北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程同步测试题

这是一份北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程同步测试题，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2.4用因式分解法解一元二次方程
一、单选题
1．方程的根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
此题考查一元二次方程的解法；此题适合于用因式分解法．
【解析】
解：原方程可化为：，
选A．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【解析】
，
，
，
或，
或，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．
3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（ ）
A．∵，∴或
B．∵，∴或
C．∵，∴或
D．∵，∴
【答案】A
【解析】
∵，∴或，A选项正确，符合题意；由于使用因式分解法解方程时方程右边须为0，故B，C选项错误；∵，∴或，故D选项错误．
4．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（ ）；
A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法
B．因式分解法、公式法、公式法、配方法
C．配方法、因式分解法、配方法、公式法
D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法
【答案】D

【分析】
对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便.
【解析】
解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；
方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；
方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；
方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.
故选D.
【点睛】
本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.
5．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（　　）
A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．5
【答案】C
【分析】
由已知的方程进行换元a= x2+y2转化为一元二次方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可
【解析】
设a= x2+y2，则原方程可化为a2+2a﹣15=0，
∴(a+1)2=16，解得：a=3或a=﹣5，
又∵a≥0，∴a= x2+y2=3.
故选C.
【点睛】
解此题的关键在于利用换元法将原方程简化.
换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化.
6．若x，y都是负数，且，则的值是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】
将x+y看作一个整体，把已知等式进行因式分解即可求出x+y的值．
【解析】
解：，
∴，
即，
可得或．
∵x，y都是负数，
∴x+y＜0，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解题的关键是利用整体思想，掌握因式分解法．
7．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为(　　)
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
【答案】B
【分析】
先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．
【解析】
∵关于的一元二次方程的两根为，
∴或
∴整理方程即得：
∴
将代入化简即得：
解得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．
8．阅读理解：解方程．解：（1）当时，原方程可以化为，解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），∴原方程的解为．那么方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据绝对值的定义当x≥1时方程为x2-x+1-1=0，求出方程的解；当x＜1时方程为x2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案．
【解析】
当x≥1时，方程为x2-x+1-1=0，
∴x1=0（舍去），x2=1；
当x＜1时，方程为x2+x-1-1=0，
∴x1=-2，x2=1（舍去），
∴方程的解是x1=-2，x2=1．
故选：B．
【点睛】
此题考查绝对值，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解题的关键．
9．已知3是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ）
A．7 B．10 C．10或11 D．11
【答案】C
【分析】
把x＝3代入已知方程求得m的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【解析】
解：把x＝3代入方程得：，
解得m＝6，
则原方程为，
解得：x1＝3，x2＝4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为4＋4＋3＝11，
②当△ABC的腰为3，底边为4时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为3＋3＋4＝10，
综上所述，△ABC的周长为10或11．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．
10．若，，，，为互不相等的正奇数，满足
，则的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】
因为，，，，为互不相等的正奇数，所以，，，，为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为 ，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以的末位数字是1
【解析】
解：∵，，，，为互不相等的正奇数
∴，，，，为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个
而将分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：

∴，，，，分别等于2、、4、6、
∴，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011
又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1
∴的末位数字是1．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．


二、填空题
11．x2－2x=0的解是____
【答案】x1="0" 或x2=2
【分析】
把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或 x﹣2=0，求出方程的解即可．
【解析】
x（x﹣2）=0，x=0或 x﹣2=0，x1=0 或x2=2．
故答案为x1=0，x2=2．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解法，把方程左边进行因式分解是解答此题的关键．
12．一元二次方程的解是________．
【答案】
【解析】
∵，∴．∴．∴或，解得．
13．方程的根为_______．
【答案】
【分析】
利用因式分解法解方程即可．
【解析】
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程－因式分解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
14．已知与的值相等，则的值是______________.
【答案】 ，
【解析】
根据题意得，＝，
移项变形得，
解得 ，.
故答案为 ，.
15．若，则__________.
【答案】10
【解析】
试题分析：设，则原方程可简化为，解得，.因为，所以，即.
考点：解一元二次方程中根的取舍.
16．关于x的方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0的根为整数，则所有整数的和为____________．
【答案】
【分析】
分两种情况讨论，当时，方程为一元一次方程时，或当时，根据因式分解法解题即可．
【解析】
当时，原方程可化为
解得为整数；
当时，原方程是关于x的一元二次方程，可化为

根据题意根为整数，或，
解得
所有整数的和为：
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查方程的解，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．设方程的较大根为，方程的较小根为，则的值为__________
【答案】
【分析】
关键在于要牢记因式分解法解与一元二次方程的步骤，首先将方程进行因式分解，写成积的形式，然后求解即可.
【解析】
解：因为20022x2-2003×2001x-1=0 
所以(2002x)2-(2002+1)×(2002-1)x-1=0 ，即(2002x)2-20022x+x-1=0 
因此(20022x+1)(x-1)=0 ，
解得x1=1，x2=-，故r=1
又因为2001x2-2002x+1=0 
所以(2001x-1)(x-1)=0 ，
解得x1=1,x2=，故s=,
所以r-s=1-
故答案为.
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的解法，因此要牢记各种解一元二次方程的方法的解题步骤.
18．当时，代数式的值相等，则时，代数式的值为_______．
【答案】3
【解析】
试题分析：根据题意，把m和n分别代入可得，移项，因式分解得
（m+n）（m-n）-2（m-n）=0，即（m+n-2）（m-n）=0,由m≠n可知m+n=2，代入可知="3" ．
考点：因式分解法解一元二次方程
19．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.
【答案】3＜m≤4
【分析】
根据原方程可知x-2=0，和x2-4x+m=0，因为关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，所以x2-4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围
【解析】
解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x1=2；
②x2-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x2=2+
x3=2-
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为3＜m≤4
20．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．

