：设存在满足题意的点，其点的坐标为：，，
由中点坐标公式可得，，
点在抛物线上，则：，
解方程可得：，
由对称性，不妨取，则：，
直线的方程为，即，
坐标原点到直线的距离：，
易知．
4．已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为
，从而有，解得，，
又，所以，故椭圆的方程为．
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，
由得，
因为直线与椭圆有公共点，所以有△，解得，
另一方面，由直线与的距离，从而，
由于，，所以符合题意的直线不存在．
5．已知椭圆的右焦点为，点为椭圆的上顶点，过点与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线的倾斜角为，且与椭圆交于，两点，问是否存在这样的直线使得？若存在，求的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，
根据题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）由题及（Ⅰ）知，，
假设存在直线满足题意，设直线的方程为，，，，，
联立方程组，可得，
由，解得，
由题意可知点为的重心，
所以，即，
解得，
当时，不满足，
所以不存在直线，使得．
6．已知圆，圆的弦过点，连接，，过点且与平行的直线与交于点，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于，两点，试探究是否存在定点，使得为定值．
【解答】解：（1）因为，所以，因为，
所以，又因为，
由椭圆的定义可知点的轨迹是以，，为焦点的椭圆，
则，，所以，，，
所以的方程为，
（2）假设存在点，满足题意，
设直线的方程为：，，，，，
联立方程，消去整理可得：，
所以，，
所以，，
所以
，，
，
因为为定值，所以与无关，
所以，解得，此时，
所以存在点，使得为定值．
7．已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由的面积为，则，得，所以，
又点在椭圆上，①
因为是椭圆的焦点，所以②
由①②解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（2）假设存在直线满足题意，
因为的斜率，设的方程为，
联立方程组，整理得，
△，解得，
设，两点的坐标为，，，，则，，
以为直径的圆的方程为，
该圆经过原点，所以，
又，
所以，
解得，经检验满足题意，
所以存在直线满足题意，此时直线的方程为．
8．已知椭圆的短轴长为2，过点，的直线倾斜角为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点且斜率为的直线，使直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得，所以，，所以，
所以椭圆的方程为：；
（2）假设存在这样的直线，设直线的方程为：，设，，，，
联立直线与椭圆，整理可得：，
△，即，
，，
，
以为直径的圆过点，则，
即，，，
所以，
整理可得：，
即，
解得：符合判别式大于0，
所以直线的方程为：．
9．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题可知，解得，，．
所求的方程为；
（2）设存在定点，并设，，，．
由，消可得．
，．
，，即．
，整理为．
．
可得．
即，．
存在定点满足题意．
10．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，
由题意可得，，解得，
所以，
故椭圆的方程为；
（2）由（1）可知，，
假设在轴上存在一点，使得恒为常数．
①当直线与轴不垂直时，设其方程为，设，，，，
联立方程组，可得，
所以，，
故


，
因为是与无关的常数，
则有，即，
此时；
②当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为，，
当时，亦有．
综上所述，在轴上有在定点，使得恒为常数，这个常数为．
11．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．
（1）若直线垂直于轴，求；
（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；
（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意，，当轴时，则，，得；
（2）设，，，
，
又在椭圆上，满足，即，
，解得，即．
直线，
联立，解得，；
（3）设，，，，，，
直线，
则，
．
联立，得．
则，．
由直线的方程：，得纵坐标；
由直线的方程：，得的纵坐标．
若，即，
，
，，
代入根与系数的关系，得，解得．
存在直线或满足题意．

12．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．
（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程．
（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）
【解答】解：联立，不妨取，，
由曲线可得：，
曲线在点处的切线斜率为，其切线方程为：，化为．
同理可得曲线在点处的切线方程为：．
存在符合条件的点，下面给出证明：
设满足．，，，，直线，的斜率分别为：，．
联立，化为，
，．
．
当时，，直线，的倾斜角互补，
．
点符合条件．
13．如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于、两点．是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得，，
又，且，
，解得，，
椭圆的方程为：；
（Ⅱ）结论：存在常数，使得为定值．
理由如下：
对直线斜率的存在性进行讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，，，
联立，消去并整理得：，
△，
，，
从而


．
当时，，
此时为定值；
②当直线的斜率不存在时，直线即为直线，
此时；
故存在常数，使得为定值．

题型二 圆锥曲线中的面积问题
14．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△的面积．
【解答】解：（1）根据题意，椭圆焦点为，，
则椭圆的焦点在轴上，且；
又由椭圆经过点，则，
即，
则，
又由椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为；
（2）根据题意，由（1）的结论：椭圆的标准方程为，则，
又由椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2，设，则有，
解可得：，，
又由，
则为直角三角形，其面积；
故△的面积为6．
15．已知抛物线的焦点为，并且经过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）过原点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求的面积．
【解答】解：（1）把点代入抛物线，
可得，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）抛物线的焦点为，过原点作倾斜角为的直线方程为，
联立，解得或．
不妨设，．
则的面积为，
所以所求的面积为2．
16．已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点在第二象限，，求△的面积．

