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2020年人教版八年级下册期末试卷二 数学（含答案解析）
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这是一份2020年人教版八年级下册期末试卷二 数学（含答案解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，四象限D．当x=时，y=1，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级（下）期末数学试卷 二
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一组数据：9，8，8，6，9，5，7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．下列各比值中，是直角三角形的三边之比的是（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：6 D．1：：2
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C．3+=3 D．=﹣2
5．如图，在▱ABCD中，∠A=140°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
6．鞋店老板去进货时，他必须了解近期各种尺码的鞋销售情况，他应该最关心统计量中的（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
7．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，另一组对边相等
8．关于正比例函数y=﹣3x，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x=时，y=1
9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
10．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A出发向点B运动时，矩形CDOE的周长（ ）
A．逐渐变大 B．不变 C．逐渐变小 D．先变小后变大
二、填空题（共6个小题，每小题4分，满分24分）
11．在函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12．若一组数据1，3，x，4，5，6的平均数是4，则这组数据的众数是 ．
13．将函数y=的图象向上平移 个单位后，所得图象经过点（0，1）．
14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
15．如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 ．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH= ．
三、解答题（一）（共3个小题，每小题6分，满分18分）
17．计算：（2+）（2﹣）+（﹣）÷．
18．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出y＜2时x的取值范围．
19．某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如下表：（单位：分）
应聘者
阅读能力
思维能力
表达能力
甲
85
90
80
乙
95
80
95
（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用？
（2）若将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1：3：1的比确定每人的最后成绩，谁将被录用？
四、解答题（二）（共3个小题，每小题7分，满分21分）
20．如图，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=l2，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长．
21．甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．
根据以上信息，整理分析数据如下：
队员
平均/环
中位数/环
众数/环
甲
7
b
7
乙
a
7.5
c
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
22．如图，▱ABCD中E，F分别是AD，BC中点，AF与BE交于点G，CE和DF交于点H.
求证：四边形EGFH是平行四边形．
五、解答题（三）（共3个小题，每小题9分，满分27分）
23．某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2元收费．如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨2元收费，超过部分按每吨2.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）分别写出当每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式；
（2）若某用户5月份和6月份共用水45吨，且5月份的用水量不足20吨，两个月共交水费95元，求该用户5月份和6月份分别用水多少吨？
24．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA=BC．
（1）证明：四边形DEFG为菱形；
（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．
25．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB=15，对角线AC所在直线解析式为y=﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含分母，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．已知一组数据：9，8，8，6，9，5，7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据这组数据是从大到小排列的，找出最中间的数即可．
【解答】解：∵9，8，8，6，9，5，7，从大到小排列为9，9，8，8，7，6，5，
∴处于最中间的数是8，
∴这组数据的中位数是8；
故选：C．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可．
3．下列各比值中，是直角三角形的三边之比的是（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：6 D．1：：2
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、∵x+2x=3x，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵（2x）2+（3x）2≠（4x）2，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵（3x）2+（4x）2≠（6x）2，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵x2+（x）2=（2x）2，∴∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C．3+=3 D．=﹣2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵不能合并，故选项A错误，
∵=6，故选项B正确，
∵3+不能合并，故选项C错误，
∵=2，故选项D错误，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
5．如图，在▱ABCD中，∠A=140°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