结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
【答案】或1 7
【分析】
（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；
（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【解析】
解：已知，实数，同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）当时，将代入得，

解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴当时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当时，则，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点睛】
此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．

三、解答题
21．用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
解：（1）∵，
∴．
则或
解得．
（2）∵，
∴．
则，
解得．
（3）∵，
∴．
则，
∴或．
解得．
（4）∵，
∴．
∴或．
解得．
22．解下列一元二次方程
（1）（2x＋3）2－81＝0；
（2）x2－6x－2＝0；
（3）x2＋2x－6＝0；
（4）5x（3x＋2）＝6x＋4
【答案】（1）x1=3，x2=-6；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=，x2=
【分析】
（1）先移项，再直接开平方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得；
（3）利用公式法求解可得；
（4）先移项，再利用提公因式法求解可得．
【解析】
解：（1）（2x+3）2-81＝0，
∴（2x+3）2＝81，
∴2x+3=±9，
∴解得：x1=3，x2=-6；
（2）x2-6x-2＝0，
∵a=1，b=-6，c=-2，
∴△=36-4×1×（-2）=44，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（3）x2+2x-6＝0，
∵a=1，b=2，c=-6，
∴△=8-4×1×（-6）=32，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（4）5x（3x+2）＝6x+4，
∴5x（3x+2）-2（3x+2）＝0，
∴（5x-2）（3x+2）＝0，
解得：x1=，x2=；
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
23．用因式分解法解下列关于x的方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【分析】
（1）移项后提取公因式；
（2）使用平方差公式；
（3）等式右边用平方差公式分解，然后移项提取公因式；
（4）前面三项可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式．
【解析】
解：（1），
，
，
则有或，
解得：，；
（2），
，
，
则有或，
解得：，；
（3），
，
，
，
则有或，
解得：，；
（4），
，
，
则有或，
解得：，．
【点睛】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，需要先将等式右边变成0，然后观察等式左边，采用适当的方法进行因式分解，最后由每个因式等于0求出方程的根．
24．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
【答案】原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2．
【分析】
根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组或，然后分别解方程组即可求解．
【解析】
解：由题意得：
方程组 的解一定是原方程的解，解得x＝4 029，
方程组的解也一定是原方程的解，解得x＝－2，
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2．
25．解方程：.
有学生给出如下解法：
∵，
∴或或或
解第一、四方程组，无解；
解第二、三方程组，得或，
∴或.
请问：这个解法对吗？试说明你的理由.
【答案】见解析.
【分析】
解法明显错误，该学生解法属于特殊举例，巧合求出了方程的解，不具有一般性。
【解析】
答案一：，解得或－1，
对于这个特定的已知方程，解法是对的.
理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对.
答案二：解法不严密，方法不具有一般性，
理由是：为何不可以等，得到其他的方程组?
此学生的解法只是巧合求对了方程的根.
【点睛】
解一元二次方程，优先考虑因式分解法，若不能因式分解再考虑公式法或配方法，切不可随意使用没有学过的方法。
26．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．

（1）求整式；
（2）请将整式分解因式；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】
（1）根据整式加减法即可求出；
（2）先根据整式加法算出，再利用公式法，公因式法分解即可；
（3）把带入，利用十字相乘即可求的值．
【解析】
解 :（1）

（2）



（3）由题意得，





【点睛】
本题考察了整式计算，因式分数，一元二次方程计算，属于基础题型．
27．观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
请写出第n个方程和它的根．
【答案】（1）k＝－15，x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n.
【分析】
（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.
【解析】
解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.
(2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.
【点睛】
本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
28．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
．
理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解．
解决问题：
（1）因式分解：___________
（2）求方程的解
【答案】（1）；（2）或或
【分析】
（1）由可知符合材料的公式形式，直接套用公式即可解答；
（2）先将方程左边按材料的公式形式分解因式，再求出每个因式为0时的解即可．
【解析】
解：（1）






故答案为：
（2）解：，
，
∴，
或，
解得或，
【点睛】
本题主要考查了因式分解和高次方程的解法，解高次方程一般要通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．本题解题关键是学习材料内容，根据材料公式和方法解题．
29．阅读理解：德国著名数学家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理学家、天文学家、大地测量学家．）被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉．高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
（右边相加 共 组）①+②：有 ，解得： 请类比以上做法，回答，  
题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．

（1） 填写下表：

















（2） 写出第层所对应的点数；
（3） 如果某一层共个点，你知道它是第几层吗?
（4） 写出层的六边形点阵的总点数；
（5） 如果六边形点阵图的总点数是个，你知道它共有几层吗?
【答案】（1）；（2） ；（3） 层；（4） ；（5） 层．
【分析】
题干：根据倒序相加法计算即可；
（1）用该层对应的点数18，加上前一格中所有层的总点数19即可得到答案；
（2）列出每一层上的点数得到规律即可得到答案；
（3）根据（2）得到的公式列方程解答；
（4）将前面各层上的点数相加得到，根据（1）的计算方法求出答案；
（5）根据（4）得到的公式列方程解答即可.
【解析】
题干：设①，②，
①+②得，
∴
∴答案：
（1） 第四列应填：18+19=37；

















（2）第1层上的点数为1，
第2层上的点数为6=，
第3层上的点数为6+6=，
第4层上的点数为6+6+6=，
，
第n层上的点数为，；
（3）=96，
解答n=17，
∴第 层共 个点；
（4）

=
=；
（5）由（4）得=631，
解得n=15，或n=-14（舍去），
∴六边形点阵图的第层的总点数是个.
【点睛】
此题考查图形类规律的探究，一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算，正六边形的性质，观察并运算得到点阵图的计算规律，并运算高斯速算法进行计算是解题的关键.