【解答】解：（1）依题意得，
又，
，
，
，
．
所求椭圆的方程为．（3分）
（2）设点坐标为，
，
所在直线的方程为，
即．（4分）
解方程组
并注意到，，可得（6分）
．（8分）
17．已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率．过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点．
（1）求实数的值；
（2）求为原点）面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，，，
因为离心率，
所以，
因为，
所以，解得．
（2）由（1）知，椭圆，上焦点，
设，，，，直线的方程为：，
联立，得，
所以，，
所以
，
所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以为原点）面积的最大值为．
18．已知点，，动点满足与的斜率之积等于，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设过坐标原点的直线与交于，两点，且四边形的面积为，求的方程．
【解答】解：（1）设，由题意可得，
化为，
可得的方程为；
（2）当直线的斜率不存在，即直线方程为，
可得四边形的面积为，不符题意，舍去；
设直线方程为，代入方程，可得，，
由，关于原点对称，可得四边形的面积为，
解得，
即有直线的方程为．
19．已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）．
（1）求抛物线方程并证明是定值；
（2）若，的面积比是，求直线的方程．

【解答】解：（1）由题知，故，
抛物线方程为，
设直线的方程为，，，，，
，得，
，，

，
．
（2），
由（1）知，可求得，，
故，
的方程为，即．
20．椭圆与抛物线的公共弦长为，且椭圆的离心率为，点为椭圆上一动点（非长轴端点），，为椭圆的左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程．
【解答】解：（1）由椭圆和抛物线的对称性可设、交点的坐标为，和，，
由两曲线的公共弦长为，可得，
代入抛物线 得，
将点 代入椭圆方程得，①，
离心率为 可得②，
联立①，②可得，，即椭圆方程为：．
（2）由题意可知，且点不是长轴端点，
因此可设直线的方程为：，，，，，
联立直线方程和椭圆方程可得：，
△恒成立，，
原点到直线的距离，
则点到直线的距离为，
，
解得或 （舍去），
即直线的方程为．
21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为8．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若点，是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点是椭圆的下顶点，求四边形的面积．
【解答】解：（1）由题意，解得，
，
则该椭圆的标准方程为；
（2）点的坐标为，，，
又点的坐标轴为，，
．

22．已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于点，点是线段的中点．
（Ⅰ）求抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线，
所以抛物线的准线方程为；
（Ⅱ）设直线的方程为，
联立直线与抛物线的方程，即，可得，
设，，，，
所以，
故，
所以，，
将点坐标带入圆方程可得，解得，
根据抛物线的对称性，不妨设，
联立方程组，可得，
则，
所以，
又点到直线的距离为，
故．
23．李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点，处，，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹，当笔尖运动到点处时，经测量此时，且△的面积为4．
（1）以，所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹的方程（铅笔大小忽略不计）；
（2）若直线1与轨迹交于，两点，且弦的中点为，求的面积．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义知，故．
在△中，，假设，，
又△的面积为，
，故，
，，
椭圆的标准方程为．
（2）设，，，，
弦的中点为，
， 且．
又，均在椭圆上，
，得，
即．
．
，
故直线的方程为：．
联立，整理得．
得，，，，
． 的面积为4．
24．已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求的离心率；
（2）如果存在点，使得，且△的面积等于16，求的值和的取值范围．
【解答】解：（1）连接，由为等边三角形可知在△中，
，，，于是，
故曲线的离心率．
（2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：，
，，
即，①
，②
，③
由②③及得，又由①知，故，
由②③得，所以，从而，故，
当，时，存在满足条件的点．
所以，的取值范围为，．
25．已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
【解答】解：（1）证明：的导数为，
设切点，，，，即有，，
切线的方程为，即为，
切线的方程为，
联立两切线方程可得，
可得，即，
直线的方程为，
即为，
可化为，
可得恒过定点；
（2）法一：设直线的方程为，
由（1）可得，，
中点，
由为切点可得到直线的距离即为，
可得，
解得或，
即有直线的方程为或，
由可得，四边形的面积为；
由，可得，
此时到直线的距离为；
到直线的距离为，
则四边形的面积为；
法二：
（2）由（1）得直线的方程为．
由，可得．
于是，，，
．
设，分别为点，到直线的距离，则，．
因此，四边形的面积．
设为线段的中点，则．
由于，而，与向量平行，所以．解得或．
当时，；当时，．
综上，四边形的面积为3或．
26．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4．
（1）求；
（2）若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
【解答】解：（1）点到圆上的点的距离的最小值为，解得；
（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，，，则易得，从而得到，
设，联立抛物线方程，消去并整理可得，
△，即，且，，
，
，，
①，
又点在圆上，故，代入①得，，
而，，
当时，．
27．设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于，直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程．
【解答】（Ⅰ）解：设的坐标为．
依题意可得，
解得，，，于是．
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（Ⅱ）解：直线的方程为，设直线的方程为，
联立方程组，解得点，故．
联立方程组，消去，整理得，解得，或．
，．
直线的方程为，
令，解得，故，．
．
又的面积为，，
整理得，解得，．
直线的方程为，或．
28．平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．
求证：点在定直线上；
直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．

【解答】解：由题意可得，抛物线的焦点为，
即有，，
解得，，
可得椭圆的方程为；
（Ⅱ）证法一：设，，可得，
由的导数为，即有切线的斜率为，
则切线的方程为，
可化为，代入椭圆方程，
可得，
△，可得．
设，，，，
可得，即有中点，，
直线的方程为，可令，可得．
即有点在定直线上；
证法二、如图：

设，切线的方程为，
设，，，，
则，，
两式相减可得，
可得，
则，即直线，
再令，可得，
所以点在定直线上；
直线的方程为，令，可得，
则；
，
则，
令，则
，
则当，即时，取得最大值，
此时点的坐标为，．