【分析】根据平行四边形的性质，邻角互补，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=140°，
∴∠B=40°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
6．鞋店老板去进货时，他必须了解近期各种尺码的鞋销售情况，他应该最关心统计量中的（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
【解答】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店老板最关心的统计量应该是众数．
故选：A．
【点评】此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行，另一组对边相等
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、四边形可能是等腰梯形，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
8．关于正比例函数y=﹣3x，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x=时，y=1
【分析】根据正比例函数的性质直接解答即可．
【解答】解：A． 图象经过原点，错误；
B． y随x的增大而减小，错误；
C、图象经过第二、四象限，正确；
D． 当x=时，y=﹣1，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系，难度不大．
9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
【分析】12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7，即可利用勾股定理得出EF的值．
【解答】解：∵AE=5，BE=12，即12和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=12﹣5=7，
∴EF=；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
10．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A出发向点B运动时，矩形CDOE的周长（ ）
A．逐渐变大 B．不变
C．逐渐变小 D．先变小后变大
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C的坐标为（m，﹣m+4）（0≤m≤2），根据矩形的周长公式即可得出C矩形CDOE=4，此题得解．
【解答】解：设点C的坐标为（m，﹣m+4）（0＜m＜4），
则CE=m，CD=﹣m+4，
∴C矩形CDOE=2（CE+CD）=8（当m=0或4时，C与A或B重合，2AO或2BO=8）．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C的坐标是解题的关键．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，满分24分）
11．在函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0，
解得，x≥﹣1．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．若一组数据1，3，x，4，5，6的平均数是4，则这组数据的众数是 5 ．
【分析】根据题意可以求得x的值，从而可以求的这组数据的众数．
【解答】解：∵一组数据1，3，x，4，5，6的平均数是4，
∴，
解得，x=5，
∴这组数据是1，3，5，4，5，6，
∴这组数据的众数是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查众数、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用众数的知识解答．
13．将函数y=的图象向上平移 3 个单位后，所得图象经过点（0，1）．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，可设新函数解析式为y=+b，然后将点（0，1）代入其中，即可求得b的值．
【解答】解：设平移后的解析式是：y=+b．
∵此函数图象经过点（0，1），
∴1=﹣2+b，
解得b=3．
故答案是3．
【点评】本题主要考查一次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5cm；
∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
15．如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 8 ．
【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
【解答】解：∵BD=AD，BE=EC，
∴DE=AC=2.5，DE∥AC，
∵CF=FA，CE=BE，
∴EF=AB=1.5，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=8．
故答案为：8
【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH= ．
【分析】先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD=DH•AB，再解关于DH的方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB==5，
∵S菱形ABCD=•AC•BD，
S菱形ABCD=DH•AB，
∴DH•5=•6•8，
∴DH=．
故答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
三、解答题（一）（共3个小题，每小题6分，满分18分）
17．计算：（2+）（2﹣）+（﹣）÷．
【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式可以解答本题．
【解答】解：（2+）（2﹣）+（﹣）÷
=4﹣3+2﹣
=3﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出y＜2时x的取值范围．
【分析】（1）将（﹣2，0）、（2，2）两点代入y=kx+b，解得k，b，可得直线l的解析式；
（2）根据函数图象可以直接得到答案．
【解答】解：（1）将点（﹣2，0）、（2，2）分别代入y=kx+b，得：，
解得．
所以，该一次函数解析式为：y=x+1；
（2）由图象可知，当y＜2时x的取值范围是：x＜2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．
19．某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如下表：（单位：分）
应聘者
阅读能力
思维能力
表达能力
甲
85
90
80
乙
95
80
95
（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用？
（2）若将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1：3：1的比确定每人的最后成绩，谁将被录用？
【分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算即可；
（2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可．
【解答】解：（1）∵=（85+90+80）÷3=85（分），
=（95+80+95）÷3=90（分），
∴＜，
∴乙将被录用；
（2）根据题意得：
==87（分），
==86（分）；
∴＞，
∴甲将被录用．
【点评】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．
四、解答题（二）（共3个小题，每小题7分，满分21分）
20．如图，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=l2，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长．
【分析】先由勾股定理求得AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴，
∵CD=12，AD=13，
∵AC2+CD2=52+122=169，
AD2=169，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠C=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE=．
【点评】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，能根据勾股定理的逆定理判断出△ADC是直角三角形是解答此题的关键．
21．甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．
根据以上信息，整理分析数据如下：
队员
平均/环
中位数/环
众数/环
甲
7
b
7
乙
a
7.5
c
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
【分析】（1）利用加权平均数的计算公式、中位数、众数的概念解答；
（2）利用方差的计算公式求出S甲2，根据方差的性质判断即可．
【解答】解：（1）a=（3+6+4+8+7+8+7+8+10+9）=7，b=7，c=8；
（2）S甲2=×[（5﹣7）2×1+（6﹣7）2×2+（7﹣7）2×4+（8﹣7）2×2+（9﹣7）2×1]=1.2，
则S甲2＜S乙2，
∴甲队员的射击成绩较稳定．
【点评】本题考查的是加权平均数、方差的计算，掌握加权平均数的计算公式、方差的计算公式是解题的关键．
22．如图，▱ABCD中E，F分别是AD，BC中点，AF与BE交于点G，CE和DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．
【分析】可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=AD，FC=BC，
∴AE∥FC，AE=FC．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴GF∥EH．
同理可证：ED∥BF且ED=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴GE∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点评】考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
五、解答题（三）（共3个小题，每小题9分，满分27分）
23．某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2元收费．如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨2元收费，超过部分按每吨2.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）分别写出当每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式；
（2）若某用户5月份和6月份共用水45吨，且5月份的用水量不足20吨，两个月共交水费95元，求该用户5月份和6月份分别用水多少吨？
【分析】（1）分别根据：未超过20吨时，水费y=2×相应吨数；超过20吨时，水费y=2×20+超过20吨的吨数×2.5；列出函数解析式；
（2）设该户居民5月份用水x吨，则6月份用水量为（45﹣m）吨，然后依据两个月共交水费95元列方程求解即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y=2x；
当x＞20时，y=2×20+2.5（x﹣20）=2.5x﹣10；
（2）设该户居民5月份用水x吨，则6月份用水量为（45﹣m）吨，．
根据题意，得：2m+2.5（45﹣m）﹣10=95，
解得：m=15．
答：该户居民5月份用水15吨，6月份用水量为30吨．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用；得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键．
24．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA=BC．
（1）证明：四边形DEFG为菱形；
（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．
【分析】（1）利用三角形中位线定理推知ED∥FG，ED=FG，则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形，同理得EF=HA=BC=DE，可得结论；
（2）AC=AB时，四边形DEFG为正方形，通过证明△DCB≌△EBC（SAS），得HC=HB，证明对角线DF=EG，可得结论．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴ED∥BC，ED=BC．
同理FG∥BC，FG=BC，
∴ED∥FG，ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵AE=BE，FH=BF，
∴EF=HA，
∵BC=HA，
∴EF=BC=DE，
∴▱DEFG是菱形；
（2）解：猜想：AC=AB时，四边形DEFG为正方形，
理由是：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CD=AC，BE=AB，
∴CD=BE，
在△DCB和△EBC中，
∵，
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DBC=∠ECB，
∴HC=HB，
∵点G、F分别为HC、HB的中点，
∴HG=HC，HF=HB，
∴GH=HF，
由（1）知：四边形DEFG是菱形，
∴DF=2FH，EG=2GH，
∴DF=EG，
∴四边形DEFG为正方形．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、三角形的中位线性质定理，三角形中线的性质及等腰三角形的性质，其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．
25．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB=15，对角线AC所在直线解析式为y=﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点C的坐标确定b的值，利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题；
（2）在Rt△BCD中，BC=9，BD=AB=15，KDCD==12，TCOD=15﹣12=3，设DE=AE=x，在Rt△DEO中，根据DE2=OD2+OE2，构建方程即可解决问题；
（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．利用待定系数法求出直线BE′的解析式即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AB=15，四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=15，
∴C（0，15），代入y=y=﹣x+b得到b=15，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+15，
令y=0，得到x=9，
∴A（9，0），B（9，15）．
（2）在Rt△BCD中，BC=9，BD=AB=15，
∴CD==12，
∴OD=15﹣12=3，
设DE=AE=x，
在Rt△DEO中，∵DE2=OD2+OE2，
∴x2=32+（9﹣x）2，
∴x=5，
∴AE=5．
（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．
∵E（4，0），
∴E′（﹣4，0），
设直线BE′的解析式为y=kx+b，则有，
解得，
∴直线BE′的解析式为y=x+，
∴P（0，）．
【点评】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．
八年级（下）期末数学试卷 二
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一组数据：9，8，8，6，9，5，7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．下列各比值中，是直角三角形的三边之比的是（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：6 D．1：：2
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C．3+=3 D．=﹣2
5．如图，在▱ABCD中，∠A=140°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
6．鞋店老板去进货时，他必须了解近期各种尺码的鞋销售情况，他应该最关心统计量中的（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
7．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，另一组对边相等
8．关于正比例函数y=﹣3x，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x=时，y=1
9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
10．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A出发向点B运动时，矩形CDOE的周长（ ）
A．逐渐变大 B．不变 C．逐渐变小 D．先变小后变大
二、填空题（共6个小题，每小题4分，满分24分）
11．在函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12．若一组数据1，3，x，4，5，6的平均数是4，则这组数据的众数是 ．
13．将函数y=的图象向上平移 个单位后，所得图象经过点（0，1）．
14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
15．如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 ．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH= ．
三、解答题（一）（共3个小题，每小题6分，满分18分）
17．计算：（2+）（2﹣）+（﹣）÷．
18．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出y＜2时x的取值范围．
19．某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如下表：（单位：分）
应聘者
阅读能力
思维能力
表达能力
甲
85
90
80
乙
95
80
95
（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用？
（2）若将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1：3：1的比确定每人的最后成绩，谁将被录用？
四、解答题（二）（共3个小题，每小题7分，满分21分）
20．如图，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=l2，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长．
21．甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．
根据以上信息，整理分析数据如下：
队员
平均/环
中位数/环
众数/环
甲
7
b
7
乙
a
7.5
c
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
22．如图，▱ABCD中E，F分别是AD，BC中点，AF与BE交于点G，CE和DF交于点H.
求证：四边形EGFH是平行四边形．
五、解答题（三）（共3个小题，每小题9分，满分27分）
23．某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2元收费．如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨2元收费，超过部分按每吨2.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）分别写出当每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式；
（2）若某用户5月份和6月份共用水45吨，且5月份的用水量不足20吨，两个月共交水费95元，求该用户5月份和6月份分别用水多少吨？
24．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA=BC．
（1）证明：四边形DEFG为菱形；
（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．
25．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB=15，对角线AC所在直线解析式为y=﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含分母，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．已知一组数据：9，8，8，6，9，5，7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据这组数据是从大到小排列的，找出最中间的数即可．
【解答】解：∵9，8，8，6，9，5，7，从大到小排列为9，9，8，8，7，6，5，
∴处于最中间的数是8，
∴这组数据的中位数是8；
故选：C．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可．
3．下列各比值中，是直角三角形的三边之比的是（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：6 D．1：：2
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、∵x+2x=3x，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵（2x）2+（3x）2≠（4x）2，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵（3x）2+（4x）2≠（6x）2，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵x2+（x）2=（2x）2，∴∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C．3+=3 D．=﹣2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵不能合并，故选项A错误，
∵=6，故选项B正确，
∵3+不能合并，故选项C错误，
∵=2，故选项D错误，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
5．如图，在▱ABCD中，∠A=140°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
【分析】根据平行四边形的性质，邻角互补，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=140°，
∴∠B=40°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
6．鞋店老板去进货时，他必须了解近期各种尺码的鞋销售情况，他应该最关心统计量中的（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
【解答】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店老板最关心的统计量应该是众数．
故选：A．
【点评】此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行，另一组对边相等
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、四边形可能是等腰梯形，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
8．关于正比例函数y=﹣3x，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x=时，y=1
【分析】根据正比例函数的性质直接解答即可．
【解答】解：A． 图象经过原点，错误；
B． y随x的增大而减小，错误；
C、图象经过第二、四象限，正确；
D． 当x=时，y=﹣1，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系，难度不大．
9．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，则EF的长是（ ）
A．7 B．8 C．7 D．7
【分析】12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7，即可利用勾股定理得出EF的值．
【解答】解：∵AE=5，BE=12，即12和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=12﹣5=7，
∴EF=；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
10．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A出发向点B运动时，矩形CDOE的周长（ ）
A．逐渐变大 B．不变
C．逐渐变小 D．先变小后变大
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C的坐标为（m，﹣m+4）（0≤m≤2），根据矩形的周长公式即可得出C矩形CDOE=4，此题得解．
【解答】解：设点C的坐标为（m，﹣m+4）（0＜m＜4），
则CE=m，CD=﹣m+4，
∴C矩形CDOE=2（CE+CD）=8（当m=0或4时，C与A或B重合，2AO或2BO=8）．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C的坐标是解题的关键．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，满分24分）
11．在函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0，
解得，x≥﹣1．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．若一组数据1，3，x，4，5，6的平均数是4，则这组数据的众数是 5 ．
【分析】根据题意可以求得x的值，从而可以求的这组数据的众数．
【解答】解：∵一组数据1，3，x，4，5，6的平均数是4，
∴，
解得，x=5，
∴这组数据是1，3，5，4，5，6，
∴这组数据的众数是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查众数、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用众数的知识解答．
13．将函数y=的图象向上平移 3 个单位后，所得图象经过点（0，1）．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，可设新函数解析式为y=+b，然后将点（0，1）代入其中，即可求得b的值．
【解答】解：设平移后的解析式是：y=+b．
∵此函数图象经过点（0，1），
∴1=﹣2+b，
解得b=3．
故答案是3．
【点评】本题主要考查一次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5cm；
∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
15．如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 8 ．
【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
【解答】解：∵BD=AD，BE=EC，
∴DE=AC=2.5，DE∥AC，
∵CF=FA，CE=BE，
∴EF=AB=1.5，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=8．
故答案为：8
【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH= ．
【分析】先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD=DH•AB，再解关于DH的方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB==5，
∵S菱形ABCD=•AC•BD，
S菱形ABCD=DH•AB，
∴DH•5=•6•8，
∴DH=．
故答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
三、解答题（一）（共3个小题，每小题6分，满分18分）
17．计算：（2+）（2﹣）+（﹣）÷．
【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式可以解答本题．
【解答】解：（2+）（2﹣）+（﹣）÷
=4﹣3+2﹣
=3﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
18．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出y＜2时x的取值范围．
【分析】（1）将（﹣2，0）、（2，2）两点代入y=kx+b，解得k，b，可得直线l的解析式；
（2）根据函数图象可以直接得到答案．
【解答】解：（1）将点（﹣2，0）、（2，2）分别代入y=kx+b，得：，
解得．
所以，该一次函数解析式为：y=x+1；
（2）由图象可知，当y＜2时x的取值范围是：x＜2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．
19．某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如下表：（单位：分）
应聘者
阅读能力
思维能力
表达能力
甲
85
90
80
乙
95
80
95
（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用？
（2）若将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1：3：1的比确定每人的最后成绩，谁将被录用？
【分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算即可；
（2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可．
【解答】解：（1）∵=（85+90+80）÷3=85（分），
=（95+80+95）÷3=90（分），
∴＜，
∴乙将被录用；
（2）根据题意得：
==87（分），
==86（分）；
∴＞，
∴甲将被录用．
【点评】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．
四、解答题（二）（共3个小题，每小题7分，满分21分）
20．如图，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=l2，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长．
【分析】先由勾股定理求得AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴，
∵CD=12，AD=13，
∵AC2+CD2=52+122=169，
AD2=169，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠C=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE=．
【点评】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，能根据勾股定理的逆定理判断出△ADC是直角三角形是解答此题的关键．
21．甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．
根据以上信息，整理分析数据如下：
队员
平均/环
中位数/环
众数/环
甲
7
b
7
乙
a
7.5
c
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
【分析】（1）利用加权平均数的计算公式、中位数、众数的概念解答；
（2）利用方差的计算公式求出S甲2，根据方差的性质判断即可．
【解答】解：（1）a=（3+6+4+8+7+8+7+8+10+9）=7，b=7，c=8；
（2）S甲2=×[（5﹣7）2×1+（6﹣7）2×2+（7﹣7）2×4+（8﹣7）2×2+（9﹣7）2×1]=1.2，
则S甲2＜S乙2，
∴甲队员的射击成绩较稳定．
【点评】本题考查的是加权平均数、方差的计算，掌握加权平均数的计算公式、方差的计算公式是解题的关键．
22．如图，▱ABCD中E，F分别是AD，BC中点，AF与BE交于点G，CE和DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．
【分析】可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=AD，FC=BC，
∴AE∥FC，AE=FC．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴GF∥EH．
同理可证：ED∥BF且ED=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴GE∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点评】考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
五、解答题（三）（共3个小题，每小题9分，满分27分）
23．某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2元收费．如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨2元收费，超过部分按每吨2.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）分别写出当每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式；
（2）若某用户5月份和6月份共用水45吨，且5月份的用水量不足20吨，两个月共交水费95元，求该用户5月份和6月份分别用水多少吨？
【分析】（1）分别根据：未超过20吨时，水费y=2×相应吨数；超过20吨时，水费y=2×20+超过20吨的吨数×2.5；列出函数解析式；
（2）设该户居民5月份用水x吨，则6月份用水量为（45﹣m）吨，然后依据两个月共交水费95元列方程求解即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y=2x；
当x＞20时，y=2×20+2.5（x﹣20）=2.5x﹣10；
（2）设该户居民5月份用水x吨，则6月份用水量为（45﹣m）吨，．
根据题意，得：2m+2.5（45﹣m）﹣10=95，
解得：m=15．
答：该户居民5月份用水15吨，6月份用水量为30吨．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用；得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键．
24．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA=BC．
（1）证明：四边形DEFG为菱形；
（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．
【分析】（1）利用三角形中位线定理推知ED∥FG，ED=FG，则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形，同理得EF=HA=BC=DE，可得结论；
（2）AC=AB时，四边形DEFG为正方形，通过证明△DCB≌△EBC（SAS），得HC=HB，证明对角线DF=EG，可得结论．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴ED∥BC，ED=BC．
同理FG∥BC，FG=BC，
∴ED∥FG，ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵AE=BE，FH=BF，
∴EF=HA，
∵BC=HA，
∴EF=BC=DE，
∴▱DEFG是菱形；
（2）解：猜想：AC=AB时，四边形DEFG为正方形，
理由是：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CD=AC，BE=AB，
∴CD=BE，
在△DCB和△EBC中，
∵，
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DBC=∠ECB，
∴HC=HB，
∵点G、F分别为HC、HB的中点，
∴HG=HC，HF=HB，
∴GH=HF，
由（1）知：四边形DEFG是菱形，
∴DF=2FH，EG=2GH，
∴DF=EG，
∴四边形DEFG为正方形．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、三角形的中位线性质定理，三角形中线的性质及等腰三角形的性质，其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．
25．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB=15，对角线AC所在直线解析式为y=﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点C的坐标确定b的值，利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题；
（2）在Rt△BCD中，BC=9，BD=AB=15，KDCD==12，TCOD=15﹣12=3，设DE=AE=x，在Rt△DEO中，根据DE2=OD2+OE2，构建方程即可解决问题；
（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．利用待定系数法求出直线BE′的解析式即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AB=15，四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=15，
∴C（0，15），代入y=y=﹣x+b得到b=15，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+15，
令y=0，得到x=9，
∴A（9，0），B（9，15）．
（2）在Rt△BCD中，BC=9，BD=AB=15，
∴CD==12，
∴OD=15﹣12=3，
设DE=AE=x，
在Rt△DEO中，∵DE2=OD2+OE2，
∴x2=32+（9﹣x）2，
∴x=5，
∴AE=5．
（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．
∵E（4，0），
∴E′（﹣4，0），
设直线BE′的解析式为y=kx+b，则有，
解得，
∴直线BE′的解析式为y=x+，
∴P（0，）．
【点评】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．
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